2012. február 16., csütörtök

Koszinusztétel

A koszinusztétel levezetéséről, alkalmazásáról készített pdf dokumentum letölthető a következő linkről:

Kattints ide a dokumentumért!

2012. február 1., szerda

Szinusztétel

Egy feladaton keresztül ismerkedünk meg a szinusztétellel. Egy háromszög egyik oldala 12cm, másik 9cm hosszú; valamint a 12cm-es oldallal szemközt 68°-os szög van. Számítsuk ki a 9cm-es oldallal szemközti szöget!

Ahhoz, hogy szögfüggvényt tudjunk alkalmazni a szögszámításhoz, szükség van derékszögű háromszögre. Ezért meghúzzuk a harmadik oldalhoz tartozó magasságot.

Így
sin68° = m/9
amiből
m = 9sin68°

A másik derékszögű háromszögben:
sinß = m/12
amiből
m = 12sinß

Ezért
12sinß = 9sin68°
sinß =9sin68°/12
sinß ~ 0,6954

Egy háromszög szögei nagyobbak 0°-nál és kisebbek 180°-nál. Ebben a tartományban egy hegyesszögnek is, és egy tompaszögnek is ennyi a szinusza: 44,06°-nak és 135,94°-nak. Eszünkbe jut azonban, hogy egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög.
Mivel 9cm < 12cm, így most csak a 44,06° lehet ß.

Általánosan is:


A háromszög két oldalának aránya (hányadosa) egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával (hányadosával).
Egy háromszögben az oldalak aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával.