2012. december 27., csütörtök

2012. július 31., kedd

Legnagyobb közös osztó

A természetes számokat, az osztóik száma alapján, három halmazba sorolhatjuk:
A = {0; 1}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}

B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat prímszámoknak nevezzük.

C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat összetett számoknak nevezzük.

A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.

Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:
12 = 2*2*3
54 = 2*3*3*3
Ezt a szorzat alakot nevezzük prímtényezős szorzat alaknak - a szorzás minden tényezője prímszám.

Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám összes osztóját:
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3

A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?

A legnagyobb közös osztó prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es  és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.

Más példa:
288 = 25*32
3024 = 24*33*7
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:
24*32 = 144.

A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:
(12; 54) = 6
(288; 3024) = 144

Összefoglalva: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.

Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:
14 = 2*7
15 = 3*5.
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.
(14; 15) = 1.

A legnagyobb közös osztó meghatározásának a törtek egyszerűsítésénél van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!

1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:
5100 = 22*3*52*17
6120 = 23*32*5*17

2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:
(5100; 6120) = 22*3*5*17 = 1020

3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:
5100/6120 = 5/6.

2012. május 11., péntek

2012. március 11., vasárnap

Háromszögek szögeinek kiszámítása

A koszinusztétel és a szinusztétel segítségével számolhatjuk ki egy háromszög szögeit, ha ismerjük az oldalait. Nézzük ezt meg egy feladaton keresztül!

Egy háromszög oldalai a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Mekkorák a szögei?

1.)
A leghosszabb oldalra írjuk fel a koszinusztételt:

202 = 122 + 152 - 2*12*15*cos(gamma)

400 = 144 + 225 - 360*cos(gamma)

400 = 369 - 360*cos(gamma)

31 = -360*cos(gamma)

-0,0861 = cos(gamma)

94,94° = gamma

2.)
Innen pedig a szinusztétel segítségével kiszámolunk egy másik szöget:

sin(alfa) / sin94,94° = 12 / 20

sin(alfa) = sin94,94°*12 / 20

sin(alfa) = 0,5978

alfa = 36,71°

Még egy szög van 0° és 180° között, amelynek a szinusza ugyanennyi (143,29°), de ez most nem lehet megoldás a háromszög alfa szögére, mert a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög. Mivel 12 < 20 ezért alfa < 94,94°.

3.)
A harmadik szöget kivonással (is) számolhatjuk:

béta = 180° - 94,94° - 36,71°
béta = 48,35°

2012. február 16., csütörtök

Koszinusztétel

A koszinusztétel levezetéséről, alkalmazásáról készített pdf dokumentum letölthető a következő linkről:

Kattints ide a dokumentumért!

2012. február 1., szerda

Szinusztétel

Egy feladaton keresztül ismerkedünk meg a szinusztétellel. Egy háromszög egyik oldala 12cm, másik 9cm hosszú; valamint a 12cm-es oldallal szemközt 68°-os szög van. Számítsuk ki a 9cm-es oldallal szemközti szöget!

Ahhoz, hogy szögfüggvényt tudjunk alkalmazni a szögszámításhoz, szükség van derékszögű háromszögre. Ezért meghúzzuk a harmadik oldalhoz tartozó magasságot.

Így
sin68° = m/9
amiből
m = 9sin68°

A másik derékszögű háromszögben:
sinß = m/12
amiből
m = 12sinß

Ezért
12sinß = 9sin68°
sinß =9sin68°/12
sinß ~ 0,6954

Egy háromszög szögei nagyobbak 0°-nál és kisebbek 180°-nál. Ebben a tartományban egy hegyesszögnek is, és egy tompaszögnek is ennyi a szinusza: 44,06°-nak és 135,94°-nak. Eszünkbe jut azonban, hogy egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög.
Mivel 9cm < 12cm, így most csak a 44,06° lehet ß.

Általánosan is:


A háromszög két oldalának aránya (hányadosa) egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával (hányadosával).
Egy háromszögben az oldalak aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával.