Számtani sorozat

0; 2; 4; 6; 8; 10; ..., a páros természetes számok sorozata. Számsorozatban mindig szabály szerint követik egymást az elemek. Ennek a sorozatnak az a szabálya, hogy az aktuális elemhez 2-t adva kapjuk a következő elemét a sorozatnak.

(Más szabályokkal is képezhetünk sorozatokat - például szorzással -, ezekről majd később.)

Az olyan sorozatokat, amelyben a szomszédos elemek különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. Ezt a különbséget differenciának nevezzü, s d-vel jelöljük.

A példa sorozatban d=2. Vannak még más jelölések is: az első elem jele: a₁; a második elem jele a₂; s így tovább; akárhanyadik (n-edik) elem jele a_n.

A példában a₁ = 0; a₂ = 2; a₃ = 4; a₄ = 6; s így tovább.

Az n-edik elem kiszámolására pedig képletet kell találni. Az 1. elemből úgy kapjuk a 2. elemet, hogy hozzáadunk 2-t. Az 1. elemből úgy kapjuk a 3. elemet, hogy hozzáadunk 2*2-t. Az 1. elemből úgy kajuk a 4. elemet, hogy hozzáadunk 3*2-t. És így tovább: az 1. elemből úgy kapjuk az akárhanyadikat, hogy hozzáadunk eggyel kevesebb differenciát:

a_n = 0 + (n-1)*2
Rendezés után:
a_n = 2n - 2

Ennek a képletnek a segítségével, például, az 500. elem kiszámítása:
a₅₀₀ = 2*500 - 2 = 998.

Általánosítva: számtani sorozat n-edik elemét igy számíthatjuk:
a_n = a₁ + (n-1)*d

Mennyi az előbbi példában az első 500 elem összege?
A sorozat elejét és végét szemügyre véve a következőt látjuk:
a₁ + a₅₀₀ = 998
a₂ + a₄₉₉ = 998
a₃ + a₄₉₈ = 998
S így tovább, olyan párokba rendezhetők a sorozat elemei, melyek összege mindig az első és az utolsó elem összegével egyenlő.

S hány ilyen párunk van? 500/2 darab. Így az első 500 elem összege: 998*250.

Általánosítva: számtani sorozat első n darab elemének összegét (melyet S_n-nel jelölünk) így számíthatjuk:
S_n = (a₁ + a_n)*n/2

Példa
Egy ovális alakú teniszcsarnokban a lelátón 17 sorban ülnek a nézők. A legfelső sorban 300 ülőhely van, és minden további sorban 13 hellyel kevesebb van, mint a felette lévőben. Teltház esetén hány szurkoló van a nézőtéren?

a₁ = 300
d = -13
n = 17
S_n = ?
--------
A összeg kiszámításához szükségünk van a 17. elemre:
a₁₇ = 300 + 16*(-13)
a₁₇ = 92

S₁₇ = (300 + 92)*17/2
S₁₇ = 3332
Tehát összesen 3332 néző fér el a stadionban.

Négy kettes

Egy olvasói kérdésben merült fel, hogy melyik a négy darab kettes jeggyel felírható legnagyobb szám. Összeszedtem a lehetőségeket, s növekvő sorrendjük:

Nézzük részletesen:

222² = 49284

2²²² = 2²⁴ = 2¹⁶ = 65536

22²² = 22⁴ = 234256

22²² körülbelül 3,4*10²⁹

2²²² körülbelül 6,7*10⁶⁶

2²²² = 2⁴⁸⁴, a kitevő nagyobb, mint az előbb, így a hatványérték is.

2²²² = 2^4194304, megint nagyobb a kitevő.

Kamatos kamat

Az 1,5 millió forintos betétállomány 10 év alatt, 7%-os kamat esetén mekkora összegre növekszik?

Első év végére: 1500000*1,07 Ft
Második év végére: (1500000*1,07)*1,07 Ft
Harmadik év végére:((1500000*1,07)*1,07)*1,07 Ft

És így tovább.
Tízedik év végére: 1500000*1,07¹⁰ Ft.
Ez 2950727 Ft.

Hány százalékos az évi átlagos értékcsökkenése annak a gépnek, amit 6,2 millió forintért vásároltak, s 8 év múlva 3,1 millió forintért lehetett eladni?

6200000*x⁸ = 3100000 /:6200000
x⁸ = 0,5
x = nyolcadikgyök 0,5
x = 0,917
Csökkenés: 1 - 0,917 = 0,083

Tehát évente 8,3%-kal csökken az érték.

Hány év alatt duplázódik meg a 1,5 millió forintos betétállomány, ha évenkénti tőkésítéssel évi 6% kamatot ad a bank?

1500000*1,06^x = 3000000 / : 1500000
1,06^x = 2

Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát vesszük, s a bal oldalon alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:

lg 1,06^x = lg2
x*lg1,06 = lg2 /: lg1,06
x = lg2 : lg1,06
x = 11,896

Tehát a 12. év végére duplázódik meg a pénz.

Exponenciális egyenletek

Ha egy egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, azt exponenciális egyenletnek nevezzük. Az ilyen egyenletek megoldásakor - ha lehet -, akkor megpróbáljuk az egyenlet két oldalát azonos alapú hatványként felírni, s ezek egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége (mert az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű).

Példák:
2^x = 16
2^x = 2⁴
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
x = 4
--------
(1/5)^2x+3 = 125
(5^-1)^2x+3 = 5³
5^-2x-3 = 5³
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
-2x-3 = 3
-2x = 6
x = -3
--------
10^x = 0,0001
10^x = 10^-4
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért
x = -4
--------

(1/125)^3x+7 = ötödikgyök(25^4x+3)

Az ötödikgyököt átírjuk 1/5-dik kitevőre;
illetve alkalmazzuk a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot: kitevőket összeszorozzuk.

(5^-3)^3x+7 = ((5²)^4x+3)^1/5
5^-9x-21 =(5^8x+6)^1/5
5^-9x-21 = 5^(8x+6)/5
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
-9x - 21 = (8x + 6)/5
-45x - 105 = 8x + 6
-111 = 53x
-111/53 = x
--------

Egy másik módszer, hogy új ismeretlent vezetünk be, annak érdekében, hogy egyszerűbben kezelhessük az egyenletet.

Példa:
4*5^x+1 + 3*5^x - (1/10)*5^x+2 = 20,5

A hatványozás szabályait alkalmazzuk, s a kitevőkben lévő összeadásokat visszaírjuk azonos alapú hatványok szorzatára:

4*5*5^x + 3*5^x - (1/10)*5²*5^x = 20,5

y-nal jelölve 5^x-t:

20y + 3y - 2,5y = 20,5
20,5y = 20,5
y = 1

Visszahelyettesítve:
5^x = 1
5^x = 5⁰
x = 0
--------
Néha előfordulnak ilyenek is:

6^x = 11^x

Mindkét oldalt osztjuk 11^x-nel, s mivel azonos a kitevő, átírjuk tört hatványára a bal oldalt:

6^x/11^x = 1
(6/11)^x = 1

s egy számnak a nulladik hatványa lesz 1, így x = 0.

Statisztikai számítások

Egy dobókockával 20-szor dobtunk, s táblázatba foglaltuk, hogy melyik számot hányszor dobtuk:

szám: 1 2 3 4 5 6

darab: 3 4 3 5 2 3

A táblázat alapján a 20 adat növekvő sorrendben: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6. Az adathalmazt mintának is szoktuk nevezni.

Gyakoriságnak nevezzük egy adat előfordálasának számát. Például az 5-ös szám gyakorisága 2.

A fenti táblázatot gyakorisági táblázatnak nevezzük.

Átlag (számtani közép): az adatok összege osztva az adatok számával. Jelen példában: (3*1 + 4*2 + 3*3 + 5*4 + 2*5 + 3*6):20 = 3,4

Módusznak nevezzük a leggyakoribb adatot. Jelen esetben legtöbbször a 4-es fordul elő, így a módusz = 4. Ha lenne még egy adat, ami szintén ötször fordulna elő, akkor két módusza lenne az adathalmazunknak. Tehát móduszból lehet több is.

Mediánnak nevezzük a (növekvő vagy csökkenő) sorba rendezett adatok középső elemét. Ha 21-szer dobtunk volna, akkor a sorba rendezett adatok tizenegyedik eleme lenne a medián. Most páros darab adat van, ilyenkor a két középső adat átlagát nevezzük mediánnak. Így most a tizedik és a tizenegyedik adat átlagát kell kiszámolni: (3 + 4):2 = 3,5.

A minta terjedelmének nevezzük a legnagyobb és a legkisebb adat különbségét. Jelen esetben ez 6 -1 = 5.

Nagyobb mennyiségű adatnál fordul elő, hogy nem egyenként soroljuk fel azokat, hanem osztályokba soroljuk. Például két osztályba sorolva a fenti adatokat:

osztály: 1-3 4-6

kum.gy: 10 10

Ilyenkor az egy osztályba tartozó adatok számát kumulált gyakoriságnak nevezzük.

Osztályközépnek nevezzük az osztály alsó és felső határának átlagát. Az első osztály osztályközepe a 2; a második osztály osztályközepe az 5.

Így az osztályközepekkel számolva az adatok átlaga: (10*2 + 10*5):20 = 3,5. Tehát az osztályközepekkel számított átlag nem feltétlenül egyezik meg az adatok számtani közepével. Osztályközepek használatakor bizonyos részletek elvesznek.

Adatok ábrázolása: az adatok gyakoriságát ábrázoljuk általában oszlopdiagramon vagy kördiagramon:

Példa: Az egyik osztály matematika dolgozatainak átlagpontszáma 81, a másik osztályé 72 pont. Az első osztályba 24, a másodikba 30 diák jár. Mennyi a két osztály dolgozatainak átlagpontszáma?

A két osztályba együtt 54 fő jár, s ahhoz, hogy az átlagot ki tudjuk számolni, tudni kell a összes dolgozat pontszámainak összegét.
Ez az összeg: 81*24 + 72*30 = 4104.
Ezt osztjuk 54-gyel.
Így a két osztály átlaga: 76 pont.

Számok normálalakja

A nagy és kis számok rövid leírását segíti a számok normálalakja. Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényezőt úgy alakítjuk ki, hogy 1 és 10 közé essen, a második tényező pedig 10 megfelelő hatványa.

Itt a "megfelelő" azt jelenti, hogy amennyivel az első tényezőt vissza kell szorozni, hogy az eredeti számot visszaállítsuk.

Példák:
30000 = 3*10⁴
403 = 4,03*10²
5 = 5 (vagy 5*10⁰, bár egy és 10 közötti számokat nem nagyon írunk át)
0,006 = 6*10^-3
0,02 = 2*10^-2
A Föld tömege: 6000000000000000000000 t. Ez normálalakban: 6*10²¹t
A proton tömege: 0,00000000000000000000000167 gramm. Ez normálalakban: 1,67*10^-24 gramm.

Műveletek normálalakú számokkal

1.) Váltsuk át a Föld tömegét grammba!
1 t = 10⁶ g
6*10²¹*10⁶ = 6*10²⁷
Tehát a Föld tömege 6*10²⁷ gramm.

2.) Hány darab proton tömegével egyenlő a Föld tömege?
(6*10²⁷ g):(1,67*10^-24 g) =
(6:1,67)*(10²⁷:10^-24) =
3,59*10⁵¹
Tehát a Föld tömege megközelítőleg 3,59*10⁵¹ darab proton tömegével egyenlő.

3.) Végezzük el az alábbi műveletet:
2,5*10⁵*1,6*10^-3*5*10^-4 =
2,5*1,6*5*10⁵*10^-3*10^-4=
20*10^-2 =
2*10^-1 =
0,2.

Egy szorzásban a tényezők tetszőleges sorrendbe rendezhetők.
Összeadásban vissza kell írni a számokat helyi értékes alakba!
Példa:
4,08*10³ + 9,98*10^-1 =
4080 + 0,998 =
4080,998

Elképzelhető olyan összeadás, vagy kivonás, ahol a közös tényező kiemelése célszerű.
Példa:
5*10⁴ + 6*10⁵ - 7*10³ =
(5*10 + 6*10² - 7)*10³ =
(50 + 600 - 7)*10³ =
643*10³ =
6,43*10⁵

A Föld felszínének mintegy kétharmadát tenger borítja, ennek átlagos mélysége 3,8km. Becsüljük meg, hogy hány m³ életterük van a tengeri élőlényeknek! (A Föld sugara kb. 6370km.)

A feladat megoldásának lépései a következők lesznek:
1.) az adatokat méterbe váltjuk,
2.) kiszámoljuk a Föld felszínét,
3.) vesszük a Föld felszínének 2/3-át, ez lesz a tengerek felszíne,
4.) a tengerek felszínét szorozzuk az átlagos mélységgel, ez lesz a keresett térfogat.

1.) mélység = 3,8*10³ m
r = 6,37*10⁶ m

2.) A = 4*r²*3,14
A = 4*(6,37*10⁶)²*3,14
A = 4*6,37²*10¹²*3,14
A = 509,65*10¹²
A = 5,0965*10¹⁴

Tehát a Föld felszíne megközelítőleg 5,1*10¹⁴ m².

3.) Tengerek felszíne =
5,1*10¹⁴*2/3 =
3,4*10¹⁴

Tehát a Föld tengereinek felszíne megközelítőleg 3,4*10¹⁴ m².

4.) Tengerek térfogata =
3,4*10¹⁴*3,8*10³ =
12,92*10¹⁷ =
1,292*10¹⁸

Tehát a tengeri élőlényeknek megközelítőleg 1,3*10¹⁸ m³ víz áll a rendelkezésükre.

Százalékszámítás

Elnevezések:
alap (100%)
százalékláb
százalékérték

1.) Mennyi 2500kg 43%-a?
alap = 2500kg
százalékáb = 43%
százalékérték = ?

A századrészek jele a %. 43% = 43/100 rész.
1%-ot így 100-zal való osztással számítunk.
43% pedig az 1% 43-szorosa.

2500 kg 1 %-a = 2500kg:100= 25kg
2500 43%-a = 25kg*43 = 1075kg.

Ugyanezt másképp is kiszámolhatjuk:
43/100 = 0,43 és törtrészt szorzással számolunk.
2500kg*0,43 = 1075kg.

Ezt a módszert, tehát a százalékláb tizedestört alakjával való műveletvégzést, használjuk a leggyakrabban.

2.) Melyik mennyiség 43%-a a 2500kg?
alap = ?
százalékérték = 2500kg
százalékláb = 43%

Első megoldási mód: egyenes arányossággal számolunk:
43% ---> 2500kg
1% ---> 2500kg:43 = 58,14kg
100% ---> 5814kg.

Második mód:
Ha egy mennyiség törtrészét ismerjük, s ebből kell kiszámolni az egész mennyiséget, akkor azt röviden a törttel való osztásssal tehetjük meg:
2500kg : 0,43 = 5814kg.

3.) Hágy %-a 350kg a 2500kg-nak?
alap = 2500kg
százalékérték = 350kg
százalékláb = ?

Egyenes arányossággal számoljuk ki:
100% ---> 2500kg
1% ---> 25kg
x% ---> 350kg
---------------
x = 350:25 = 14
Tehát 14%-a.

Ahányszor belefér a 350kg-ba az 1%-nak megfelelő érték, annyi % lesz a 350kg:
350 : (2500:100) = százalékláb.
százalékérték : (alap : 100) = százalékláb.

4.) Két szám összege 2250. Az egyiknek a 12%-a egyenlő a másiknak a 18%-ával. Melyik ez a két szám?

Az egyik szám jele legyen x.
Ekkor a másik számot így kell kiszámolni: 2250 - x.
x - nek a 12%-át így számoljuk: x*0,12.
2250-x 18%-át így számoljuk ki: (2250-x)*0,18.

A feladat szerint ezek egyenlők:
x*0,12 = (2250-x)*0,18 / zárójelbontás
x*0,12 = 405 - x*0,18 / + x*0,18
x*0,3 = 405 / : 0,3
x = 1350

Tehát az egyik szám az 1350. A másik szám 2250-1350, azaz 900.

Ellenőrzés:
1350 12%-a = 1350*0,12 = 162.
900 18%-a = 900*0,18 = 162.

5.) 3 liter 80%-os oldathoz hány liter 50%-os oldatot kell öntenünk, hogy 55%-os töménységű oldatot kapjunk?

Ha egy oldal 80%-os az azt jelenti, hogy az egész oldat 80%-a az oldott anyag mennyisége. Így az első oldatban 3*0,8 liter az oldott anyag. (2,4 liter)

A második oldat mennyiségét jelöljük x-szel. x liter 50%-os oldatban x*0,5 liter az oldott anyag.

Az összeöntés után 3 + x liter lesz az oldat. Ennek 55%-a az oldott anyag: (3+x)*0,55 liter.

2,4 + x*0,5 = (3+x)*0,55 / zárójelbontás
2,4 + x*0,5 = 1,65 + x*0,55 / - 1,65
0,75 + x*0,5 = x*0,55 / - x*0,5
0,75 = 0,05*x / : 0,05
15 = x

Tehát 15 liter 50%-os oldat kell.

Ellenőrzés:
3 liter 80%-a = 2,4 liter
15 liter 50%-a = 7,5 liter
Oldott anyagok összege= 2,4 liter + 7,5 liter = 9,9 liter
18 liter 55%-a = 18*0,55 = 9,9 liter.

Abszolútértékes egyenletek

Gyakorlatiasan fogalmazva: egy szám abszolútértékének nevezzük a szám nullától való távolságát. A nulla és a pozitív számok abszolútértéke önmaga a szám, míg a negatív számok abszolútértéke a szám ellentettje.

Például:
|5| = 5
|0| = 0
|-4| = 4

Melyik szám abszolútértéke 12,8? Ezt a kérdést úgy is átfogalmazhatjuk, hogy melyik szám van a számegyenesen 12,8 egység távolságra a 0-tól?

Két ilyen szám van: 12,8 és -12,8.

Ugyanezt a kérdést így is fel lehet tenni: oldjuk meg a racionális számok halmazán az |x|=12,8 egyenletet!
|x| = 12,8
x₁ = 12,8
x₂ = -12,8

Mely valós számokra igaz, hogy |2x - 1| = 7?
Az abszoútértéken belüli kifejezés értéke vagy 7, vagy -7:
a) 2x - 1 = 7 / +1
2x = 8 / : 2
x₁ = 4

b) 2x - 1 = - 7 / + 1
2x = - 6 / : 2
x₂ = - 3

Ellenőrzés:
a) |2*4 - 1| = |8 - 1| = |7| = 7
b) |2*(-3) - 1| = |-6 - 1| = |-7| = 7.

Egyenlőtlenségek

Egyenlőtlenségeket is ugyanúgy mérlegelvvel oldunk meg, mint egyenleteket, csak van két művelet, amelyeknél megfordul a relációjel:

a) Szorzás negatív számmal
Például:
2 < 3
-2 > -3

b) Reciprok
Például:
2 < 3
1/2 > 1/3

Ha az egyenlőtlenség két oldala ellenkező előjelű, akkor reciprok képzésnél nem fordul meg a relációjel.
Példa:
-2 < 3
-1/2 < 1/3
Most nézünk néhány példát egyenlőtlenségek levezetésére: Mely racionális számokra teljesül:

3(2x + 2) - 7x < x + 5 /zárójelbontás
6x + 6 - 7x < x + 5 /összevonás
6 - x < x + 5 / -5
1 - x < x /+x
1 < 2x / :2
1/2 < x
Tehát az 1/2-nél nagyobb racionális számok az egyenlőtlenség igazsághalmazának elemei.
---------------------------------

Ha a turista naponta 20 km-rel többet haladna, mint valójában, akkor 8 nap alatt több mint 900 km-t jutna előre. De ha naponta 12 km-rel kevesebbet haladna naponta, akkor 10 nap alatt sem jutna előre 900 km-t. Hány km-t halad naponta?

Jelölés: x jelöli a naponta megtett utat (km)
Első mondat:
8(x + 20) > 900 / zárójelbontás
8x + 160 > 900 / - 160
8x > 740 / : 8
x > 92,5

Második mondat:
10(x - 12) < 900 / zárójelbontás
10x - 120 < 900 / + 120
10x < 1020
x < 102
 Tehát 92,5 km-nél többet és 102 km-nél kevesebbet halad naponta a turista.

-----------------------------------
Mely valós számokra igaz: (x - 2) / (x + 2) < 0

 I. Törtes egyenlőtlenségnél mindig ki kell szűrni az egyenlet alaphalmazából azokat a számokat, ahol a nevező 0 lenne (mert 0-val nem osztunk). Az x + 2 kifejezés akkor lenne 0, ha x = -2. Ezért az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az R\{-2} halmaz. (Ez a -2-től különböző valós számok halmaza.)

II. 0-nál akkor kisebb egy tört értéke, ha a számláló és a nevező ellenkező előjelű. Ezért két lehetőséget vizsgálunk meg:
a) számláló pozitív és a nevező negatív: x - 2 > 0 és x + 2 < 0 /számokat átrendezzük jobbra
x > 2 és x < -2
Ilyen szám nincs.

b) számláló negatív és a nevező pozitív: x - 2 < 0 és x + 2 > 0 /jobb oldalra rendezzük a számot
x < 2 és x > -2

Tehát az egyenlőtlenség megoldásai a -2-nél nagyobb és 2-nél kisebb valós számok.

Törtes és abszolútértékes egyenlőtlenségek megoldását találjátok ezen az oldalon:
http://www.ivonyildiko.hu/2012/02/egyenlotlensegek/

Kétismeretlenes egyenletrendszer

Egy láda a benne lévő géppel együtt 500 kg. 6 üres láda és 8 gép tömege 3800 kg. Hány kilogramm egy láda?

Két ismeretlenünk van: a láda tömege és a gép tömege.
Az első mondat, illetve egyenlet: láda + gép = 500

A második mondat, azaz egyenlet: 6láda + 8gép = 3800

Az első egyenlet alapján: láda = 500 - gép. A láda tömegének ezt az alakját behelyettesítjük a második egyenletbe:

6(500 - gép) + 8gép = 3800 / zárójelbontás
3000- 6gép + 8gép = 3800 / összevonás
3000 + 2gép = 3800 / - 3000
2 gép = 800 / :2
gép = 400

Egy gép tömege 400 kg.
Egy láda tömege 500kg - 400kg = 100 kg.
Tehát egy láda tömege 100 kg.

Sokkal egyszerűbb és áttekinthetőbb lesz a levezetés betűk használatával:
x := láda tömege
y := gép tömege

x + y = 500
6x + 8y = 3800

Ezt a kétismeretlenes egyenletrendszert behelyettesítéssel oldjuk meg. Az első egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent:

x + y = 500 / mindkét oldalból elveszünk y-t
x = 500 - y


Az x-nek ezt az alakját helyettesítjük a második egyenletbe:


6(500 - y) + 8y = 3800 / zárójelbontás
3000 - 6y + 8y = 3800 / összevonás
3000 + 2y = 3800 / - 3000
2y = 800 / :2
y = 400
x = 500 - 400 = 100


x-szel jelöltük a láda tömegét, tehát egy láda 100 kg.


Ellenőrzés:

6 láda tömege = 6*100 kg = 600 kg.
8 gép tömege = 8*400 kg = 3200 kg.
Tömegük együtt 3800 kg.

Helyi értékes szöveges

Egy újabb típus jön az elsőfokú egyismeretlenes egyenletekből: helyi értékes szöveges feladat.
Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 3:2. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti feléné 21-gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám?

Ismétlés:
Ha egy 5-öst az egyesek helyére írunk, az 5-öt ér.
Ha a tízesek helyére írjuk, akkor 50 a valódi értéke.
Ha a százasok helyére, akkor 500 a valódi értéke. És így tovább.

Ha y egy jegyet jelöl, s azt az egyes helyi értékre írjuk, az y-t ér.
Ha a tízes helyi értékre írjuk, akkor 10y a valódi értéke..
Ha a százas helyre írjuk, ott 100y a valódi értéke. É így tovább.

Most visszatérve a feladatra, x-szel jelölök egy arányos részt. Így az első jegy 3x alakú, a második 2x.

Tízes helyi értéken 3x a számjegyünk, így valódi értéke 30x.
Az egyes helyi értéken 2x a számjegy, így valódi értéke 2x.
Az eredeti számunk ezek összege: 32x.

Felcseréljük a számjegyeket: 2x kerül a tízes helyi értékre, így valódi értéke 20x.
3x van az egyes helyi értéken, valódi értéke 3x. A szám ezek összege: 23x.

Az eredeti szám (32x) fele = 16x. Ettől nagyobb 21-gyel az új szám: 16x + 21.

Az egyenlet: 16x + 21 = 23x / -16x
21 = 7x /:7
3 = x.

Egy arányos rész 3, így az eredeti szám első jegye 9. Második jegye 6. A keresett szám a 96.

Ellenőrzés: 96 fele 48. Ettő 21-gyel nagyobb a 69. S ez éppen az eredeti szám felcserélt jegyekkel.

A feladatot próbálgatással is megoldhattuk volna. Csak három olyan kétjegyű szám van, amelyben a jegyek aránya 3:2. Ezek: 32, 64, 96. Kis számolással ellenőrizhetjük, hogy csak az utóbbi felel meg a többi feltételnek.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek II.

Az előző bejegyzést folytatva a témában, most egy másik típusú szöveges feladatot oldunk meg:

Marci 14 km/h egyenletes sebességgel elindul egy kerékpártúrára. Nándor két óra múlva kismotorral utána indul, sebessége 21 km/h. Mennyi idő múlva éri utol Marcit?

A mozgási szöveges feladatoknál 3 mennyiséget, és kapcsolatukat, kell figyelembe venni: út, idő, sebesség. Ezt a 3 adatot jegyzeteljük ki a szövegből, mégpedig amit tudunk azt számmal, amit nem tudunk azt betűvel jelölve.

Marci:

út: s

idő: t

sebesség: 14 km/h

Nándor:

út: s

idő: t - 2

sebesség: 21 km/h

út = sebesség*idő; s ezt írjuk le mindkét fiú adataival.

Marci: s = 14*t

Nándor: s = 21*(t - 2)

A két egyenlet bal oldala ugyanaz (s), ezért a jobb oldalak is egyenlőek:

14*t = 21*(t - 2) /osztunk 7-tel (így kisebb számokkal kell majd dolgoznunk)

2*t = 3*(t - 2) /zárójelbontás

2*t = 3*t - 6 / mindkét oldalból elveszünk 3*t - t

- t = - 6 /mindkét oldalt szorozzuk -1-gyel

t = 6

Marci 6 órát kerékpározott, amikor Nándor utolérte.

Nándor pedig 4 óra motorozás után érte utol Marcit.

Ellenőrzés:

Marci 6 óra alatt 14 km/h sebességgel 6*14 = 84 km-t tett meg.

Nándor 4 óra alatt 21 km/h sebességgel 4*21 = 84 km-t.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek

Szöveges feladatokon nézzük meg a mérlegelv alkalmazását az egyenletmegoldásban.
1. Egy kád az egyik csapból 20 perc alatt, a másikról 15 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 16 perc alatt ürül ki a kád. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindkét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad?

Először kiszámoljuk, hogy 1 perc alatt a kád hányad része telik meg vízzel:

- az első csap 20 perc alatt töltené meg, így 1 perc alatt a kád 1/20 része telik meg vízzel az első csapon;

- a második csap 15 perc alatt töltené fel a kádat, így 1 perc alatt a kád 1/15 részét tölti meg;

- a lefolyón 1 perc alatt a kád tartalmának 1/16 része folyik le.

Így 1 perc alatt a kád 1/20 + 1/15 - 1/16 részében lesz víz.
1/20 + 1/15 - 1/16 =
(12 + 16 - 15)/240 =
13/240.

1 perc --> 13/240 rész
x perc --> 1 egész rész
------------------------
x*13/240 = 1 /mindkét oldalt osztjuk 13/240-del

1:(13/240) = 1*240/13 ~ 18,46

x ~ 18,46

Ennyi perc alatt telik meg a kád.

2. Mennyi vizet kell elpárologtatni 10 liter 40%-os sóoldatból. hogy 60%-os sóoldatot kapjunk?

Ami nem változik a párolgás során, az a só mennyisége. Ezért a sótartalomra írhatunk fel egyenletet.
Az első oldatban 10 liter 40%-a = 4 liter só van.

A 10 literből elpárolog valamennyi víz, jelöljük x-szel. Így a második oldat (10-x) liter.
Ennek 60%-a só: (10-x)*0,6

4 = (10-x)*0,6 /zárójelbontás
4 = 6 - x*0,6 /mindkét oldalhoz x*0,6-et adunk
4 + x*0,6 = 6 /mindkét oldaból elveszünk 4-et
x*0,6 = 2 /mindkét oldalt osztjuk 0,6-del
x = 3,333...
x = 3 egész 1/3

Tehát 3 egész 1/3 liter vizet kell elpárologtatni.

Ellenőrzés:
Ha elpárolog 3 egész 1/3 liter a 10-ből, akkor a második oldat 6 egész 2/3 liter.
Ennek a 60%-át kiszámoljuk:
3 egész 2/3 = 20/3
20/3*(6/10) = 120/30 = 4.

Ami éppen az első sóoldat sótartalma.

U.i.: A százalékszámításról még nem volt szó. Röviden: mennyiségek századrészét nevezzük százaléknak.
60% --> 60/100 rész
Valaminek a 60%-át úgyszámoljuk ki, hogy szorozzuk 60-nal, osztjuk 100-zal (vagy osztjuk100-zal, szorozzuk 60-nal).
Ezt a két műveletet eggyel is felírhatjuk: szorzunk 0,6-del. Ezt használtam fel a 2. példában.

Kérdezzetek itt a blogon, ha bővebben olvasnátok a százalékszámításról!

Egyenletek, mérlegelv

A műveletek témakört befejeztük, ha majd szükséges lesz, akkor a műveleti tulajdonságokra még visszatérünk. Most az egyenletek, mérlegelv fejezetbe kezdünk.

"Melyik az természetes szám, amelyiknek a fele 5-tel több a 13-nál?"

Ez egy egyszerű kérdés, de a lényeget jól mutatja: adott tulajdonságú számot keresünk. Ezt a keresett számot ismeretlennek nevezzük, s betűvel jelöljük, hogy segítségével, a műveleti jelekkel és a szövegben megadott számokkal le tudjuk írni a tulajdonságát:
x:2 = 13 + 5

Még egy tulajdonság szerepel a szövegben: természetes szám az ismeretlen. Alaphalmaznak nevezzük azt a számhalmazt, amelyben az ismeretlen értékét keressük.

A jobb oldalon egy számfeladat van, kiszámoljuk:

x:2 = 18

Az x felét ismerjük, ezért 2-vel való szorzással tudjuk meg x értékét. Ha egyenlő mennyiségeket ugyanazzal szorozunk, akkor az eredmények is egyenlők lesznek:

x = 36.

Megoldottuk az egyenletet, s a 36 természetes szám. Még az ellenőrzés van hátra: a 36 fele 18, ami tényleg 5-tel több a 13-nál.

Ebben a példában használtuk a mérlegelvet: ugyanazt a műveletet végeztük az egyenlet mindkét oldalával. Ezt úgy képzeld el, mint egy egyensúlyban lévő karos mérleg két serpenyőjét. Ha ugyannyit teszel a két oldalra, vagy ugyanannyit veszel el a két oldalról, vagy ugyanazzal a számmal szorzod, osztod a két serpenyőben lévő mennyiséget, akkor nem billen ki a mérleg, az egyensúly (=az egyenlet) megmarad.

Sok fajtája van az egyenleteknek:
- egy ismeretlen van benne,
- több ismeretlen van benne,
- az ismeretlen az első hatványon van,
- második hatványa szerepel az ismeretlennek, stb.
- négyzetgyökjel alatt van,
- abszolútértékes az egyenlet,
- stb.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletekkel folytatom majd, de aki máris kíváncsi a megoldásukra, nézze meg a videót:

Törtkitevő, logaritmus

A műveletekről szóló bejegyzéssorozatomból még hiányzik a törtkitevő és a logaritmus értelmezése. Ezeket nézzük most meg konkrét példákon.

Törtkitevő
Példa:
7^2/3 alatt azt a számot értjük, amelynek a harmadik hatványa 7².

Ehhez hasonló meghatározással a harmadikgyöknél találkoztunk. S azt a számot, amelynek a harmadik hatvány 7² így írtuk: harmadikgyök 7².

(7^2/3)³ = 7²
(harmadikgyök 7²)³ = 7²

Így 7^2/3 = harmadikgyök 7².

Példa:

27^-4/3 = harmadikgyök(27^-4) = harmadikgyök(1/27⁴) = harmadikgyök(1/(3³)⁴) = harmadikgyök(1/3¹²) = 1/3⁴ = 1/81.

4^3/2 = négyzetgyök(4³) = (négyzetgyök 4)³ = 2³ = 8.

Törtkitevőt csak pozitív alapra értelmezünk (negatív azért nem lehet az alap, mert páros gyököt nem tudunk belőle vonni a valós számok halmazában; nulla azért nem lehet az alap, mert ha a kitevő negatív előjelű, akkor reciprokot kellene venni - nullának pedig nincs reciproka).

Logaritmus

A gyökvonás műveletéhez úgy jutottunk el, hogy egy hatványból az alapot fejeztük ki: 2³=8 - ból 2=harmadikgyök 8.

Ha a kitevőt akarjuk kifejezni, akkor azt logaritmussal tehetjük meg: 3=log₂8. (kettes alapú logaritmus 8)

Azaz a logaritmus a kitevőt megadó művelet. A logaritmus alapja egyben a hatványalap, s azt a kitevőt keressük, amire ezt az alapot felemelve a megadott számot kapjuk.

Példa:
Mennyi log₃81? Azt a kitevőt keressük, amire a 3-at felemelve 81-et kapunk értékül. Ez a 4.
log₃81 = 4

A leggyakrabban használt logaritmusalap a 10, ezért egy egyszerűbb jelölést vezettek be a tízes alapú logaritmusra: lg.

Példák:
lg10 = 1
lg10000 = 4
lg1 = 0
lg 0,001 = -3
lg(négyzetgyök 1000) = 3/2
lg(négyzetgyök 0,001) = -3/2

Logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, úgy ahogy előbb a törtkitevőnél megbeszéltük. Nincs értelem az 1 alapú logaritmusnak.

Valamint csak pozitív szám lehet az a szám is, aminek a logaritmusát keressük.

(Eredményül, a kitevőre persze "bármilyen" számot kaphatunk, ahogy az előbbi példákban is: pozitívat, negatívat, nullát, egészet, törtet.)

A következő linken példákat tölthetsz le a logaritmus azonosságaira:

 https://docs.google.com/open?id=0B2n8PzGXd_A6V1V2blBtMmc3dEU

Négyzetgyökvonás

Feladatokban leggyakrabban a másodikgyök (négyzetgyök) művelete fordul elő. Most a négyzetgyökvonás műveleti tulajdonságait nézzük meg.

Amikor négyzetgyökvonás eredményét keressük, akkor egy olyan szám a kérdés, aminek a második hatványa a gyökjel alá írt szám.
Mennyi négyzetgyök121?
11, mert 11² = 121.
Tehát ellenőrizzük négyzetre emeléssel az eredményt. Mivel önmagával kell szorozni, így biztosan nem lesz a második hatvány negatív. Ezért eleve nem is kérdezhetünk olyat, hogy mennyi egy negatív szám négyzetgyöke, mert ellenőrzéskor hibát kapunk.

Ezért egy kicsit most pontosítjuk a négyzetgyökvonás meghatározását: Egy x nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelynek a négyzete x. Azaz sem a négyzetgyökjel alatti szám, sem a négyzetgyökvonás eredménye nem lehet negatív.

Egy-egy példán nézzük meg a négyzetgyökvonás tulajdonságait:

a) négyzetgyök(16*9) = négyzetgyök16*négyzetgyök9
Szorzatból lehet tényezőnként négyzetgyököt vonni.

b)négyzetgyök(16/9) = négyzetgyök16/négyzetgyök9
Hányados négyzetgyökét úgy is kiszámolhatjuk, hogy külön a számlálóból, külön a nevezőből vonunk négyzetgyököt.

c) (négyzetgyök4)³ = négyzetgyök(4³)
A négyzetgyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető.

Amit nagyon nem szabad, és nagyon nem lehet, és mégis sokan bepróbálkoznak vele, az összegből való négyzetgyokvonás tagonként:
négyzetgyök(25 + 16) nagyon nem egyenlő négyzetgyök25 + négyzetgyök16 - tal!!!

Ugyanígy kivonás esetében is:
négyzetgyök (25 - 16) nem egyenlő négyzetgyök25 - négyzetgyök16 -tal!!!

Számoljatok utána!

Gyökvonás

A hatványozásban eljutottunk a negatív kitevős hatványokig; s most meg is állunk egy kicsit, később térünk rá a törtkitevős hatványokra.

A hatványozás egyik fordított műveletéről, a gyökvonásról lesz ma szó. Amikor a hatványalapra kérdezünk rá: "Melyik az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8?", akkor erre a kérdésre gyökvonás művelettel válaszolunk: "harmadikgyök 8 az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8".

Ennek értékét most fejben is tudjuk, hogy 2. De sok olyan feladat, kérdés van, ahol csak a gyökös alak segítségével tudjuk megadni a pontos eredményt (számológéppel vagy gyöktáblázat segítségével pedig a közelítő eredményt).

Néhány példa:
5² = 25 ----> négyzetgyök 25 = 5
3⁴ = 81 ----> negyedikgyök 81 = 3
10⁵ = 100000 ----> ötödikgyök 100000 = 10

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 1024 m²?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 1024. Ez a szám a négyzetgyök 1024. Számológéppel megnézzük az értékét: 32. Tehát a négyzet oldala 32m.

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 5m²?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 5. Ez a szám a négyzetgyök 5. Számológéppel: 2,236... Ez már csak közekítő érték, tehát a négyzet oldala közelítőleg 2,236m.

Milyen tizedestört ez? Egy korábbi bejegyzésben már volt szó a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ez vajon melyik fajta?

Azt is láttuk, hogy a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtek hogyan írhatók át törtalakra. Akkor próbáljuk felírni törtalakban a négyzetgyök 5-öt is!

Tegyük fel hogy négyzetgyök 5 = a/b és ez a tört már a legegyszerűbb alakú legyen.

Négyzetgyök 5 az a szám, amelyiknek a négyzete 5, tehát az előbbi egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve:

5 = a²/b² /szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a nevezővel

5*b² = a²

Az a² valaminek az 5-szöröse, tehát osztható 5-tel. Ez csak úgy lehet, hogy maga az a szám is osztható 5-tel.

Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a négyzete osztható 25-tel. Tehát a² osztható 25-tel, így a vele egyenlő 5*b² is osztható 25-tel.

Ehhez az szükséges, hogy b² osztható legyen 5-tel. Ha b² osztható 5-tel, akkor b is oszható 5-tel.

Az eredeti feltevésekből az következik, hogy a is és b is osztható 5-tel. Akkor az a/b tört egyszerűsíthető 5-tel. Ezzel ellentmondásba keveredtünk azzal az eredeti feltevéssel, hogy az a/b legyen a legegyszerűbb alakja négyzetgyök 5-nek.

Ez azt jelenti, hogy nem tudtuk felírni törtalakba a négyzetgyök 5-öt, tehát az ő tizedestöt alakja se nem véges, se nem szakaszos tizedestört.

Az ilyen számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. A tizedestört alakjuk végtelen, nem szakaszos.

Negatív kitevő

Lépünk egyet tovább a hatványozás témakörben, s nézzük mi a helyzet, ha a kitevő negatív egész szám.

Két összefüggésre lesz szükségünk az értelmezéshez, gyorsan ismételjük át őket:

• a nulla kivételévek bármely szám nulladik hatványa 1;
• azonos alapú hatványok osztásakor a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét.

Sőt! Erre a második összefüggésre "visszafelé" lesz majd szükségünk: ha egy kitevőben kivonás van, akkor az azonos alapú hatványok osztásának eredménye.

Akkor fogjuk meg először 4^-1-t! (Négy a mínusz elsőn.)

A -1 sokféle kivonás eredménye lehet: 0-1; 1-2; 6-7; stb. Használjuk a legegyszerűbbet!

4^-1 = 4^0-1 = 4⁰/4¹ = 1/4. (A harmadik lépésben használtuk fel, hogy bármely szám nulladik hatvány 1.)

Másik példa: 4^-3 = 4^0-3 = 4⁰/4³ = 1/4³ (= 1/64)

Nézzünk egy törtes példát is:

(5/3)^-2 = (5/3)^0-2 = (5/3)⁰/(5/3)² = 1/(5/3)² = 1/(25/9) = 9/25 = (3/5)²

Összesítve: egy nem nulla szám negatív kitevős hatványa a szám reciprokának pozitív kitevős hatványával egyenlő.

Példák:

7^-3 = (1/7)³

(3/4)^-1 = 4/3

(1,8)^-2 = (1/1,8)² = (5/9)²

10^-4 = 0,0001

Műveletek hatványokkal 2.

A hatványokkal végzett műveletek közül hátra van még a szorzat hatványozása, a hányados (tört) hatványozása, és hatvány hatványozása.

Példa:
Egy négyzet oldala 3*a hosszúságegység. Adjuk meg a négyzet területét!

T = (3*a)² = 3*a*3*a = 3*3*a*a = 3²*a² (9a²) területegység.

Ebből a megfigyelendő: (3*a)² = 3²*a²
Tehát szorzatot lehet tényezőnként hatványozni.

Példa:
Egy kocka élei 10/3 méter hosszúak. Mennyi a kocka térfogata?

V = (10/3)³ = (10/3)*(10/3)*(10/3) = 10*10*10/(3*3*3) = 10³/3³ m³

Ebből a megfigyelendő: (10/3)³ = 10³/3³.
Tehát törtet úgy hatványozunk, hogy hatványozzuk külön a számláló és külön a nevezőt.

Példa:
Bontsuk fel a zárójelet: (5⁴)³

(5⁴)³ = 5⁴*5⁴*5⁴ = 5^4*3 = 5¹²

Tehát hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk.

S végezetül egy rejtvény, a megoldásokat a hozzászólásokban írjátok meg:

Műveletek hatványokkal

Az előző bejegyzésben megnéztük, hogy mit értünk a hatványozás művelete alatt, ha a kitevő természetes szám. Most műveleteket végzünk ezekkel a hatványokkal.

Példa:
A legenda szerint a sakk feltalálója a következő jutalmat kérte az uralkodótól játékáért: a tábla első mezőjéért 1 búzaszemet kért. A második mezőért 2 búzaszemet, a harmadik mezőért 4 búzaszemet, a negyedikért 8 búzaszemet, és így tovább. Minden mezőért kétszer annyi búzaszemet kért, mint amennyi a megelőző mezőn volt. Hány búzaszemet kért a 64. mezőért?

1. mező = 1 /szorozva 2-vel
2. mező = 2 /szorozva 2-vel
3. mező = 2*2 = 2² /szorozva 2-vel
4. mező = 2²*2 = 2*2*2 = 2³ = 2²⁺¹ /szorozva 2-vel
5. mező = 2³*2 =2*2*2*2 = 2⁴ = 2³⁺¹ /szorozva 2-vel
6. mező = 2⁴*2 = 2*2*2*2*2 = 2⁵ = 2⁴⁺¹

és így tovább. Akárhanyadik mezőt is számoljuk ki, a 2 kitevője eggyel kisebb a mező számánál. Így az utolsó mezőért 2⁶³ darab búzaszemet kellene adnia az uralkodónak.

Ebben a feladatban azt is megtanultuk, hogy azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevők összeadódnak.
Még egy példa:

3⁴*3⁵ = 3*3*3*3*3*3*3*3*3 = 3⁹ = 3⁴⁺⁵

Azonos alapú hatványok osztásához törtek egyszerűsítésére lesz szükségünk. Ismétlés: törtet egyszerűsíthetünk a számláló és a nevező közös osztóival. (Ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót is és a nevezőt is.)

3⁷/3⁴ =
3*3*3*3*3*3*3 / (3*3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3*3 / (3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3 / (3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3 / 3 = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3 =
3³.

Négyszer tudtunk a hatványalappal egyszerűsíteni, mert 4 darab hármas szorzótényezőnk volt a nevezőben. A fenti sorozat egyszerűbben:

3⁷/3⁴ = 3^7-4 = 3³

Tehát: azonos alapú hatványok osztásakor úgy adhatjuk meg egyszerűen a hatványértéket, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét. (Pillanatnyilag ott tartunk, hogy a számláló kitevője nagyobb a nevező kitevőjénél.)

Hatvány hatványozásáról a következő bejegyzésben lesz szó.

Hatványozás

A racionális számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása (osztó nem lehet 0) után megismerkedünk a hatványozás művelettel.

Példa:
Egy 10cm élű fakockát feketére festettünk, majd az oldallapokkal párhuzamos vágásokkal 1cm élű kockákra daraboltuk. Hány olyan kis kockát kaptunk, melynek legalább az egyik lapja fekete?

A nagy kockát 10*10*10 = 1000 kis kockára daraboltuk. A "belső", nem színezett kis kockák száma: 8*8*8 = 512 darab. Így legalább egy oldallapja fekete 1000-512 darabnak, azaz 488-nak.

Amikor önmagával szorzunk egy számot, azaz egy szorzásban a tényezők azonosak, akkor a hatványjelölés segítségével röviden is leírhatjuk a műveletet:

10*10*10 rövid jelöléssel 10³. (tíz a harmadikon)
8*8*8 hatvány jelöléssel 8³.

Elnevezések: 10 - alap; 3 - kitevő; 1000 - hatványérték.

Példák:
(-5)² = 25
(-3/2)³ = -27/8
0,5⁴ = 0,0625

Megállapodás:
- bármely szám első hatványa maga a szám (34¹ = 34)
- a nulla kivételével bármely szám nulladik hatványa 1 (7,2⁰ = 1)

A következő bejegyzésben a hatványokkal végzett műveleteket ismerjük meg.

Racionális számok

Sokféle számot, és a velük végezhető műveleteket megismertünk már. Ezeket a számokat racionális számoknak nevezzük. Kicsit pontosabban a meghatározásuk:

Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosakét, racionális számoknak nevezzük (az osztó nem nulla).

A két egész szám hányadosa pedig a törtalakot jelenti. Példák:

Egész számok: 5 = 10/2 (a 10 és a 2 egész számok hányadosa)
-3 = -9/3 (a -9 és a 3 egész számok hányadosa).

Véges tizedestörtek: 6,097 = 6097/1000

Tiszta szakaszos tizedestörtek: 0,11111..... = 1/9

Vegyes szakaszos tizedestörtek: 0,166666... = 1/6

Az ilyen számok az elemei a racionális számok halmazának. Ennek a halmaznak van egy betűjele: Q.

Tizedestörtek

A tizedestörteket is átírhatjuk törtalakba. Persze fordítva is, a törteket tizedestört alakba.


a) Törtet úgy írunk át tizedestört alara, hogy az osztást elvégezzük. Például:

12/5 = 12:5 = 2,4; véges tizedestört.

4/3 = 4:3 = 1,3333...; végtelen szakaszos tizedestört.

5/6 = 5:6 = 0,83333....; vegyes szakaszos tizedestört.


b) Nézzük, hogy a háromféle tizedestörtet, hogyan lehet visszaírni törtalakra.


3/10 = 0,3
5,28 = 528/100 (5 egész = 500 század, meg 28 század)
........................................................................


3,7777.... = x /10-zel szorozzuk mindkét oldalt
37,777.... = 10x /az alsó egyenletből kivonjuk a felsőt
_________
34 = 9x /osztunk 9-cel

34/9 = x


Tehát, ha beütöd a számológépedbe, hogy 34:9, akkor azt írja ki, hogy 3,777...(az utolsó jegyet valószínűleg kerekíteni fogja a gép).
..........................................................................


Vegyes szakaszos tizedestört átírása:

3, 6755555..... = x

Először 100-zal, majd 1000-rel szororzzuk ezt az egyenlőséget:


367,55555... = 100x
3675,5555... = 1000x
________________

Kivonjuk az alsó egyenletből a felsőt:


3308 = 900x /osztunk 900-zal

3308/900 = x


Tehát, ha beütöd a számológépbe, hogy 3308:900, akkor kiírja az eredeti tizedestörtet: 3,67555...
...........................................................

Összegezve: a módszer lényege, hogy a végtelen szakaszos tizedestörtet 10-zel, vagy 100-zal, vagy 1000-rel, stb. szorozzuk; úgy megválasztva ezt a szorzót, hogy a kivonáskor az azonos tizedesjegyek egymás alá kerüljenek. Így a különbség 0 lesz minden tizedes helyiértéken.


Még egy példa:

Osztás törttel

Most erősen szükségünk lesz a reciprok fogalmára, úgy hogy ismételjük át: egymás reciprokának nevezünk két számot, ha szorzatuk 1.
a*b =1 esetén 'a' reciproka 'b' és fordítva.
1/a = b
1/b = a
('a' nem 0, 'b' nem 0.)

Megint egy konrét példán ismerjük meg az osztást:

5:(2/3) = ?
Egy nagyon picit átírjuk ezt az osztást:
5 = 5*1

(5*1):(2/3) = ?

Egy szorzást úgy osztunk egy számmal, hogy az egyik tényezőjét osztjuk a számmal:

5*(1:(2/3)) = ?

Itt pedig felismerjük a zárójelben a reciprok képzést: 1:(2/3) éppen a 2/3 peciprokával egyenlő, azaz 3/2-del.
Ellenőrzés: 2/3*(3/2) = 6/6 = 1

Folytatva az eredeti kérdést, itt tartunk:

= 5*(3/2).

Elejét és a végét összehozva:

5:(2/3) = 5*(3/2).

Úgy osztunk törttel, hogy az osztó reciprokával szorzunk.

Példa:

4,28:(4/9) = 4,28*(9/4) = 4,28*9/4 = 9,63.

Számok reciproka

A törttel való osztás előtt megtanuljuk, hogy mit nevezünk egy szám reciprokának: azt a számot, amivel összeszorozva 1-et kapunk eredményül.

Mennyi a 2 reciproka? Helyettesítsünk be az előbbi meghatározásba! Keressük azt az x számot, amelyre:

2*x = 1

x = 1/2

Hasonlóan: 3 reciproka 1/3; -5 reciproka -1/5; stb.

Mennyi a 3/8 reciproka?

x*3/8 = 1 /*8

x*3 = 8 /:3

x = 8/3

Ellenőrzés:

8/3*(3/8) = 24/24 = 1.

Tehát törteknél nagyon egyszerűen, a számláló és a nevező felcserélésével, megkaphatjuk a reciprokot.

Van egy szám, amelyiknek nincs reciproka.

Melyik ez a szám?

Tört szorzása törttel

Kétféleképpen is megnézzük hogyan kell törtet törttel szorozni. Először egy ábra segítségével:

Az egységnégyzet egyik oldalát 3 egyenlő részre, másik oldalát 4 egyenlő részre osztottuk.

A négyzet egyik oldalán 2/3-ot, másik oldalán 3/4-et jelöltünk, s a beszínezett téglalap területét kell kiszámolni.

Az eredeti négyzet 12 részre van osztva (1:12), s ezekból 6 darabot színeztünk be (6/12).

Másrészt téglalap területét szorzással számoljuk: (2/3)*(3/4). Tehát ezek egyenlők:

(2/3)*(3/4) = 6/12. (2*3 a számláló, 3*4 a nevező)

Másodszorra nézzünk egy sorozatot, s a szabály további alkalmazásával is eljuthatunk törtek szorzásához:

(2/3)*8 = 16/3

(2/3)*4 = 8/3

(2/3)*2 = 4/3

(2/3)*1 = 2/3

Az egyik tényező mindig a felére változott, így a szorzat is az előző fele lett. Folytassuk!

(2/3)*(1/2) = 2/6

(2/3)*(1/4) = 2/12

Most a második tényezőt a háromszorosára változtatjuk, így a szorzat is a háromszorosa lesz az előzőnek:

(2/3)*(3/4) = 6/12.

A műveleti tulajdonságok alkalmazásával is arra jutottunk, hogy törtet törttel úgy szorzunk, hogy számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk.

A törtes műveletek végén az eredményt egyszerűsítjük, ha lehetséges: 6/12 = 1/2.

Tört osztása egész számmal

Először az osztás egyik lehetséges esetét nézzük meg:

12/7 : 4 = 3/7, mert ellenőrizve: 4*3/7 = 12/7

100/42 : 25 = 4/42. Ellenőrzés: 25*4/42 = 100/42.

Tehát a számlálót osztjuk.

Mi a helyzet, ha nem osztható a számláló?

2/9 : 5 = ?

Bővítsük a törtet olyan alakúra, hogy alkalmazható legyen az előbbi szabály, azaz osztható legyen a számláló!

2/9 = 10/45

10/45 : 5 = 2/45.

Tehát: 2/9 : 5 = 2/45.

Még egy példa a szabály megfogalmazása előtt:

4/3 : 10 = 40/30 : 10 = 4/30.

Tehát: ha a számláló nem osztható az egésszel, akkor a nevezőt szorozzuk az egész számmal.

További magyarázatok, példák törtek osztásához Arányosság című e-könyvemben.

Törtszám és egész szám szorzata

A szorzás tényezői felcserélhetők: 6*8 = 8*6. Ez -természetesen - bármely szorzás esetében így van, tehát a törtes szorzásoknál is.

3/5*4 = 4*3/5 = 3/5 + 3/5 + 3/5 + 3/5 = 12/5.

Tehát az egész számmal megszorozzuk a tört számlálóját.

Előjeles számok esetén ugyanazokat az előjelszabályokat alkalmazzuk, mint amelyeket egy előző bejegyzésben megtanultunk:
(-6)*2/9 = - 12/9
6*(-3/5) = - 18/5
(-2/3)*(-10) = 20/3.

Törtek összeadása, kivonása

Ott tartunk, hogy a törtszámokat osztások eredményeként értelmeztük. Továbbra sem osztunk 0-val, de bármely más egész számokkal végzett osztás eredményét megadhatjuk törtszámmal. Például 12:7 osztás eredménye 12/7. S a múltkor azt is megbeszéltük, hogyan kell a 12/7 számot megkeresni a számegyenesen.

Lépjünk tovább a törtekkel végzett műveletekre. Most lesz erősen szükség az osztás tulajdonságaira - úgyhogy ha szükségesnek érzed, akkor előbb tekerj vissza ahhoz a bejegyzéshez!

a) 2/3 + 5/3 = 2:3 + 5:3 = (2+5):3 = 7:3 = 7/3
Ha ugyanaz az osztó - azaz nevező - a két törtben, akkor az osztandókkal - azaz a számlálókkal - elvégezzük az összeadást, s ezt az összeget osztjuk a közös nevezővel. Még egy példa:
4/7 - 9/7 = (4 - 9)/7 = -5/7.

b) 2/3 + 1/4
= 2:3 + 1:4 =
= 8:12 + 3:12 =
= (8 + 3):12 =
= 11:12 =
= 11/12.

Ha nem azonos a két nevező, akkor bővíteni kell az osztást, azaz bővíteni kell a törteket, hogy azonos legyen a két nevező. Itt használjuk fel az osztásnak azt a tulajdonságát, hogy a hányados nem változik, ha az osztandó is és az osztó is ugyannyaszorosára változik.
Ha közös nevezőre (közös osztóra) bővítettük a törteket, akkor onnantól életbe lépnek az a) pontban megbeszéltek.

Példa:
4/5 - 7/15 =
12/15 - 7/15=
(12-7)/15=
5/15= 1/3.

Ebben a példában 5 és 15 volt a két nevező, s kihasználtuk, hogy 5 osztója a 15-nek, s ezért csak a 4/5-öt kellett bővíteni. A végén pedig a legegyszerűbb alakban adjuk meg az eredményt, tehát egyszerűsítjük az 5/15-öt.

(Emlékeztető: a hányados értéke nem változik, ha ugyanazzal a számmal osztjuk az osztandót és az osztót is. Ugyanez átfogalmazva:
A tört értéke nem változik, ha ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót és a nevezőt is.)

Törtszámok

A törtszámok osztást jelentenek. A számláló az osztandó, a törtvonal az osztás jele, a nevező az osztó:
1/2 = 1:2.



Fordítva: az osztások eredményét megadhatjuk törtszámmal:
1:2 = 1/2

Ennek az osztás műveletnek a segítségével határozzuk meg a helyüket a számegyenesen. Az 1/2 helye: az egységnyi szakasz két egyenlő részre osztásakor kapjuk.

A 3/2 helyét kétféleképpen határozhatjuk meg:

a) 3 egység hosszú szakaszt kétfelé osztunk és az a 3/2 helye;

b) 1 egység hosszú szakaszt kétfelé osztunk és 3-szor felmérjük ezt a 0-tól.

Nézzünk még egy példát törtszám helyének meghatározására: 4/5

a) a négy egység hosszú szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk, s az első osztás lesz a 4/5;

b) az egy egység hosszú szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk, s az egyenlő részekből 4 darabot felmérünk egymás után a 0-tól.

Osztás tulajdonságai

Mielőtt a törtszámokra rátérnénk, az osztás két nagyon fontos tulajdonságát megbeszéljük. Ezekre lesz szükség a törtszámokkal végzett műveleteknél.

A hányados nem változik, ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik.
Példák:
12:4 = 24:8 = 6:2
5:2 = 10:4
30:8 = 60:16 = 15:4
9:6 = 45:30 = 3:2
stb.

Megjegyzem: az osztásnak ezt a tulajdonságát nevezzük majd bővítésnek, illetve egyszerűsítésnek.

A másik szükséges tulajdonságban már az osztást összehozzuk az összeadással, kivonással.
Példák:
10:2 + 8:2 = (10+8):2
15:3 - 21:3 = (15-21):3
(28 + 21):7 = 28:7 + 21:7
(100-65):5 = 100:5 - 65:5

(12+9):8 = 12:8 + 9:8
6:5 + 2:5 = (6+2):5
stb.

Tehát: összeget úgy is oszthatunk egy számmal, hogy minden tagot külön elosztjuk a számmal, majd a hányadosokat összegezzük. És fordítva is: ha egy összeadás minden tagja egy osztás és az osztó azonos, akkor először az osztandókat összegezhetjük, majd a végén számoljuk ki az osztást.

Megjegyzés: ez nem lesz más, mint azonos nevezőjű törtek összeadása, kivonása.

Persze nem csak kéttagú összegről lehet szó:
Példák:
4:10 + 5:10 + 6:10 + 7:10 = (4+5+6+7):10
(13+8-4+9-11):8 = 13:8 + 8:8 - 4:8 + 9:8 - 11:8
stb.

Beküldendő feladat:
Egyetlen kérdést hagy adjak fel, itt a hozzászólásokban válaszolj rá:

144:x = 136:17
Mennyi az x?

Egész számok osztása

Az osztás előjel-szabályainak megismeréséhez felhasználjuk a szorzásról tanultakat: az osztást szorzással ellenőrizük.
a) Két pozitív szám osztása rendben van: 5:1=5; pozitív lesz a hányados.

b) Pozitív szám osztása negatív számmal:
5:(-1) = ?
Ellenőrzése: ?*(-1) = 5
A szorzásról tanulta alapján: a két tényező azonos előjelű, hiszen a szorzat pozitív lett. Ezért a ? negatív előjelű. Miután az előjelet eldöntöttük, már csak a "csupasz" számot kell megállapítanunk, így: ?*1=5. ?=5.
Összerakva az eddig megállapítottakat: ?=-5

c) Negatív szám osztása pozitív számmal:
(-5):1=?
Ellenőrzése: ?*1 = (-5)
A szorzásnál tanultak alapján: a két tényező különböző előjelű lesz, hiszen a szorzat negatív lett. Ezért a ? negatív előjelű. Az előjel megállapítása után a "csupasz" számot állapítjuk meg: ez 5 lesz.
Összerakva a két megállapítást: ?=(-5)

d) Negatív szám osztása negatív számmal:
(-5):(-1) = ?
Ellenőrzése: ?*(-1) = (-5)
A szorzásnál tanultak alapján a ? pozitív előjelű (mert két különböző előjelű szám szorzata lesz negatív).
Az előjel nélküli csupasz szám pedig: 5.
Összesítve: ?=5

Tehát hasonló szabályokat kaptunk, mint a szorzásnál:
Azonos előjelű számok hányadosa pozitív; különböző előjelű számok hányadosa negatív lesz.
5:1 = 5
(-5):(-1) = 5
5:(-1)= -5
(-5):1 = -5

Egész számok szorzása

Két azonos előjelű szám szorzata pozitív; valamint két különböző előjelű szám szorzata negatív.

Egész számok összeadása, kivonása

Onnan indítjuk ezt a blogot, hogy a pozitív egész számokkal minden rendben van. Tehát a négy alapművelettel, a természetes számok tulajdonságaival nincs gond.


A negatív számokat azért találták ki, hogy megoldható legyen például a 6-7 kivonás is. Kisebb számból nagyobbat nem tudunk elvenni a természetes számok halmazában, ezért kibővítjük ezt a számhalmazt a negatív egész számokkal.


Ennek a bővebb számhalmaznak a neve: egész számok.

Hogyan kell a műveleteket elvégezni az egész számokkal?


Összeadás


(-1) + 1 = 0 Ha egy nem nulla szám előtt nincs előjel, az pozitív számot jelent. Itt például az 1 az (+1)-et jelent.

A negatív számokat úgy is elképzelhetjük, mint adósság. Az előbbi összeadást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 1Ft vagyon meg 1Ft adósság együtt 0Ft.


5 + (-4) + (-7) = -6

5Ft vagyon meg 4Ft adósság meg 7Ft adósság együtt 6Ft adósság.


Kivonás


A kivonás megtanulásához először minden számot (+1)-ek és (-1)-ek segítségével írunk fel:


5 = 1+1+1+1+1
-3 = (-1) + (-1) + (-1)
0 = 1+1+(-1)+(-1)
stb.


Az első két szám összege: 5 + (-3) = 2.
Vegyünk el ebből a 2-ből (-3)-at!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-3) = 1+1+1+1+1 = 5

Tehát: 2 - (-3) = 5.


Most vegyünk el a 2-ből (-2)-t!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-2) = 1+1+1+1+1+(-1) = 4

Tehát: 2 - (-2) = 4.


Hogyan lehetne 2-ből (-4)-et elvenni?

A 2-t nem csak abban az alakban adhatjuk meg, hogy 5 + (-3); hanem például úgy is, hogy 6+(-4).
6 +(-4) - (-4) = 6.
Tehát 2-(-4) = 6.


Itt azt használtuk fel, hogy 0-át adhatunk bármihez, az érték nem változik:
1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1.

5 + (-3) + 1 + (-1) még mindig 2-vel egyenlő.


Összességében: negatív szám kivonása azonos pozitív szám hozzáadásával.
2 - (-3) = 2 + 3
2 - (-2) = 2 + 2
2 - (-4) = 2 + 4
stb.
Ha a témához van még kérdésed, nyugodtan tedd fel itt a blogon!