2020. július 25., szombat

Egyenletek önállóan

Hová kattints, ha önállóan szeretnéd gyakorolni, megtanulni az egyenletmegoldást?

Járd végig az alábbi tanösvényt! Ne ugorj át egyszerűnek tűnő lépéseket, feladatokat - tartsd be a fokozatosság elvét!


  1. Mérlegelv megértése: http://matekotthon.blogspot.com/2009/08/egyenletek-merlegelv.html
  2. Mérlegelv videóban: https://www.youtube.com/watch?v=-DcSsACAJb8
  3. Egyenlet és kép egyeztetése: https://learningapps.org/2447330
  4. Elsőfokú egyismeretlenes: https://www.youtube.com/watch?v=QhyF108hgl8
  5. Képes egyenletek gyakorlásnak: https://learningapps.org/2447245 (Kattints a képre, hogy nagyobban lásd!)
  6. Abszolútértékes: https://www.youtube.com/watch?v=KvU7rO4PmbI
  7. Másodfokú egyenlet megoldóképlete: https://www.youtube.com/watch?v=39V367Aa9Hc
  8. Gyakorlás ellenőrzéssel: https://tudomanyplaza.hu/egyenletek-feladatok-es-megoldasok-1/

2016. május 18., szerda

2014. szeptember 30., kedd

Függvények - alapfogalmak

Ha elmegyünk egy boltba vásárolni, akkor minden termék árcéduláján megtaláljuk az egységárukat. Egy iskolában a tanulóknak mindig van osztályfőnöke. Minden országnak egyértelműen ismerjük a fővárosát. A folyóknak a hosszát, a hegyeknek a magasságát ismerjük.

Sok-sok példát találhatunk még a hétköznapokban olyan rendszerre, amikor két halmaz elemi között létesítünk kapcsolatot egy szabállyal:

1.)
A = {kenyér, tej, csoki}
B = {természetes számok}
szabály: termékhez hozzárendeljük az egységárát
Példa: kenyér --> 300

2.)
A = {Anna, Béla, Csaba}
B = {Juliska néni}
szabály: tanulóhoz hozzárendeljük az osztályfőnökét
Példa: Béla --> Juliska néni

3.)
A = {Magyarország; Ausztria, Szlovákia, Németország}
B = {Budapest, Bécs, Pozsony, Párizs}
szabály: országhoz a fővárosát rendeljük
Példa: Ausztria --> Bécs

Az első halmazt alaphalmaznak nevezzük, a másodikat képhalmaznak.

Ha az alaphalmaz bármely elemének legfeljebb egy képe van a képhalmazban, akkor a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A második és harmadik példa függvény.

Nem függvény a hozzárendelés például akkor, ha minden pozitív egész számhoz az osztóit rendeljük.

Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elemnek van képe a képhalmazban a függvény értelmezési tartományának nevezzük. A harmadik példában az értelmezési tartomány {Magyarország, Ausztria; Szlovákia} halmaz.

A képhalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elem képe valamely alaphalmazbeli elemnek a függvény értékkészletének nevezzük. A harmadik példában az értékkészlet a {Budapest, Bécs, Pozsony} halmaz.

Nézzünk egy olyan függvényt, ahol az alaphalmaz is és a képhalmaz is számhalmaz, a szabály pedig műveletekből áll: minden valós számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot. Példák:
4 --> 5
-9 --> -21
0,75 --> -1,5
√2 --> 2√2 - 3
x --> 2x - 3

Az utolsó sor már képlettel adja meg a szabályt, az x az alaphalmaz egy tetszőleges elemét jelöli:
x ϵ R (x eleme a valós számok halmazának).

A függvényeknek nevet adunk, a magyar ábécé kisbetűivel jelöljük őket. Például az előbbi függvény neve legyen f. Az előbbi példák így is leírhatók:
f(4) = 5
f(-9) = -21
f(0,75) = -1,5
f(√2) = 2√2 - 3
f(x) = 2x - 3
A függvény neve után zárójelben az alaphalmaz elemét írjuk; az egyenlőségjel után pedig a képhalmaznak azt az elemét, amelyet a szabály alapján hozzárendelünk. A képhalmaznak ezeket az elemeit szokás függvényértéknek nevezni.

A függvényeket nagyon szemléletessé teszi, ha ábrázoljuk őket. Az ábrázolás szabályai: a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes számegyenese (az x-tengely) az alaphalmaz elemeit tartalmazza; a függőleges számegyenes (az y-tengely) a képhalmaz elemeit tartalmazza. Más szavakkal: az ábrázolandó pont első koordinátája az alaphalmaz eleme, a második koordinátája pedig a szabály alapján hozzárendelt függvényérték. Így az f függvényünk grafikonja:



2013. december 25., szerda

Algebrai törtek

Algebrai törteknek nevezzük az olyan kifejezéseket, amelyekben változó van a nevezőben. Például 1/a; vagy (x^2 - 1)/(x - 1); stb.
Ugyanolyan műveleteket végezhetünk algebrai törtekkel, mint törtszámokkal. Előbb azonban ki kell kötni, hogy milyen szám nem lehet a nevezőben lévő változó, hiszen nullával nem osztunk. Például az 1/a esetén az a kikötés, hogy a ≠ 0. A második példa esetén a nevező akkor lenne nulla, ha x = 1, ezért itt azt kell kikötni, hogy x ≠ 1.

Algebrai törtek egyszerűsítését (is) ugyanúgy végezzük el, mint törtszámok esetén: a számláló és a nevező közös osztóját (vagy osztóit) kell megtalálni, s ezzel a közös osztóval lehet egyszerűsíteni. Ehhez előbb szorzattá alakítjuk mindkettőt.
Például az (x^2 - 1)/(x - 1) esetén

  • a számláló szorzatalakja: (x +1)(x -1); 
  • a nevező szorzatalakja: 1*(x - 1).

Így az (x - 1) tényezővel lehet egyszerűsíteni:
(x^2 - 1)/(x - 1) = x + 1 (x≠1)

2013. október 21., hétfő

Algebrai kifejezések összevonása

Amikor betűket és számokat műveleti jelekkel kapcsolunk össze, akkor algebrai kifejezésekről beszélünk. A betűket változóknak nevezzük. Azt a számot, amivel szorozzuk a változót, együtthatónak nevezzük. Példák algebrai kifejezésekre:

2a + 2b
x2y + xy2 - x3
(x + 2a)3

Egytagú kifejezések:azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás szerepel egytagú kifejezéseknek nevezzük. Például:
2xy
3a/4

Egynemű kifejezések: egytagú kifejezéseket egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. Egyneműek:
2ab; -ab; 0,6ab; 5643ab;

Nem egyneműek: ab; a2b; ab2; 7a; 7b

Összevonás: egynemű kifejezések összevonásakor az együtthatókat adjuk össze:

3x + 2x - 5,6x = -0,6x
2xy + 6xy - 0,8x -7xy + 4y = xy - 0,8x + 4y

Zárójelbontás:
2(a + ab - b) = 2a + 2ab - 2b
5 - (x - 2xy + 3) = 5 - x + 2xy - 3 = -x + 2xy + 2
-xy(6 - ab) = -6xy + abxy

Szorzattá alakítás (közös tényező kiemelése zárójel elé):
xy + 5x = x(y + 5)
4a + 5ab - ax = a(4 + 5b - x)

Helyettesítési érték
Számoljuk ki a 2a + 3b kifejezés helyettesítési értékét, ha a = 1, b= -2
2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4.