2010. november 10., szerda

Százalékszámítás, törtszámok

A százalékszámításról és a törtszámokkal végzett műveletekről készítettem egy nagyon részletes, aprólékos magyarázatokat, és rengeteg példamegoldást tartalmazó e-könyvet.

Sok-sok kérdést kaptam mind a százalékszámítás, mind a törtes műveletek, a törtész és egészrész kiszámításával kapcsolatban. Remélem segítek ezzel a könyvvel.

Az alábbi linkről tudjátok letölteni a Százalékszámítás, törtszámok című anyagot:


http://www.scribd.com/full/41786263?access_key=key-2bls0wbscegj7t1ne6em

2010. augusztus 21., szombat

Hasonlóság

A geometriai műveletek közül a hasonlóságra készítettem ezt a kis videót: a párhuzamos szelők tételéről és a hasonló háromszögek tulajdonságairól.



Nézzétek még meg a témakörhöz ezt az oldalt: Párhuzamos szelők

2010. augusztus 3., kedd

Pitagorasz-tétel

Pitagorasz időszámításunk előtt a VI. században élt, matematikus, filozófus volt. Róla nevezték el a következő összefüggést, bár nem ő fedezte fel. Már korábban is ismerték Babilonban, Egyiptomban és Kínában is.

A Pitagorasz-tételt egy kis videón mutatom be:




A bizonyításához pedig ezt a remek videót találtam:

2010. július 30., péntek

Valószínűségszámítási feladatok

A valószínűségszámítás izgalmas, viszonylag modernebb ága a matematikának.
Az alapfogalmakról, összefüggésekről készítettem egy e-füzetet, mintapéldákkal.
A következő linken érhetitek el: http://www.scribd.com/doc/96766301

2010. július 15., csütörtök

Szórás

Adatsorok jellemzéséhez a középértékeken (átlag, medián, módusz) kívül azt is fontos ismerni, hogy ezekhez viszonyítva hogyan helyezkednek el az adatok; azaz a szóródásukat.

Ezek a szóródási mutatók:

1. Terjedelem (legnagyobb és legkisebb adat különbsége).

2. Középeltérés (a mediántól való eltérések abszolútértékének átlaga).

3. Átlagos abszolúteltérés (a számtani középtől való eltérések abszolútértékének átlaga).

4. Szórás

A szórás kiszámításának lépései:

1. Kiszámítjuk az adatok számtani közepét.

2. Kiszámítjuk az adatok eltérését a számtani középtől (adat - számtani közép)

3. Vesszük ezeknek az eltéréseknek a négyzetét.

4. Kiszámítjuk ezeknek az "eltérés négyzeteknek" a számtani közepét.

5. Végül ebből négyzetgyököt vonunk.

Példa
Az 5; 6; 10 adatsor szóródási mutatói

1.) Terjedelem = 10 - 5 = 5.

2.) Középeltérés:
medián = 6
mediántól való eltérések abszolútértéke: 1; 0; 4
ezek átlaga = 1, 66.

3.) Átlagos abszolúteltérés
átlag = 7
átlagtól való eltérések abszolútértéke: 2; 1; 3
ezek átlaga = 2.

4.) Szórás
adatok eltérése a számtani középtől: -2; -1; 3
ezek négyzete: 4; 1; 9
ezek számtani közepe: 4,67
ennek négyzetgyöke: 2,16.

A szórás kiszámításának képlete:
(A : adatok számtani közepe)

2010. május 22., szombat

Vektorok

Az eltolásról, vektorok összeadásáról, kivonásáról készítettem egy kis videót.

2010. május 19., szerda

Színes golyók

Egy dobozban van 70 golyónk; közülük 20 piros, 20 zöld, 20 sárga, és a maradék 10 közül néhány fekete, a többi fehér. Becsukott szemmel legalább hány darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen 10 azonos színű golyónk?


2010. május 4., kedd

OKM_2

Dóra számítástechnika órán a szövegszerkesztés alapjait tanulja. A feladata az volt, hogy tervezze meg a ballagási meghívóját. A meghívó a következő szöveget tartalmazza:
"Ballagási meghívó
Sok szeretettel meghívlak június 15-én délután 3-kor tartandó ballagásomra: Dóra"

A meghívók nyomtatását végző nyomda csak a következő feltételeknek megfelelő szövegek nyomtatását vállalja:
A betű típusa:
  • Times New Roman
  • Ariel
  • Calisto MT
  • Lucida Sans

A betű színe: fekete, piros, arany, ezüst

A betűk változata: normál, félkövér, dőlt, aláhúzott.

Egyéb megjegyzés: A teljes szöveg azonos típusú, színű és változatú betűkből álljon!

A nyomda lehetőségeit figyelembe véve hány különböző lehetőség közül választhat Dóra a meghívó tervezésekor?

---------------

4-féle típusból választhat Dóra; ezeken belül 4-féle színből, s ezeken belül 4 féle változatból. Így 4*4*4 féle meghívót készíttethet. Röviden: 43.

---------------

A feladat a kombinatórika témakörbe tartozik. Ezen belül gyakoriak még a "kézfogásos", "koccintásos", "hány egyenest határoznak meg" kérdések. Például:

5 ember találkozik, mindenki mindenkivel kezet fog. Összesen hány kézfogás történt? Vagy: egy 5 fős társaságban mindenki mindenkivel koccint. Összesen hány koccintást hallunk? Vagy: egy körvonal 5 pontja hány egyenest határoz meg?

Mindegyik kérdésre a válasz: 5*4/2 = 10.

Egy ember 4 másikkal fog kezet (vagy koccint), s ez így 5*4 lenne, de így minden kézfogás kétszer van megszámolva (oda-vissza), ezért osztani kell 2-vel.

Vagy a pontok esetében: egy pont 4 másikkal köthető össze, de az 5*4 szorzatban minden egyenes kétszer van megszámolva (oda-vissza), ezért osztani kell kettővel.

Másképp is kiszámolhatók:

Az első pont 4 másikkal köthető össze; a második pont 3-mal nincs még összekötve; a harmadik pont 2-vel köthető még össze; a negyedik pont még 1 ponttal köthető össze. Összesen: 4+3+2+1 = 10 egyenes.

2010. május 2., vasárnap

Tízedikeseknek

Május végén országos kompetenciamérés lesz a tízedikeseknek, szövegértésből, matematikából. A következő bejegyzésekben az előző évek feladatsoraiból nézünk meg egy-egy feladatot. Javaslom, hogy a feladatokat először próbáljátok önállóan kiszámolni, majd utána nézzétek meg a megoldást.

Egy 36cm×54cm-es puzzle 120 darab közel azonos méretű kis építőelemből áll. Ugyanilyen méretű kis puzzledarabkákból hány darabra van szükség egy 45cm×63cm-es puzzle összeállításához. Satírozd be a helyes válasz betűjelét!
A 175
B 150
C 1011
D 82

--------
1. Először kiszámoljuk egy darabka területét.
2. Utána kiszámoljuk, hogy hány darab ilyen területű darabkából jön ki a második terület.
--------
1.
36cm×54cm = 1944cm2

1944cm2:120 = 16,2cm2

2.
45cm×63cm = 2835cm2

2835cm2 : 16,2cm2 = 175

Tehát 175 darab szükséges.

Másik megoldási lehetőség:

Ahányszor nagyobb a második terület, mint az első, annyiszor több darabkából rakható ki - egyenes arányosság.

(2835:1944)*120 = 175.

2010. április 3., szombat

Láncszemek


Öt láncdarab mindegyikén három láncszem van. Egyetlen láncot szeretnénk belőle készíteni úgy, hogy a lehető legkevesebb láncszemet nyissuk szét. Mennyi ez?

2010. március 21., vasárnap

Halmazok számossága

Egy 25 fős osztályban mindenki tanul angolt vagy németet. Angolul 18-an, németül 17-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az alaphalmazban az osztály tanulói vannak, összesen 25-en. Az alaphalmaz számossága 25. Így jelöljük: |U| = 25.
Két tulajdonságot különböztetünk meg: angolul tanulók, németül tanulók. Bármely tanuló legalább az egyik halmaznak eleme.

Az angolul tanulók halmazának 18 eleme van, azaz számossága 18. Így jelöljük: |A|=18.
A németül tanulók halmazának 17 eleme van, azaz számossága 17. Így jelöljük: |B|=17.

Azok a tanulók, akik mindkét nyelvet tanulják a két halmaz metszetének elemei. A kérdés a metszet számossága. A 18+17 összegben kétszer szerepel a metszet elemszáma: aki mindkét nyelvet tanulja arra igaz az is, hogy angolt tanul, és az is, hogy németet.

Az osztálylétszámban viszont mindekinek egyszer kell szerepelnie. Hány tanulót számoltunk meg kétszer? 35 - 25 = 10. Tehát 10 tanuló tanulja mindkét nyelvet.

Egy osztály tanulóinak 2/3 része angolul tanul, 3/4 része pedig franciául. 10 tanuló mindkét nyelvet tanulja. Hányan járnak az osztályba, ha mindenki tanul legalább egy nyelvet?

Ismét a metszet elemei szerepelnek mindkét halmazban, az angolul tanulók halmazában is, és a franciául tanulók halmazában is.
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12.
Ahányad résszel több ez az összeg az 1 egésznél, az osztály annyiad része van a metszetben:
1 - 17/12 = 12/12 - 7/12 = 5/12.

Az osztály 5/12 része 10 fő.
Így az 1/12 rész 2 fő.
A 12/12 rész 24 fő.
Tehát az osztályban 24 diák tanul.

Egy 30 fős osztályban 20-an tanulnak angolul, nem tanulnak németet 17-en, és két olyan diák van, akik sem németül, sem angolul nem tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az, hogy "nem tanulnak németet" azt jelenti, hogy a németül tanulók halmazának komplementere 17 főt tartalmaz. Így a halmaz számossága 30 - 17 = 13 fő. Tehát 13 fő tanul németet.

Az idegen nyelvet tanulók száma: 30 - 2 = 28.
Akik mindkét nyelvet tanulják: (20 + 13) - 28 = 5.
Tehát mindkét nyelvet 5 diák tanulja.

2010. február 14., vasárnap

Műveletek halmazokkal

Metszet

Két halmaz metszete halmaz. Azok az elemek tartoznak a metszetbe, melyek mindkét halmaznak elemei. Példa:

A={1; 2; 3}

B={a; b; c}

C={2; 3; b}


A és B metszete = üres halmaz

A és C metszete = {2; 3}

B és C metszete = {b}


Három halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak, melyek mindhárom halmaznak elemei. Az előbbi három halmaz metszete (közös része) az üres halmaz.


Unió

Két halmaz uniója halmaz. Azok az elemek tartoznak az unióba, melyek legalább az egyik halmaznak elemei. Például:


A és B uniója = {1; 2; 3; a; b; c}

A és C uniója = {1; 2; 3; b}

B és C uniója = {a, b; c; 2; 3}

A három halmaz uniója = {1; 2; 3; a; b, c}


Különbség

Két halmaz különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a különbségbe, melyek az első halmaznak elemei, de a másodiknak nem. Például:


A\B = {1; 2; 3}

A\C = {1}

B\C = {a; c}

C\A = {b}


Komplementer

Egy halmaz komplementere halmaz. Az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak egy A halmaz komplementerébe, melyek nem elemei az A halmaznak. Például:


Alaphalmaz = {pozitív, egyjegyű egészek} esetén az A halmaz komplementere =
{4; 5; 6; 7; 8; 9}


Szimmetrikus különbség

Két halmaz szimmetrikus különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a szimmetrikus különbségbe, amelyek a két halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. Például:


A és C szimmetrikus különbsége = {1; b}

B és C szimmetrikus különbsége = {a; c; 2; 3}




2010. január 17., vasárnap

Halmazok

A halmaz, elem, eleme fogalmak alapfogalmak, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal meghatározni őket. 'Halmaz' alatt összességet értsünk, az 'eleme' szó helyett használhatjuk a beletartozik, hozzátartozik szavakat.

Egy-egy konkrét halmazt viszont meg tudunk határozni. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, s így néhány példa halmazra:
A = {Budapest lakosai}
B = {Magyarország tavai}
C = {x2 kisebb 5 egész megoldásai}
D = {3; 5; 7}
stb.

A lényeg, hogy úgy kell megadni, meghatározni egy halmazt, hogy bármiről eldönthető legyen, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem.


Például: Rogán Antal eleme az A halmaznak; az Aral nem eleme a B halmaznak; -1 eleme a C halmaznak; a 4 nem eleme a D halmaznak.


Még véletlenül sem próbáltam eldönteni, hogy -1 eleme-e az A halmaznak. Azért, mert a halmaz tulajdonságából látszik, hogy milyen alaphalmazból válogatjuk az elemeit. Például az A halmaz esetén Magyarország lakosai közül.


Azt mondjuk, hogy az A részhalmaza Magyarország lakosai halmazának. (Magyarország lakosainak halmaza pedig részhalmaza Európa lakosai halmazának).


B részhalmaza Eurázsia tavai halmazának.

C részhalmaza a racionális számok halmazának.

D részhalmaza a páratlan számok halmazának.


Azt a halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele az áthúzott nulla.

Megállapodás szerint az üres halmaz részhalmaza bármely halmaznak. Úgyanígy minden halmaz részhalmaza önmagának.


Példa:

Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!

1.) üres halmaz
2.) {a}
3.) {b}
4.) {c}
5.) {a, b}
6.) {a, c}
7.) {b, c}
8.) {a, b, c}


Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölések:



(Folyt.köv. a halmazműveletekkel)

2010. január 2., szombat

Mértani sorozat

Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:

2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.

1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.

1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.

A hányados neve kvóciens, jele q.

Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a1-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:

a2 = a1*q
a3 = a1*q2
a4 = a1*q3
...
an = a1*qn-1

Mértani sorozat első n elemének összege:

Sn = a1 + a2 + ... + an
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*Sn = a2 + a3 + ... + an+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*Sn - Sn = an+1 - a1
Behelyettesítjük an+1 = a1*qn -t.

q*Sn - Sn = a1*qn - a1
Sn*(q - 1) = a1*(qn - 1)

Sn = a1*(qn - 1)/(q - 1)

Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?

A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263

Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S64 = ?
------
a64 = a1*q64-1
a64 = 1*264-1
a64 = 263

S64 = 1*(264 - 1)/(2 - 1)
S64 = 264 - 1

Ez körülbelül 1,84*1019 darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*1018 gramm = 1,153*1012 tonna