2010. március 21., vasárnap

Halmazok számossága

Egy 25 fős osztályban mindenki tanul angolt vagy németet. Angolul 18-an, németül 17-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az alaphalmazban az osztály tanulói vannak, összesen 25-en. Az alaphalmaz számossága 25. Így jelöljük: |U| = 25.
Két tulajdonságot különböztetünk meg: angolul tanulók, németül tanulók. Bármely tanuló legalább az egyik halmaznak eleme.

Az angolul tanulók halmazának 18 eleme van, azaz számossága 18. Így jelöljük: |A|=18.
A németül tanulók halmazának 17 eleme van, azaz számossága 17. Így jelöljük: |B|=17.

Azok a tanulók, akik mindkét nyelvet tanulják a két halmaz metszetének elemei. A kérdés a metszet számossága. A 18+17 összegben kétszer szerepel a metszet elemszáma: aki mindkét nyelvet tanulja arra igaz az is, hogy angolt tanul, és az is, hogy németet.

Az osztálylétszámban viszont mindekinek egyszer kell szerepelnie. Hány tanulót számoltunk meg kétszer? 35 - 25 = 10. Tehát 10 tanuló tanulja mindkét nyelvet.

Egy osztály tanulóinak 2/3 része angolul tanul, 3/4 része pedig franciául. 10 tanuló mindkét nyelvet tanulja. Hányan járnak az osztályba, ha mindenki tanul legalább egy nyelvet?

Ismét a metszet elemei szerepelnek mindkét halmazban, az angolul tanulók halmazában is, és a franciául tanulók halmazában is.
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12.
Ahányad résszel több ez az összeg az 1 egésznél, az osztály annyiad része van a metszetben:
1 - 17/12 = 12/12 - 7/12 = 5/12.

Az osztály 5/12 része 10 fő.
Így az 1/12 rész 2 fő.
A 12/12 rész 24 fő.
Tehát az osztályban 24 diák tanul.

Egy 30 fős osztályban 20-an tanulnak angolul, nem tanulnak németet 17-en, és két olyan diák van, akik sem németül, sem angolul nem tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az, hogy "nem tanulnak németet" azt jelenti, hogy a németül tanulók halmazának komplementere 17 főt tartalmaz. Így a halmaz számossága 30 - 17 = 13 fő. Tehát 13 fő tanul németet.

Az idegen nyelvet tanulók száma: 30 - 2 = 28.
Akik mindkét nyelvet tanulják: (20 + 13) - 28 = 5.
Tehát mindkét nyelvet 5 diák tanulja.