2009. augusztus 5., szerda

Hatványozás

A racionális számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása (osztó nem lehet 0) után megismerkedünk a hatványozás művelettel.

Példa:
Egy 10cm élű fakockát feketére festettünk, majd az oldallapokkal párhuzamos vágásokkal 1cm élű kockákra daraboltuk. Hány olyan kis kockát kaptunk, melynek legalább az egyik lapja fekete?

A nagy kockát 10*10*10 = 1000 kis kockára daraboltuk. A "belső", nem színezett kis kockák száma: 8*8*8 = 512 darab. Így legalább egy oldallapja fekete 1000-512 darabnak, azaz 488-nak.

Amikor önmagával szorzunk egy számot, azaz egy szorzásban a tényezők azonosak, akkor a hatványjelölés segítségével röviden is leírhatjuk a műveletet:

10*10*10 rövid jelöléssel 103. (tíz a harmadikon)
8*8*8 hatvány jelöléssel 83.

Elnevezések: 10 - alap; 3 - kitevő; 1000 - hatványérték.

Példák:
(-5)2 = 25
(-3/2)3 = -27/8
0,54 = 0,0625

Megállapodás:
- bármely szám első hatványa maga a szám (341 = 34)
- a nulla kivételével bármely szám nulladik hatványa 1 (7,20 = 1)

A következő bejegyzésben a hatványokkal végzett műveleteket ismerjük meg.

60 megjegyzés:

  1. köszi ez nagyon szuper!nagy segitség! a fiam hatodikos ma hozott a II.műveletek racionális számokkal :hatványozás-ból az első 1-ét.nagyon nagy segitség lenne ha tudnál neki adni valami feladatot,ugyanis én tök hülye vagyok hozzá!NAGYON KÉRLEK SEGÍTS! küldj kérlek erre szabo.laszlo17@chello.hu köszönőm előre is!

    VálaszTörlés
  2. Szia.Hát van ez így de talán tudok segíteni mert én 7-es vagyok és én értek ehez először is tanulja meg a fiad az alapot és tudjon egy hatványt kiszámítani például:5 a másodikon azt úgy kell,hogy 5*5=25 vagy ha 2 a 8-dikon akkor 2*2*2*2*2*2*2*2=256 nagyon egyszerű csak én szerintem ehez a számításokhoz használjon számológépet ha nem tudja fejben kiszámítani akár megtiltja a tanár nem érdekes akkor is használja.A legegyszerübb ha az interneten keres egy olyan oldalt ahol ilyenekkel foglalkoznak.Vagy pedig menjen elegy matek tanárhoz!Szia jótanulást

    VálaszTörlés
  3. O_O Mit beszélsz? A számológépekhez akarod lácolni szegény gyereket? Mi értelme van akkor a matematikának? A lényeg, a logika fejlesztése és ezzel együtt a probléma megoldó képesség fejlesztése. De ehhez szükséges ilyesféle alap számítások ismerete. Tudja fejből a hatványokat, mert iszonyatosan jól jön.

    VálaszTörlés
  4. Sziasztok holnap irunk a hatványozásbol és semit nem tudok belőle ha valaki segitene megtanulni ezt a számitást akkor azt nagyon megköszöném. krovakulcs@citromail.hu

    VálaszTörlés
  5. de hogyha nem használnak a gyerekek számológépet akkor elég nehéz mert mondjuk a dolgozatban van olyan hogy nyolc a kilencediken akkor azt fejben hogy számolja ki? elmegy az egész dolgozatírási idő mire ezt ki tudja fejben számolni. manapság már megengedik még az általános iskola felső tagozatában is a számológép használatot...

    VálaszTörlés
  6. A hatványozás egy rövidítés, azt írjuk le röviden, hogy melyik számot kell önnmagával valahányszor összeszorozni. A nagy szám az alap, őt kell majd szorozni önmagával. A jobb felső sarokba írt kicsi szám a kitevő, ez mondja meg, hogy hányszor szorozzuk az alapot.

    Kettő az ötödiken ezt jelenti: 2*2*2*2*2
    1/2 a harmadikon ezt jelenti:(1/2)*(1/2)*(1/2)
    (-4) a másodikon ezt jelenti: (-4)*(-4).

    Ha már műveleteket is kell hatványokkal végezni, akkor azt javaslom a kezdőknek, hogy mindig írják így ki a szorzásokat. Például:
    4 a harmadikon szorozva 4 az ötödikennel: 4*4*4*4*4*4*4*4 s erről leolvasható, hogy 4 a nyolcadikon az eredmény.

    Osztásnál is: 3 a hatodikon osztva 3 a negyedikennel: (3*3*3*3*3*3):(3*3*3*3); így látszódik az egyszerűsítési lehetőség, s egyszerűsítés után 3 a másodikon lesz az eredmény.

    Ha fordítva adják fel az ilyen osztást, akkor jutunk el a negatív kitevőkhöz: 3 a negyediken osztva 3 a hatodikonnal = 1/(3*3). Vagyis egyszerűsítés után a nevezőben maradnak szorzótényezők, a számláló pedig 1. Ez az 1/(3*3) éppen 3 a mínuszmásodikon.

    Általános iskolában csak egész számok a kitevők, ha középiskolás a kérdező, akkor kissé bonyolultabb a helyzet. Javaslom a törtkitevős bejegyzésemet.

    VálaszTörlés
  7. 2 es vagyok matekbol ...ránéztem szeptemberben az oldalra és 4 es vagyok ksözönöm hogy ilyen megértően leírtok mindent :) ez az oldal nekem sokat segít a tövábbtanulásomban köszönöm!:)

    VálaszTörlés
  8. sziasztok!én értek mindent de megakad a tudomány ha pl.1990*1990-ediken!
    segítsetek még ma!

    VálaszTörlés
  9. bavan75 tudna valaki segiteni abban 2,2,2,2 hogyan lehet felirni,hogy az össszege nagyobb legyen mint 2 a 222n!csak a 4db kettes használható! köszönöm

    VálaszTörlés
  10. Sajnos itt nem tudok kitevőt írni, de 2 a (22 a másodikon)-on nagyobb lesz, mint 2 a 222-en.
    Azért, mert nincs zárójel, így először a kitevőben lévő hatványt kell kiszámolni:
    22 a másodikon = 484.
    S ez a 484 a kitevője az első kettesnek.

    VálaszTörlés
  11. Ma ettől is nagyobb szám lesz:
    2 a (2 a huszonkettediken)-en.

    VálaszTörlés
  12. A halmazokkal hogy állsz??Tudnál segiteni??

    VálaszTörlés
  13. valaki tudja 0,6 az 1009-ik ent?

    VálaszTörlés
  14. 0,6 az 1009-ediken egy roppant kis szám. Mondhatni 0.

    Először is ez egy 1009 darab tényezőből álló szorzat, s minden tényező 0,6.

    Másodszor, mivel a hatványalap 1-nél kisebb (pozitív szám), így a hatványérték is 1-nél kisebb lesz.

    A hatványérték megközelítőleg 10 a -223-on, amit úgy kell leírni, hogy 0,000..., a tizedesvessző után 222 darab nulla jön, majd ezután következnek az értékes jegyek.

    VálaszTörlés
  15. Valaki meg tudná nekem mondani h kell törttel hatványozni!?

    VálaszTörlés
  16. Van már a törtkitevőről egy bejegyzés.
    Röviden:
    5 a (2/3)-ikon azt a számot jelenti, aminek a 3. hatvány 5^2 (azaz 25).

    5 a (2/3)-ikont átírhatjuk gyökös alakra:
    harmadikgyök(5 a másodikon).

    S ha ezt 3. hatványra emeled 5 a másodikont kapsz:
    -------------------------

    = 5 a (2/3)-ikon harmadik hatványa 5^2.
    = harmadikgyök(5^2) harmadik hatványa is 5^2.
    -------------------------

    Tehát a kitevőben lévő törtszám nevezője a valahanyadik gyök; a számláló pedig a gyökjel alatti alap kitevője.

    VálaszTörlés
  17. valaki tudja-e a negativ hatvanyozast tortek esete??? koszi elore is!!!!!!!!!

    VálaszTörlés
  18. (2/3)^(-5) =
    (3/2)^5.

    A negatív kitevő "annyit csinál", hogy a hatványalap reciprokát kell venni, s aztán azt hatványozni a pozitív kitevőn.

    Miért?

    Negatív kitevő akkor lép fel, amikor azonos alapú hatványokat osztunk, és a nevezőben van a nagyobb kitevő:

    (2/3)^2/(2/3)^7 =
    (2/3)^(2-7) =
    (2/3)^(-5)

    Vagyis a nevezőben van öt darab tényező:
    1/(2/3)^5 =
    (1/(2/3))^5 =
    (3/2)^5.

    VálaszTörlés
  19. "vita a számológépről"

    Az a lényeg, hogy az alap dolgokat ismerje a gyerek, tehát tudja, h 8 a másodikon 64, és nem 16(8x2). A kiszámolás már nem lényeg, mert az utána megy géppel is.

    VálaszTörlés
  20. Sziasztok!
    Tudnátok nekem segíteni abban, hogy hogyan lehet egy számot hatványalakban a leggyorsabban meghatározni?(-mert én sem tudom). A fiam 6.osztályos és most tanulják a hatványozást.Folyamatosan 2 eseket hoz, mert levezeti a számok bontását, de sajna erre nincs idő a dolgozatban.Ugyanis a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó meghatározásához is szükség van rá. A tanára azt mondta tanulja meg a szabályt!-de hiába tudja, ha nem tudja alkalmazni.
    SOS.Zsuzsi

    VálaszTörlés
  21. Kedves Zsuzsi!
    Számok felbontását prímhatványok szorzatára úgy csináljuk, hogy a legkisebb prímszámtól kezdve megnézzük, hogy mely prímekkel osztható a szám. Esetleg számológép segít az osztásokban. Erre a linkre egy képet tettem fel a módszerről (másold a böngésződ címsorába):

    http://picasaweb.google.com/lh/photo/fXeoX76xT0D9PgolMNrTaSZGgpVQ0KSOAMXy7M3AQsk?feat=directlink

    Még középiskolában is így csináljuk.

    A legnagyobb közös osztó szorzatalakját így olvassuk le: a közös prímtényezők a kisebbik hatványon.

    A legkisebb közös többszörös szorzatalakját így olvassuk le: az előforduló összes prímszám a nagyobbik hatványon.

    VálaszTörlés
  22. ILYEN NAGY PROBLÉMA A HATVÁNYOZÁS, AZT MINDEN ÉRETTSÉGIZETTNEK SŐT AZ ÁLTALÁNOS ISKOLÁT VÉGZETTNEK ISMERNIE KELLENE.NEHÉZ MA SZÜLŐNEK LENNI, HA NEM TANULTUK MEG ANNAK IDEJÉN A HATVÁNYOZÁST.JAVASOLOM A GOOGLE.HU-BA ÍRJUK BE-A HATVÁNYOZÁS ALAPJAI ÉS MŰVELETEK- OTT MINDENT MEGTALÁLUNK ELMÉLETET, GYAKORLATOT EGYARÁNT-TANULJUNK MI SZÜLŐK LEGALÁBB, HA A GYEREKEINK NEM TANULNAK.

    VálaszTörlés
  23. szeretnék segítséget kérni !! mértani sorozatos feladatot nem tudok megcsinálni,illetve nem jön ki a q . addig jutottam h 8=q 6.on ..és onnan nem tudok továbblépni !!

    VálaszTörlés
  24. 8 = q^6
    Mindkét oldalból 6. gyököt vonsz:

    6.gyök(8) = |q|

    6. gyök(2^3) = négyzetgyök2.

    q1 = négyzetgyök2
    q2 = - négyzetgyök2

    VálaszTörlés
  25. segítség! mennyi 2005nek a 2004. hatványa???

    VálaszTörlés
  26. mennyi (x a négyzeten)és ez a köbön_

    VálaszTörlés
  27. I.
    2005-nek a 2004. hatványa egy irdatlan nagy szám. Számológép sem tudja kiírni, normálalakban sem. Több, mint 6600 számjegye van.

    II.
    (x^2)^3 = x^6.

    Hatvány hatványozásakor szorozzuk a kitevőket:
    (x^2)^3 = (x^2)*(x^2)*(x^2)

    Vagy még tovább bontva:

    x*x*x*x*x*x = x^6

    VálaszTörlés
  28. Szeretnék segítséget kérni! Feladat megoldása majd visszaellenőrzése:
    2X-3/5X=(3/2X-1/2)+(2-2/5X) ?

    VálaszTörlés
  29. Kedves Kérdező! Örülnék neki, ha vállalnád legalább a keresztneved.

    Ez egy törtegyüttható egyenlet.

    1.) Összevonjuk az egynemű kifejezéseket az egyenlet mindkét oldalán:

    (7/5)x = (11/10)x + 3/2

    2.) Mindkét oldalból elveszünk (11/10)x-et:

    (3/10)x = 3/2

    3.) Mindkét oldalt osztjuk (3/10)-del:

    x = 5.

    Az 5-öt visszahelyettesíted és elvégzed a műveleteket:

    Bal oldal: 2*5 - (3/5)*5 = 10 - 3 = 7

    Jobb oldal: (3/2)*5 - 1/2 + 2 - (2/5)*5 =

    15/2 - 1/2 + 2 - 2 = 14/2 = 7.

    VálaszTörlés
  30. Üdv!

    Szánom bánom minden bűnöm, de sajna elakadtam. A fiam kérdezett én meg nem tudok válaszolni.
    Mi a különbség a kettő között:
    pl: -3a 3-on ill. (-3) a 3-on.

    vagy pl -5 a 2-on ill. (-5) a 2-on.

    Előre is köszönöm, Gyula

    VálaszTörlés
  31. Üdv!

    Szánom bánom minden bűnöm, de sajna elakadtam. A fiam kérdezett én meg nem tudok válaszolni.
    Mi a különbség a kettő között:
    pl: -3a 3-on ill. (-3) a 3-on.

    vagy pl -5 a 2-on ill. (-5) a 2-on.

    Előre is köszönöm, Gyula

    VálaszTörlés
  32. Kedves Gyula!

    -3 a harmadikon:

    -3^3 = -3*3*3 = - 27

    (-3) a harmadikon:

    (-3)^3 = (-3)*(-3)*(-3) = -27
    ------------------------------
    -5 a másodikon:

    -5^2 = -5*5 = -25

    (-5) a másodikon:

    (-5)^2 = (-5)*(-5) = 25.

    Első esetek: hatvány ellentettje.
    Második esetek: negatív szám hatványa.

    VálaszTörlés
  33. ez mennyi lenne 2 az 5-diken szor 3 a 7-diken szor 5 a 2-dikon

    VálaszTörlés
  34. Kedves Ivony Ijdikó!
    Köszönöm a sok értékes választ amiben másoknak segítettél.
    Én is tanultam belőle.
    Egy 3 gyermekes anyuka
    Adrienn

    VálaszTörlés
  35. (2)2007-ken *(125)345-iken*(25)200-ikon ..... mennyi jön ki ?? hány 0 kapunk ?? vagy nincs megfejtés?? minnél hamarább írjatok kössszönöm !!!!

    VálaszTörlés
  36. Kedves Kérdező! Megtisztelhetnél bennünket azzal, hogy legalább a keresztneved vállalod.

    Egy szorzat annyi 0-ra végződik, ahány darab (2*5)-ös tényező van a szorzatalakjában:

    (2^2007)*(125^345)*(25^200) =

    (2^2007)*(5^1035)*(5^400) =

    (2^2007)*(5^1435) =

    (2^1435)*(2^572)*(5^1435) =

    (10^1435)*(2^572)

    Tehát 1435 darab 0-ra végződik a szorzat.

    VálaszTörlés
  37. azt tudja valaki, hogy azt, hogy kell kiszámolni, hogy pl.:(mínusz két harmad)a harmadikon szorozva ( mínusz négy)a másodikonnal?

    VálaszTörlés
  38. mennyi 5harmadikon szor 5a nyolcadikon szor 5a másodikon szor 5a hetediken ??

    VálaszTörlés
  39. sziasztok egy ilyent kaptam hazinak:
    http://noob.hu/2011/10/29/szam.JPG

    hogy vegezzem el atalakitassal?
    koszi

    VálaszTörlés
  40. Szia! Miért nem vállalod legalább a keresztneved?

    Azonos alapú hatványok osztásakor a kitevőket kivonjuk. Ezután az első zárójelben ugyanaz az összeg lesz, mint a másodikban. Ezért a hányados 1.

    VálaszTörlés
  41. Kedves Ildikó!

    Mire megoldok egy feladatot....és örülök neki,jön a következő és rá kell döbbennem ,hogy megint nem megy.Sajnos mindig nehézséget okozott a matek,de felnőtt fejjel mégis úgy döntöttem megpróbálom az érettségit...munka és család mellett.Segítségedet előre is köszönöm.üdv:Dóra

    Negatív hatványkitevő alkalmazásával írjuk fel,a változók lehetséges értékeinél:

    5a-másodikon b-elsőn /2a a másodikon b -másodikon ,csak így tudom leírni.

    VálaszTörlés
  42. Kedves Dóra!
    Nem tudom, hogy a kötőjelek negatív előjelet jelentenek-e. Ha igen, akkor meg a feladatot nem értem: "negatív hatványkitevő alkalmazásával...".

    Szóval:
    5^(-2) = 1/(5^2)
    b^(-1) = 1/b, ahol b nem lehet nulla
    (2a)^2 = [(1/(2a)]^(-2), ahol a nem lehet nulla
    b^(-2) = 1/(b^2), ahol b nem lehet nulla.

    VálaszTörlés
  43. Kedves Ildikó!

    Szeretnék segítséget kérni.Melyik szám a nagyobb feladatok közül tört feladatokról van szó.

    1, 1/2 a 2 a 8-on van + 1/2 2 a 12-en van vagy 1/2 a 2 a 9-en van

    2, 10/3 a 6-on* 7 5-en -4 / 3 8-on* 7 4 -en
    vagy 1 / 3 6-on *7 4-en

    3, 3/ 2 7-en * 5 5-en + 8 /2 7-en * 5 6-on vagy
    3 / 2 10-en * 5 5-en

    köszönöm a segítséget:Dóra

    VálaszTörlés
  44. Kedves Ildiko olyat hogy lehet kiszamolni ,hogy 5 a 2004-en ?

    VálaszTörlés
  45. Sehogy.

    5^2004 = 10^(2004*lg5) ~ 10^1400. (az 1-es után 1400 darab 0).

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. 8 a 2014 en hogyan kell kiszamolni ?

      Törlés
    2. A 8-at összeszorzod 2014-szer.
      Vagy:
      8^2014 = 2^6042
      A 2-t összeszorzod 6042-szer.

      Törlés
  46. Kedves Ildikó !
    Nekem az lenne a problémám hogy a tanárnőnk betegség miatt hiányzott 2 hetet és hát hogy ne maradjunk le az anyaggal Tz.t- kellene irnunk. Adott feladatokat amik a dolgozatba lesznek. De sajnos ezeknek kb a felét ha vettük. kérlek segíts megoldani őket mert szerdán vagy pénteken írunk.

    A feladatokat itt találod meg:
    http://noob.hu/2011/12/03/6.png
    http://noob.hu/2011/12/03/4_1.png
    http://noob.hu/2011/12/03/2_1.png
    http://noob.hu/2011/12/03/7.png
    http://noob.hu/2011/12/03/11.png
    http://noob.hu/2011/12/03/10.png
    http://noob.hu/2011/12/03/5_0.png

    A feladatok közül ezeket érzem ugy hogy nem 100% hogy tudom.

    elmondom miket gondolok hogy hogy kellene :
    - a 6. feladatot sajnos nem vettük és sajnos semmit nem tudok hogy kell megoldani
    -ugye a 7 es feladat a 6. következik szóval azt sem tudom
    -a 4. feladat (kifejezések) sajnos azt sem vettük tanárnővel szoval az is kellene.
    -2 második feladatban azt szeretném megtudni hogy a 0,5 cm az a 0. nap vagy az 1.nap a többit tudni fogom. (talán a ábrázolást nem)
    -A 11. es feladatban azt odáig eljutok hogy
    5,5=10 az 5-diken SZOROZVA eA-1.106 odikon de onnan nem tudom tovább.
    -a 10. feladatban a megoldás 3,2 vagy 1,6 mm??
    -az 5. feladat pedig végig kellene szintén.

    Elnézést hogy ilyen sok de nincs kihez fordulnom és esetleg még megkérdezhetném hogy különórát tart-e matekból ?? mert egy pár orát vennék

    köszönöm szépen a fáradalmait remélem tud segíteni. További szép napot

    VálaszTörlés
  47. Határozzuk meg az n=10 a 2015. hatványon + 2 * 10 a 2012. hatványon - 1 szám számjegyeinek összegét. Hatodikos házi... segítene valaki? Előre is köszi Lori vagyok

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Lori!
      Az első összeadandó: 1-es után 2015 darab nulla.
      A második összeadandó: 2-es után 2012 darab nulla:
      ezek összege:
      10020000.......00 (a 2-es után 2012 darab nulla).
      Ha ebből kivonunk 1-et:
      100199999....99. (2012 darab 9-es)
      Így a számjegyek összege:
      2012*9 + 2 = 18110.

      Törlés
    2. hogyan kell kiszamitani: 8 a 249-en? kerem szepen le irna ? nagyon fontos ez a megoldas neke

      Törlés
  48. Kedves Ildikó!

    Az alábbi példa megoldásában tudna-e segíteni?

    2^35+3x2^33+2^32
    ------------------- (osztva)
    2^34-2^32

    Előre is köszönöm!
    Erika

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szorzattá alakítjuk a számlálót is, nevezőt is: kiemelünk 2^32-t.
      Számláló: 2^32(2^3 + 3×2 + 1)
      Nevező: 2^32(2^2 - 1)
      Egyszerűsítjük a törtet 2^32-nel. Egyszerűsítés után a számláló 8 + 6 + 1 = 15. A nevező: 4 - 1 = 3.
      15/3 = 5.

      Törlés
    2. Köszönöm! :-)

      Erika

      Törlés
  49. Üdvözlöm. Nagyon elakadtam a hatványokban. Egy feladatot kaptam és nem értem. Valaki tudna segíteni? Bizonyítsd be hogy:
    5 | 2001 a 2007 en+ 2002 a 2006 on előre is köszönöm Éva

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Éva!
      Az 5-tel való oszthatóság miatt csak az utolsó számjegyeit kell vizsgálni a hatványoknak.
      2001 végződése 1, s ennek minden hatványa is 1. Így a 2007. hatványa is 1-re fog végződni. (Minden 1-re végződő szám akárhányadik hatványa is 1-re végződik)
      A 2002 végződése 2, így a 2 hatványok utolsó számjegyeit kell megtudni:
      2¹ = 2
      2² = 4
      2³ = 8
      2 a negyediken végződése 6.
      S innentől ez a négy utolsó jegy fog ismétlődni.
      Mivel a kitevő 2006, s ez 4-gyel osztva 2 maradékot ad, ezért ugyan az lesz az utolsó számjegye, mint 2²-nak, azaz 4.

      A két végződést összeadva: 1 + 4 = 5, így az összeg 5-re végződik. Tehát osztható 5-tel.

      Törlés
  50. Üdv! Tudom ,hogy ez az oldal rég nem működik de ha valaki látna ezt megkérdezném,hogy mennyi az amikor szám is és betű is szerepel?Itt a feladatom amiben segíteni kéne. B a -4-en szor B a harmadikon.Előre is köszönöm.
    Hunor

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Hunor! Az oldal működik, válaszolok a kérdésekre.
      B^(-4)*B^3 = B^(-1)
      Azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevőket össze kell adni.

      Törlés
  51. Kedves Ildikó!
    Elakadtam, tudna nekem is segíteni?
    Melyik a nagyobb?
    3 a 2007.en
    vagy
    2 a 3345.en?
    Köszönöm, Niki

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A kitevőket alakítjuk át:
      2007 = 3*669
      3345 = 5*669

      Így a hatványok:
      (3^3)^669 = 27^669
      (2^5)^669 = 32^669

      A második hatványérték a nagyobb, mert az alapja nagyobb.

      Törlés