tag:blogger.com,1999:blog-38633345041832442252024-03-14T09:38:26.806+01:00Matek otthonIvony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.comBlogger75125tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-23393834420862880522023-09-17T09:01:00.004+02:002023-09-17T09:01:52.036+02:00Áremelkedés, árleszállítás<p> <b><span style="color: #351c75;">Egy könyv árát 15%-kal felemelték, s így most 7360 forintba kerül. Mennyi volt az eredeti ár?</span></b></p><p><u>100% = eredeti ár</u></p><p>115% = 7360</p><p>1% = 7360 : 115 = 64</p><p>100% = 6400</p><p><i><u>Tehát a könyv ára 6400 forint volt.</u></i></p><p><b><span style="color: #351c75;">Egy album árát 6%-kal csökkentették, s így most 8460 forintba kerül. Mennyi volt az eredeti ár?</span></b></p><p><u>100% = eredeti ár</u></p><p>94% = 8460</p><p>1% = 8640 : 94 = 90</p><p>100% = 9000</p><p><i><u>Tehát az album ára 9000 forint volt.</u></i></p><p><b><span style="color: #351c75;">Egy 8000 forintos makett árát felemelték, s így most 9120 forintot kell érte fizetni. Hány százalékos volt az áremelkedés?</span></b></p><p><u>100% = 8000</u></p><p>1% = 80</p><p>9120 : 80 = 114</p><p>Tehát 114%-ot fizet a vásárló.</p><p>114% - 100% = 14%</p><p><u><i>Tehát 14%-os volt az emelkedés.</i></u></p><p><b><span style="color: #351c75;">Egy 16000 forintos térkép árát leszállították, s így most 15200 forintot kell érte fizetni. Hány százalékos volt az árleszállítás?</span></b></p><p><u>100% = 16000</u></p><p>1% = 160</p><p>15200 : 160 = 95</p><p>Tehát 95%-ot fizet a vásárló.</p><p>100% - 95% = 5%</p><p><u><i>Tehát 5%-os volt az árleszállítás.</i></u></p>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-15467395653183768002022-04-06T02:59:00.000+02:002022-04-06T02:59:01.340+02:00Felezőpont, harmadolópont, súlypont<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivKV7FqFDV_d3ZLeVodtq1V_D61oUj2DLysEYeuFd2zSb7lY4vN8xQDONZlNOIarlIUyPimNoxeK4G7PHtlzEwGjBp2PRNulIZy_6wpZ3t1s40_Bd20L56THLlCFW-Cwg2RTd8AJ5gbPb93cdl4_3rztRZii_QPeMntfrWc6Nfj_7-i6YnQ9Zn9magrw/s1105/felezopont.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="636" data-original-width="1105" height="318" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivKV7FqFDV_d3ZLeVodtq1V_D61oUj2DLysEYeuFd2zSb7lY4vN8xQDONZlNOIarlIUyPimNoxeK4G7PHtlzEwGjBp2PRNulIZy_6wpZ3t1s40_Bd20L56THLlCFW-Cwg2RTd8AJ5gbPb93cdl4_3rztRZii_QPeMntfrWc6Nfj_7-i6YnQ9Zn9magrw/w552-h318/felezopont.png" width="552" /></a></div><br /><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmgTL6NqOhAOhRLTnteXSpUb_5ng-Lw4lDeW4Cdr3OY2dSQUoCmd9NWPxCpb2N3VO3BSOXoNHNwk5pAu5yXmOOUH1W-xVvtFzTf0yH94AOrcHoSHjTRVaruRukRzOVfnJIlDg3kq0m6U8z44-axi8nfwp4QvQHs5tvHpIfQgyWV5P1SmT95X-zxe9UcA/s1347/harmadolopont.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="706" data-original-width="1347" height="291" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmgTL6NqOhAOhRLTnteXSpUb_5ng-Lw4lDeW4Cdr3OY2dSQUoCmd9NWPxCpb2N3VO3BSOXoNHNwk5pAu5yXmOOUH1W-xVvtFzTf0yH94AOrcHoSHjTRVaruRukRzOVfnJIlDg3kq0m6U8z44-axi8nfwp4QvQHs5tvHpIfQgyWV5P1SmT95X-zxe9UcA/w555-h291/harmadolopont.png" width="555" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9THbHDEHOJFJEAF0osGYZPf1CHkIP-PnMaBLQ7sWoQJ18-lLtLdD8aTBUU7TOMjqfkAsxRVW45GMSwuskE-onHLTuBV_sDtpuMq1mQL2x19KhR3BYfmbqtfwHy0BOtbpm8sC0ddCe-VFAEDTCAaHrBrSIePQkYEYd1sBuj-dbIXyCBGK3xYyoNsrqlA/s1095/sulypont.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="776" data-original-width="1095" height="387" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9THbHDEHOJFJEAF0osGYZPf1CHkIP-PnMaBLQ7sWoQJ18-lLtLdD8aTBUU7TOMjqfkAsxRVW45GMSwuskE-onHLTuBV_sDtpuMq1mQL2x19KhR3BYfmbqtfwHy0BOtbpm8sC0ddCe-VFAEDTCAaHrBrSIePQkYEYd1sBuj-dbIXyCBGK3xYyoNsrqlA/w545-h387/sulypont.png" width="545" /></a></div><br /><p><br /></p>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-21782719458581056022021-12-05T08:21:00.005+01:002021-12-05T08:21:53.854+01:00Önálló gyakorlás: hányados logaritmusa<p> </p><div align="center" id="liveworksheet450490" style="width:100%">
<span id="lwslink450490"><font face="Arial" size="2"><a href="https://www.liveworksheets.com/worksheets/hu/Matematika/Hányados_logaritmusa/Hányados_logaritmusa_vk450490xo">Hányados logaritmusa</a>, an interactive worksheet by <a href="https://www.liveworksheets.com/user/ivonyildiko">ivonyildiko</a></font>
<br><a href="https://www.liveworksheets.com" style="text-decoration: none"><font face="Century Gothic" size="4">live<b>worksheets.com</b></font></a></span>
</div>
<script src="https://files.liveworksheets.com/embed/embed.js"></script>
<script language="javascript">
loadliveworksheet(450490,'qveyevbb',1413,'www',265008);
</script>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-8541001627814900422021-11-08T09:51:00.004+01:002021-11-08T09:51:58.973+01:00Önálló gyakorlás: szorzat logaritmusa<p> </p><div align="center" id="liveworksheet438892" style="width:100%">
<span id="lwslink438892"><font face="Arial" size="2"><a href="https://www.liveworksheets.com/worksheets/hu/Matematika/Log_azonosságok/Szorzat_logaritmusa_ja438892jx">Szorzat logaritmusa</a>, an interactive worksheet by <a href="https://www.liveworksheets.com/user/ivonyildiko">ivonyildiko</a></font>
<br><a href="https://www.liveworksheets.com" style="text-decoration: none"><font face="Century Gothic" size="4">live<b>worksheets.com</b></font></a></span>
</div>
<script src="https://files.liveworksheets.com/embed/embed.js"></script>
<script language="javascript">
loadliveworksheet(438892,'hsbthntp',1413,'www',265008);
</script>
Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-35470085227909935522020-07-25T15:28:00.000+02:002020-07-25T15:28:49.425+02:00Egyenletek önállóanHová kattints, ha önállóan szeretnéd gyakorolni, megtanulni az egyenletmegoldást?<br />
<br />
Járd végig az alábbi tanösvényt! Ne ugorj át egyszerűnek tűnő lépéseket, feladatokat - tartsd be a fokozatosság elvét!<br />
<br />
<br />
<ol>
<li>Mérlegelv megértése: <a href="http://matekotthon.blogspot.com/2009/08/egyenletek-merlegelv.html">http://matekotthon.blogspot.com/2009/08/egyenletek-merlegelv.html</a></li>
<li>Mérlegelv videóban: <a href="https://www.youtube.com/watch?v=-DcSsACAJb8">https://www.youtube.com/watch?v=-DcSsACAJb8</a></li>
<li>Egyenlet és kép egyeztetése: <a href="https://learningapps.org/2447330">https://learningapps.org/2447330</a></li>
<li>Elsőfokú egyismeretlenes: <a href="https://www.youtube.com/watch?v=QhyF108hgl8">https://www.youtube.com/watch?v=QhyF108hgl8</a></li>
<li>Képes egyenletek gyakorlásnak: <a href="https://learningapps.org/2447245">https://learningapps.org/2447245</a> (Kattints a képre, hogy nagyobban lásd!)</li>
<li>Abszolútértékes: <a href="https://www.youtube.com/watch?v=KvU7rO4PmbI">https://www.youtube.com/watch?v=KvU7rO4PmbI</a></li>
<li>Másodfokú egyenlet megoldóképlete: <a href="https://www.youtube.com/watch?v=39V367Aa9Hc">https://www.youtube.com/watch?v=39V367Aa9Hc</a></li>
<li>Gyakorlás ellenőrzéssel: <a href="https://tudomanyplaza.hu/egyenletek-feladatok-es-megoldasok-1/">https://tudomanyplaza.hu/egyenletek-feladatok-es-megoldasok-1/</a></li>
</ol>
<div>
<br /></div>
Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-5144999575270728262018-05-09T18:09:00.001+02:002018-05-09T18:09:56.838+02:00Logaritmus értelmezéseGyakorlás a <a href="http://learningapps.org">Learningapps</a>-en:
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2782489" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-17349553062287930142017-10-22T06:32:00.000+02:002017-10-22T06:32:09.503+02:00Interaktív gyakorlás<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=3894519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=3908695" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p7dedmq0t17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=3922547" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-12191219317026783192016-05-18T18:40:00.001+02:002016-05-18T18:40:56.602+02:00Értelmezési tartomány, értékkészletSzemléletes videó függvény értelmezési tartományának és értékkészletének leolvasásáról.<br />
<br />
<br /><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VF5E3S40UoI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-44854669648947908842014-09-30T18:44:00.000+02:002014-09-30T18:44:50.521+02:00Függvények - alapfogalmakHa elmegyünk egy boltba vásárolni, akkor minden termék árcéduláján megtaláljuk az egységárukat. Egy iskolában a tanulóknak mindig van osztályfőnöke. Minden országnak egyértelműen ismerjük a fővárosát. A folyóknak a hosszát, a hegyeknek a magasságát ismerjük.<br />
<br />
Sok-sok példát találhatunk még a hétköznapokban olyan rendszerre, amikor két halmaz elemi között létesítünk kapcsolatot egy szabállyal:<br />
<br />
1.)<br />
A = {kenyér, tej, csoki}<br />
B = {természetes számok}<br />
szabály: termékhez hozzárendeljük az egységárát<br />
Példa: kenyér --> 300<br />
<br />
2.)<br />
A = {Anna, Béla, Csaba}<br />
B = {Juliska néni}<br />
szabály: tanulóhoz hozzárendeljük az osztályfőnökét<br />
Példa: Béla --> Juliska néni<br />
<br />
3.)<br />
A = {Magyarország; Ausztria, Szlovákia, Németország}<br />
B = {Budapest, Bécs, Pozsony, Párizs}<br />
szabály: országhoz a fővárosát rendeljük<br />
Példa: Ausztria --> Bécs<br />
<br />
Az első halmazt <b>alaphalmaz</b>nak nevezzük, a másodikat <b>képhalmaz</b>nak.<br />
<br />
Ha az alaphalmaz bármely elemének <b>legfeljebb egy képe van</b> a képhalmazban, akkor a hozzárendelést <b>függvény</b>nek nevezzük. A második és harmadik példa függvény.<br />
<br />
Nem függvény a hozzárendelés például akkor, ha minden pozitív egész számhoz az osztóit rendeljük.<br />
<br />
Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elemnek van képe a képhalmazban <b>a függvény értelmezési tartományá</b>nak nevezzük. A harmadik példában az értelmezési tartomány {Magyarország, Ausztria; Szlovákia} halmaz.<br />
<br />
A képhalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elem képe valamely alaphalmazbeli elemnek <b>a függvény értékkészleté</b>nek nevezzük. A harmadik példában az értékkészlet a {Budapest, Bécs, Pozsony} halmaz.<br />
<br />
Nézzünk egy olyan függvényt, ahol az alaphalmaz is és a képhalmaz is <b>számhalmaz</b>, a szabály pedig műveletekből áll: minden valós számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot. Példák:<br />
4 --> 5<br />
-9 --> -21<br />
0,75 --> -1,5<br />
√2 --> 2√2 - 3<br />
x --> 2x - 3<br />
<br />
Az utolsó sor már <b>képlettel</b> adja meg a szabályt, az x az alaphalmaz egy tetszőleges elemét jelöli:<br />
x ϵ R (x eleme a valós számok halmazának).<br />
<br />
A függvényeknek nevet adunk, a magyar ábécé kisbetűivel jelöljük őket. Például az előbbi függvény neve legyen <b><i>f</i></b>. Az előbbi példák így is leírhatók:<br />
<i>f</i>(4) = 5<br />
<i>f</i>(-9) = -21<br />
<i>f</i>(0,75) = -1,5<br />
<i>f</i>(√2) = 2√2 - 3<br />
<i>f</i>(x) = 2x - 3<br />
A függvény neve után zárójelben az alaphalmaz elemét írjuk; az egyenlőségjel után pedig a képhalmaznak azt az elemét, amelyet a szabály alapján hozzárendelünk. A képhalmaznak ezeket az elemeit szokás <b>függvényérték</b>nek nevezni.<br />
<br />
A függvényeket nagyon szemléletessé teszi, ha ábrázoljuk őket. Az ábrázolás szabályai: a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes számegyenese (az x-tengely) az alaphalmaz elemeit tartalmazza; a függőleges számegyenes (az y-tengely) a képhalmaz elemeit tartalmazza. Más szavakkal: az ábrázolandó pont első koordinátája az alaphalmaz eleme, a második koordinátája pedig a szabály alapján hozzárendelt függvényérték. Így az <i>f</i> függvényünk grafikonja:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-ruJMJUMiyNI/VCrb0vhXNWI/AAAAAAAAAfM/8WAourpXbfo/s1600/fx%3D2x-3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://1.bp.blogspot.com/-ruJMJUMiyNI/VCrb0vhXNWI/AAAAAAAAAfM/8WAourpXbfo/s1600/fx%3D2x-3.png" height="256" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-76745653335071793212013-12-25T01:17:00.000+01:002013-12-25T01:17:43.683+01:00Algebrai törtek<b><span style="color: red;">Algebrai tört</span></b>eknek nevezzük az olyan kifejezéseket, amelyekben változó van a nevezőben. Például 1/a; vagy (x^2 - 1)/(x - 1); stb.<br />
Ugyanolyan műveleteket végezhetünk algebrai törtekkel, mint törtszámokkal. Előbb azonban ki kell kötni, hogy milyen szám nem lehet a nevezőben lévő változó, hiszen nullával nem osztunk. Például az 1/a esetén az a kikötés, hogy a ≠ 0. A második példa esetén a nevező akkor lenne nulla, ha x = 1, ezért itt azt kell kikötni, hogy x ≠ 1.<br />
<br />
<b><span style="color: red;">Algebrai törtek egyszerűsítésé</span></b>t (is) ugyanúgy végezzük el, mint törtszámok esetén: a számláló és a nevező közös osztóját (vagy osztóit) kell megtalálni, s ezzel a közös osztóval lehet egyszerűsíteni. Ehhez előbb szorzattá alakítjuk mindkettőt.<br />
Például az (x^2 - 1)/(x - 1) esetén<br />
<br />
<ul>
<li>a számláló szorzatalakja: (x +1)(x -1); </li>
<li>a nevező szorzatalakja: 1*(x - 1).</li>
</ul>
<br />
Így az (x - 1) tényezővel lehet egyszerűsíteni:<br />
(x^2 - 1)/(x - 1) = x + 1 (x≠1)<br />
<br />Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com9tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-69485840843672829092013-10-21T10:36:00.001+02:002013-10-21T10:36:59.973+02:00Algebrai kifejezések összevonásaAmikor <span style="color: blue;"><b>betűket és számokat műveleti jelekkel kapcsolunk össze</b></span>, akkor algebrai kifejezésekről beszélünk. A betűket <span style="color: blue;"><b>változó</b></span>knak nevezzük. Azt a számot, amivel szorozzuk a változót, <span style="color: blue;"><b>együttható</b></span>nak nevezzük. Példák algebrai kifejezésekre:<br />
<br />
2a + 2b<br />
x<sup>2</sup>y + xy<sup>2</sup> - x<sup>3</sup><br />
(x + 2a)<sup>3</sup><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Egytagú</b></span> kifejezések:azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás szerepel egytagú kifejezéseknek nevezzük. Például:<br />
2xy<br />
3a/4<br />
<br />
Egynemű kifejezések: egytagú kifejezéseket egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. <span style="color: blue;"><b>Egyneműek</b></span>:<br />
2ab; -ab; 0,6ab; 5643ab; <br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Nem egyneműek</b></span>: ab; a<sup>2</sup>b; ab<sup>2</sup>; 7a; 7b<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Összevonás</b></span>: egynemű kifejezések összevonásakor az együtthatókat adjuk össze:<br />
<br />
3x + 2x - 5,6x = -0,6x<br />
2xy + 6xy - 0,8x -7xy + 4y = xy - 0,8x + 4y<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Zárójelbontás:</b></span><br />
2(a + ab - b) = 2a + 2ab - 2b<br />
5 - (x - 2xy + 3) = 5 - x + 2xy - 3 = -x + 2xy + 2<br />
-xy(6 - ab) = -6xy + abxy<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Szorzattá alakítás</b></span> (közös tényező kiemelése zárójel elé):<br />
xy + 5x = x(y + 5)<br />
4a + 5ab - ax = a(4 + 5b - x)<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Helyettesítési érték</b></span><br />
Számoljuk ki a 2a + 3b kifejezés helyettesítési értékét, ha a = 1, b= -2<br />
2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4.Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com66tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-78533062330498302452013-05-07T19:15:00.001+02:002013-05-08T20:19:44.661+02:00Érettségi 2013. május 7.<a href="http://dload.oktatas.educatio.hu/erettsegi/feladatok_2013tavasz_kozep/k_mat_13maj_ut.pdf" target="_blank"><u><b>A középszintű matematika érettségi hivatalos javítási-értékelési útmutatója >></b></u></a><br />
<br />
<br /><iframe class="indavideo-player" frameborder="0" height="259" id="player-d93230a616" scrolling="no" src="http://embed.indavideo.hu/player/video/d93230a616/" title="indavideo video player" type="text/html" width="460"></iframe>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-79222640822590743932013-04-14T05:22:00.002+02:002013-04-14T05:22:53.882+02:00Kör egyenleteTananyag és kidolgozott <a href="http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_11-8_A_kor_egyenlete-100829" target="_blank">mintafeladatok >></a><br />
<br />
Multimédiás <a href="http://realika.educatio.hu/ctrl.php/unregistered/preview/preview?userid=0&store=0&pbk=%2Fctrl.php%2Funregistered%2Fcourses&c=43&node=a173&pbka=0&savebtn=1" target="_blank">tananyag >></a><br />
<br />
Feladatok <a href="http://eotvos.sopron.hu/virtual/kedei.imola/feladat.php?lap=07" target="_blank">(online segítséggel) >></a><br />
<br />
Videó:<a href="http://www.youtube.com/watch?v=PA6PzNx6ybM" target="_blank"> érintőkör >></a><br />
<br />Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-77708788386511496252013-01-27T05:08:00.000+01:002013-01-27T05:08:24.219+01:00Egyenes egyenlete<b>Adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyenlete:</b> <a href="http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_11-5_Az_egyenes_egyenlete_I-100823">http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_11-5_Az_egyenes_egyenlete_I-100823</a><br />
<br />
Feladatmegoldás:<br />
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/8JgyzWTMAWU" width="420"></iframe>
<br />
<b>Az egyenes irányvektoros egyenlete:</b>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/_owZx6WikdA" width="560"></iframe>
Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-42364312113603546052012-12-27T02:01:00.000+01:002012-12-27T02:01:32.792+01:00Felszín- és térfogatszámítás<b>Felszín- és térfogat számítási feladatok megoldása:</b><br />
<br /><iframe width="560" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/of8qy5CxXTU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
<br />
<b>Gúla és kúp felszíne, térfogata</b>:<br />
<a href="http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858">http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858</a><br />
<br />
<b>Kúp térfogata:</b><br />
<br />
<iframe allowfullscreen="allowfullscreen" frameborder="0" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/zskW28Wzn4c" width="420"></iframe>
Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com16tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-19605529200751714042012-07-31T03:17:00.000+02:002012-07-31T03:17:23.026+02:00Legnagyobb közös osztóA természetes számokat, az osztóik száma alapján, három halmazba sorolhatjuk:<br />
A = {0; 1}<br />
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}<br />
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}<br />
<br />
B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat <b style="color: blue;">prímszámok</b>nak nevezzük.<br />
<br />
C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat <b style="color: blue;">összetett számok</b>nak nevezzük.<br />
<br />
A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.<br />
<br />
Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:<br />
12 = 2*2*3<br />
54 = 2*3*3*3<br />
Ezt a szorzat alakot nevezzük <b style="color: blue;">prímtényezős szorzat alak</b>nak - a szorzás minden tényezője prímszám.<br />
<br />
Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám<b style="color: blue;"> összes osztó</b>ját:<br />
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3<br />
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3<br />
<br />
A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?<br />
<br />
A <b style="color: blue;">legnagyobb közös osztó</b> prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.<br />
<br />
Más példa:<br />
288 = 2<sup>5</sup>*3<sup>2</sup><br />
3024 = 2<sup>4</sup>*3<sup>3</sup>*7<br />
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:<br />
2<sup>4</sup>*3<sup>2</sup> = 144.<br />
<br />
A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:<br />
(12; 54) = 6<br />
(288; 3024) = 144<br />
<br />
<b style="color: red;">Összefoglalva</b>: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy<br />
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd<br />
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.<br />
<br />
Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor<b style="color: blue;"> relatív prímek</b>nek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:<br />
14 = 2*7<br />
15 = 3*5.<br />
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.<br />
(14; 15) = 1.<br />
<br />
A legnagyobb közös osztó meghatározásának a <b style="color: red;">törtek egyszerűsítésénél</b> van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:<br />
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!<br />
<br />
1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:<br />
5100 = 2<sup>2</sup>*3*5<sup>2</sup>*17<br />
6120 = 2<sup>3</sup>*3<sup>2</sup>*5*17<br />
<br />
2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:<br />
(5100; 6120) = 2<sup>2</sup>*3*5*17 = 1020<br />
<br />
3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:<br />
5100/6120 = 5/6.Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-61749991123601449402012-05-11T03:21:00.003+02:002012-05-11T03:21:58.487+02:00Érettségi feladatokA 2012. május 8-i matematika érettségi<br />
-<a href="http://193.225.13.61/erettsegi2012/k_mat_12maj_fl.pdf" target="_blank"> feladatai</a> és<br />
-<a href="http://193.225.13.61/erettsegi2012/k_mat_12maj_ut.pdf" target="_blank"> javítási útmutatója.</a><br />
<br />Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-83293009060408518582012-03-11T06:05:00.000+01:002012-03-11T06:05:57.905+01:00Háromszögek szögeinek kiszámításaA koszinusztétel és a szinusztétel segítségével számolhatjuk ki egy háromszög szögeit, ha ismerjük az oldalait. Nézzük ezt meg egy feladaton keresztül!<br />
<br />
Egy háromszög oldalai a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Mekkorák a szögei?<br />
<br />
1.)<br />
A leghosszabb oldalra írjuk fel a <b style="color: blue;">koszinusztételt:</b><br />
<br />
20<sup>2</sup> = 12<sup>2</sup> + 15<sup>2</sup> - 2*12*15*cos(gamma)<br />
<br />
400 = 144 + 225 - 360*cos(gamma)<br />
<br />
400 = 369 - 360*cos(gamma)<br />
<br />
31 = -360*cos(gamma)<br />
<br />
-0,0861 = cos(gamma)<br />
<br />
94,94° = gamma<br />
<br />
2.)<br />
Innen pedig a <b style="color: blue;">szinusztétel</b> segítségével kiszámolunk egy másik szöget:<br />
<br />
sin(alfa) / sin94,94° = 12 / 20<br />
<br />
sin(alfa) = sin94,94°*12 / 20<br />
<br />
sin(alfa) = 0,5978<br />
<br />
alfa = 36,71°<br />
<br />
Még egy szög van 0° és 180° között, amelynek a szinusza ugyanennyi (143,29°), de ez most nem lehet megoldás a háromszög alfa szögére, mert a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög. Mivel 12 < 20 ezért alfa < 94,94°.<br />
<br />
3.)<br />
A harmadik szöget kivonással (is) számolhatjuk:<br />
<br />
béta = 180° - 94,94° - 36,71°<br />
béta = 48,35°Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com173tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-83831177586685665842012-02-16T04:40:00.001+01:002012-02-16T04:44:10.176+01:00KoszinusztételA koszinusztétel levezetéséről, alkalmazásáról készített pdf dokumentum letölthető a következő linkről:<br />
<br />
<a href="http://www.scribd.com/doc/81778968" target="_blank">Kattints ide a dokumentumért!</a>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-10214668957803904262012-02-01T04:09:00.000+01:002012-02-01T04:09:10.042+01:00SzinusztételEgy feladaton keresztül ismerkedünk meg a szinusztétellel. Egy háromszög egyik oldala 12cm, másik 9cm hosszú; valamint a 12cm-es oldallal szemközt 68°-os szög van. Számítsuk ki a 9cm-es oldallal szemközti szöget!<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-o7v2NRPa_IA/TyifaMIEpHI/AAAAAAAAAY0/gOfIvoEIt8E/s1600/szinusztetel_1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="203" src="http://3.bp.blogspot.com/-o7v2NRPa_IA/TyifaMIEpHI/AAAAAAAAAY0/gOfIvoEIt8E/s320/szinusztetel_1.jpg" width="320" /></a></div>Ahhoz, hogy szögfüggvényt tudjunk alkalmazni a szögszámításhoz, szükség van derékszögű háromszögre. Ezért meghúzzuk a harmadik oldalhoz tartozó magasságot.<br />
<br />
Így<br />
sin68° = m/9<br />
amiből<br />
m = 9sin68°<br />
<br />
A másik derékszögű háromszögben:<br />
sinß = m/12<br />
amiből<br />
m = 12sinß<br />
<br />
Ezért<br />
12sinß = 9sin68°<br />
sinß =9sin68°/12<br />
sinß ~ 0,6954<br />
<br />
Egy háromszög szögei nagyobbak 0°-nál és kisebbek 180°-nál. Ebben a tartományban egy hegyesszögnek is, és egy tompaszögnek is ennyi a szinusza: 44,06°-nak és 135,94°-nak. Eszünkbe jut azonban, hogy egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög.<br />
Mivel 9cm < 12cm, így most csak a 44,06° lehet ß.<br />
<br />
Általánosan is:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://4.bp.blogspot.com/-ykIWIgxSpsA/Tyikh_fQN4I/AAAAAAAAAY8/0ySIFfUkvTY/s1600/szinusztetel_2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="219" src="http://4.bp.blogspot.com/-ykIWIgxSpsA/Tyikh_fQN4I/AAAAAAAAAY8/0ySIFfUkvTY/s320/szinusztetel_2.jpg" width="320" /></a></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-TPogmWlriAQ/TyirXPPxYqI/AAAAAAAAAZM/3SyilWlS5z0/s1600/szinusztetel_3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-TPogmWlriAQ/TyirXPPxYqI/AAAAAAAAAZM/3SyilWlS5z0/s1600/szinusztetel_3.jpg" /></a></div><br />
A háromszög két oldalának aránya (hányadosa) egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával (hányadosával).<br />
