2011. július 24., vasárnap

Távolságok kiszámítása

Az előző bejegyzésben tárgyalt szögfüggvények egyik alkalmazásáról lesz most szó: szakaszok hosszának kiszámítása.

Példa: egy derékszögű háromszög átfogója 8cm, egyik hegyesszöge 23°. Mekkorák a befogók?

Derékszögű háromszögben oldalak és szögek közötti összefüggéseket a szögfüggvények írnak le. 'a'-val jelölöm a 23°-os szöggel szemközti befogót:

sin23°= a/8

Számológéppel megnézzük sin23° értékét:

0,3907 = a/8

Szorzunk a nevezővel:

3,126 = a.

A másik befogót, a 23° melletti befogót, innentől már többféleképpen is kiszámíthatjuk: koszinusszal, kotangenssel, Pitagorász-tétellel:

cos23°= b/10
ctg23°= b/3,126
82 = 3,1262 + b2

Vannak olyan számológépek, amelyeken nincs ctg billentyű. Ha valaki mindenáron kotangenssel akar számolni, akkor egy összefüggést kell előbb észrevennie a tg és a ctg között. Ha visszapörgettek az előző bejegyzéshez, akkor észrevehető, hogy a tgalfa és ctgalfa egymás reciprokai (a/b illetve b/a).
Ezért ctg23°-ot úgy tudjuk meghatározni, hogy előbb megnézzük tg23° értékét (számológépen tan23), majd ennek vesszük a reciprokát. A reciprok kiszámításához használjátok az 1/x billentyűt!

Még egy dolog, amire figyelni kell a számológépeken: a 'MODE' beállítása. Amikor a szögek mértékegysége fok, akkor 'DEG' legyen a beállítás. Van lehetőség arra, hogy a szögeket radiánban adjuk meg, s így számoljunk a szögfüggvényeikkel. Ilyenkor 'RAD' legyen a beállítás.

Visszatérve a példához:
cos23°= b/8
0,9205 = b/8
7,364 = b.

Tehát a derékszögű háromszög befogói 3,125cm és 7,364cm.

2011. július 17., vasárnap

Hegyesszögek szögfüggvényei

Hasonló derékszögű háromszögeket fogunk most megvizsgálni.
Ez a két derékszögű háromszög hasonló, mert szögeik egyenlők (90°és alfa). Így oldalaik aránya állandó:
3/5 = 0,6
x/10 = 0,6

Ha ezt a háromszöget tovább nagyítanánk - nem csak kétszeresre, mint az ábrán, hanem háromszorosra, négyszeresre, vagy kicsinyítenénk felére, harmadára, stb. - ez az arány akkor sem változik, továbbra is 0,6 marad.

Az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,6.

Nagyításkor, kicsinyítéskor a szögek nem változnak, csak az oldalak hossza. Ezek a hosszúságok azonban ugyanannyiszorosra változnak, így arányuk állandó marad.

Ha azonban megváltoztatnánk az alfa szöget, egyből megváltozna a befogó és az átfogó aránya is.

Derékszögű háromszögben az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya csak az alfa szögtől függ, ezt az arányt nevezzük szinusz alfának. A fenti ábrán szinusz alfa = 0,6.

Mekkora ez az alfa szög? Táblázatból nézhetjük meg (vagy számológép segítségével), hogy alfa körülbelül 37°-os szög. (Ha szerkesztünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója 3 egység, átfogója 5 egység, s megmérjük az alfát, körülbelül 37°-ot olvashatunk le a szögmérőről.)

Már az ókori görög matematikusok foglakoztak ilyen problémákkal: táblázatba foglalták egy kör középponti szögeit és a hozzájuk tartozó húrok hosszát. Az első ilyen szinusztáblázatot Hipparkhosz készítette.

Derékszögű háromszögben az alfa hegyesszög szögfüggvényei:

szinusz alfa = szöggel szemközti befogó / átfogó
koszinusz alfa = szög melletti befogó / átfogó
tangens alfa = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó
kotangens alfa = szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó.