2010. január 17., vasárnap

Halmazok

A halmaz, elem, eleme fogalmak alapfogalmak, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal meghatározni őket. 'Halmaz' alatt összességet értsünk, az 'eleme' szó helyett használhatjuk a beletartozik, hozzátartozik szavakat.

Egy-egy konkrét halmazt viszont meg tudunk határozni. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, s így néhány példa halmazra:
A = {Budapest lakosai}
B = {Magyarország tavai}
C = {x2 kisebb 5 egész megoldásai}
D = {3; 5; 7}
stb.

A lényeg, hogy úgy kell megadni, meghatározni egy halmazt, hogy bármiről eldönthető legyen, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem.


Például: Rogán Antal eleme az A halmaznak; az Aral nem eleme a B halmaznak; -1 eleme a C halmaznak; a 4 nem eleme a D halmaznak.


Még véletlenül sem próbáltam eldönteni, hogy -1 eleme-e az A halmaznak. Azért, mert a halmaz tulajdonságából látszik, hogy milyen alaphalmazból válogatjuk az elemeit. Például az A halmaz esetén Magyarország lakosai közül.


Azt mondjuk, hogy az A részhalmaza Magyarország lakosai halmazának. (Magyarország lakosainak halmaza pedig részhalmaza Európa lakosai halmazának).


B részhalmaza Eurázsia tavai halmazának.

C részhalmaza a racionális számok halmazának.

D részhalmaza a páratlan számok halmazának.


Azt a halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele az áthúzott nulla.

Megállapodás szerint az üres halmaz részhalmaza bármely halmaznak. Úgyanígy minden halmaz részhalmaza önmagának.


Példa:

Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!

1.) üres halmaz
2.) {a}
3.) {b}
4.) {c}
5.) {a, b}
6.) {a, c}
7.) {b, c}
8.) {a, b, c}


Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölések:



(Folyt.köv. a halmazműveletekkel)

2010. január 2., szombat

Mértani sorozat

Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:

2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.

1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.

1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.

A hányados neve kvóciens, jele q.

Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a1-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:

a2 = a1*q
a3 = a1*q2
a4 = a1*q3
...
an = a1*qn-1

Mértani sorozat első n elemének összege:

Sn = a1 + a2 + ... + an
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*Sn = a2 + a3 + ... + an+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*Sn - Sn = an+1 - a1
Behelyettesítjük an+1 = a1*qn -t.

q*Sn - Sn = a1*qn - a1
Sn*(q - 1) = a1*(qn - 1)

Sn = a1*(qn - 1)/(q - 1)

Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?

A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263

Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S64 = ?
------
a64 = a1*q64-1
a64 = 1*264-1
a64 = 263

S64 = 1*(264 - 1)/(2 - 1)
S64 = 264 - 1

Ez körülbelül 1,84*1019 darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*1018 gramm = 1,153*1012 tonna