<b><span style="color: blue;">Egy háromszögben az oldalak aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával. </span></b>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-52787834224398425482011-08-09T04:23:00.000+02:002011-08-09T04:23:17.195+02:00Szögek ívmértékeNem csak fokban adhatjuk meg a szögek nagyságát. A szöghöz, mint középponti szöghöz tartozó ív hosszával is jellemezhetjük a szögeket és összehasonlíthatjuk egymással őket.<br />
<br />
Nézzük meg, hogy az <strong><span style="color: blue;">1 egység sugarú kör 1 egység hosszú ívéhez hány fokos középponti szög tartozik</span></strong>!<br />
<br />
A teljes kör középponti szöge <strong>360°</strong>. Az ehhez tartozó ívhossz a kör <strong>kerület</strong>e:<br />
<br />
360° --> 2*1*3,14<br />
360° --> 6,28<br />
<br />
Az a kérdés, hogy hány fokhoz tartozik 1?<br />
<br />
ß --> 1<br />
--------------<br />
ß = 360/6,28<br />
ß = 57,3°<br />
<br />
<strong><span style="color: blue;">1 radiánnak nevezzük annak a középponti szögnek az ívmértékét, amelyhez az 1 sugarú körben 1 hosszú ív tartozik.</span></strong><br />
<br />
Az előző példa alapján <span style="color: #cc0000;"><strong>1 radián körülbelül 57,3°</strong>.</span><br />
<br />
Számold ki, hogy a 3 egység sugarú körben a 3 egység hosszú ívhez hány fokos középponti szög tartozik!<br />
<br />
Majd utána nézd meg a következő animációt, ahol egy 6 egység sugarú kör különböző ívhosszait láthatod - attól függően, hogy mekkora középponti szöget állítasz be. A pirossal jelölt D pontot megfoghatod az egérrel, s mozgathatod a köríven:<br />
<br />
<a href="http://www.squarecirclez.com/blog/radians-an-introduction/4661">http://www.squarecirclez.com/blog/radians-an-introduction/4661</a><br />
Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-40286943989355938152011-08-01T15:28:00.000+02:002011-08-01T15:28:22.454+02:00Szögek kiszámításaA távolságok kiszámítása mellett a szögek meghatározása a szögfüggvények másik alkalmazási területe. Például: határozzuk meg a 3; 4, 5 egység oldalú derékszögű háromszög hegyesszögeit!<br />
<br />
A 3 egység hosszú oldallal szemközti szöget jelöljük x-szel. Ekkor<br />
<br />
sinx = 3/5<br />
sinx = 0,6<br />
<br />
A számológéptől most a szinusz fordított műveletét kell megkérdezni: melyik az a hegyesszög, amelynek a szinusza 0,6. Ennek a műveletnek a neve arkuszszinusz (arcsin0,6), de nem így jelölik a számológépeken. Hanem sin<sup>-1</sup> - nel. <br />
<br />
x ~ 36,87°<br />
<br />
Számolhattuk volna tangenssel is ezt a szöget:<br />
<br />
tgx = 3/4<br />
tgx = 0,75<br />
<br />
Megnézzük melyik hegyesszög tangense 0,75, azaz arctg0,75 értékét (számológépen tg<sup>-1</sup>0,75).<br />
<br />
x ~ 36,87°<br />
<br />
A másik hegyesszög kiszámítására már több lehetőség is van, például 90°-ból kivonjuk az ismert hegyesszöget:<br />
90°-36,87°= 53,13°.Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-81554702042506165392011-07-24T02:50:00.001+02:002011-07-24T02:53:27.016+02:00Távolságok kiszámításaAz előző bejegyzésben tárgyalt szögfüggvények egyik alkalmazásáról lesz most szó: szakaszok hosszának kiszámítása.<br />
<br />
<strong><span style="color: blue;">Példa</span></strong>: egy derékszögű háromszög átfogója 8cm, egyik hegyesszöge 23°. Mekkorák a befogók?<br />
<br />
Derékszögű háromszögben oldalak és szögek közötti összefüggéseket a szögfüggvények írnak le. 'a'-val jelölöm a 23°-os szöggel szemközti befogót:<br />
<br />
<strong>sin23°= a/8</strong><br />
<br />
Számológéppel megnézzük sin23° értékét:<br />
<br />
<strong>0,3907 = a/8</strong><br />
<br />
Szorzunk a nevezővel:<br />
<br />
<strong>3,126 = a.</strong><br />
<br />
A másik befogót, a 23° melletti befogót, innentől már többféleképpen is kiszámíthatjuk: koszinusszal, kotangenssel, Pitagorász-tétellel:<br />
<br />
cos23°= b/10<br />
ctg23°= b/3,126<br />
8<sup>2</sup> = 3,126<sup>2</sup> + b<sup>2</sup><br />
<br />
Vannak olyan számológépek, amelyeken nincs ctg billentyű. Ha valaki mindenáron kotangenssel akar számolni, akkor egy összefüggést kell előbb észrevennie a tg és a ctg között. Ha visszapörgettek az előző bejegyzéshez, akkor észrevehető, hogy a tgalfa és ctgalfa egymás reciprokai (a/b illetve b/a).<br />
Ezért ctg23°-ot úgy tudjuk meghatározni, hogy előbb megnézzük tg23° értékét (számológépen tan23), majd ennek vesszük a reciprokát. A reciprok kiszámításához használjátok az 1/x billentyűt!<br />
<br />
Még egy dolog, amire figyelni kell a számológépeken: a 'MODE' beállítása. Amikor a szögek mértékegysége fok, akkor 'DEG' legyen a beállítás. Van lehetőség arra, hogy a szögeket radiánban adjuk meg, s így számoljunk a szögfüggvényeikkel. Ilyenkor 'RAD' legyen a beállítás.<br />
<br />
Visszatérve a példához:<br />
<strong>cos23°= b/8</strong><br />
<strong>0,9205 = b/8</strong><br />
<strong>7,364 = b.</strong><br />
<br />
Tehát a derékszögű háromszög befogói 3,125cm és 7,364cm.Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-37698608936604959452011-07-17T04:18:00.000+02:002011-07-17T04:18:26.559+02:00Hegyesszögek szögfüggvényeiHasonló derékszögű háromszögeket fogunk most megvizsgálni. <br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://2.bp.blogspot.com/-McPLYF3Bvbc/TiIz2yfKeTI/AAAAAAAAAVc/OU1gqct9vUU/s1600/szinusz.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="100" m$="true" src="http://2.bp.blogspot.com/-McPLYF3Bvbc/TiIz2yfKeTI/AAAAAAAAAVc/OU1gqct9vUU/s320/szinusz.jpg" width="320" /></a></div>Ez a két derékszögű háromszög hasonló, mert szögeik egyenlők (90°és alfa). Így oldalaik aránya állandó:<br />
3/5 = 0,6<br />
x/10 = 0,6<br />
<br />
Ha ezt a háromszöget tovább nagyítanánk - nem csak kétszeresre, mint az ábrán, hanem háromszorosra, négyszeresre, vagy kicsinyítenénk felére, harmadára, stb. - ez az arány akkor sem változik, továbbra is 0,6 marad. <br />
<br />
Az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,6.<br />
<br />
Nagyításkor, kicsinyítéskor a szögek nem változnak, csak az oldalak hossza. Ezek a hosszúságok azonban ugyanannyiszorosra változnak, így arányuk állandó marad.<br />
<br />
Ha azonban megváltoztatnánk az alfa szöget, egyből megváltozna a befogó és az átfogó aránya is.<br />
<br />
Derékszögű háromszögben az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya csak az alfa szögtől függ, ezt az arányt nevezzük szinusz alfának. A fenti ábrán szinusz alfa = 0,6.<br />
<br />
Mekkora ez az alfa szög? Táblázatból nézhetjük meg (vagy számológép segítségével), hogy alfa körülbelül 37°-os szög. (Ha szerkesztünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója 3 egység, átfogója 5 egység, s megmérjük az alfát, körülbelül 37°-ot olvashatunk le a szögmérőről.)<br />
<br />
Már az ókori görög matematikusok foglakoztak ilyen problémákkal: táblázatba foglalták egy kör középponti szögeit és a hozzájuk tartozó húrok hosszát. Az első ilyen szinusztáblázatot Hipparkhosz készítette.<br />
<br />
<strong><span style="color: blue;">Derékszögű háromszögben az alfa hegyesszög szögfüggvényei</span></strong>:<br />
<br />
szinusz alfa = szöggel szemközti befogó / átfogó<br />
koszinusz alfa = szög melletti befogó / átfogó<br />
tangens alfa = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó<br />
kotangens alfa = szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://2.bp.blogspot.com/-25IGQUlqB7k/TiJFKDsNowI/AAAAAAAAAVg/3qQ0qLxKDtY/s1600/szogfuggvenyek.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" m$="true" src="http://2.bp.blogspot.com/-25IGQUlqB7k/TiJFKDsNowI/AAAAAAAAAVg/3qQ0qLxKDtY/s320/szogfuggvenyek.jpg" width="267" /></a></div>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3863334504183244225.post-13194956865579440352011-04-22T12:00:00.004+02:002011-08-16T06:19:47.388+02:00Koordináta geometria bevezetőKészítettem egy videót a koordináta geometria bevezető anyagairól: merőleges vektorok, felezőpont, súlypont. Ezt most a Matek Otthon új Facebook oldalára töltöttel fel, <a href="http://www.facebook.com/matekotthon">ide kattintva érheted el</a>.<br />
<br />
Úgy gondolom, hogy a Facebookon egyszerűbbé válik a "beszélgetés" egymással.<br />
<br />
Lájkolj! Szólj hozzá! Kérdezz! Válaszolj a többiek kérdésére!<br />
<br />
Már feltöltöttem a YouTube-ra is:<br />
<br />
<object height="344" width="425"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/NtdmNIw_WW4?hl=hu&fs=1"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/NtdmNIw_WW4?hl=hu&fs=1" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="425" height="344"></embed></object>Ivony Ildikóhttp://www.blogger.com/profile/02977934508101679716noreply@blogger.com22