2012. március 11., vasárnap

Háromszögek szögeinek kiszámítása

A koszinusztétel és a szinusztétel segítségével számolhatjuk ki egy háromszög szögeit, ha ismerjük az oldalait. Nézzük ezt meg egy feladaton keresztül!

Egy háromszög oldalai a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Mekkorák a szögei?

1.)
A leghosszabb oldalra írjuk fel a koszinusztételt:

202 = 122 + 152 - 2*12*15*cos(gamma)

400 = 144 + 225 - 360*cos(gamma)

400 = 369 - 360*cos(gamma)

31 = -360*cos(gamma)

-0,0861 = cos(gamma)

94,94° = gamma

2.)
Innen pedig a szinusztétel segítségével kiszámolunk egy másik szöget:

sin(alfa) / sin94,94° = 12 / 20

sin(alfa) = sin94,94°*12 / 20

sin(alfa) = 0,5978

alfa = 36,71°

Még egy szög van 0° és 180° között, amelynek a szinusza ugyanennyi (143,29°), de ez most nem lehet megoldás a háromszög alfa szögére, mert a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög. Mivel 12 < 20 ezért alfa < 94,94°.

3.)
A harmadik szöget kivonással (is) számolhatjuk:

béta = 180° - 94,94° - 36,71°
béta = 48,35°