2009. augusztus 21., péntek

Egyenletek, mérlegelv


A műveletek témakört befejeztük, ha majd szükséges lesz, akkor a műveleti tulajdonságokra még visszatérünk. Most az egyenletek, mérlegelv fejezetbe kezdünk.

"Melyik az természetes szám, amelyiknek a fele 5-tel több a 13-nál?"

Ez egy egyszerű kérdés, de a lényeget jól mutatja: adott tulajdonságú számot keresünk. Ezt a keresett számot ismeretlennek nevezzük, s betűvel jelöljük, hogy segítségével, a műveleti jelekkel és a szövegben megadott számokkal le tudjuk írni a tulajdonságát:
x:2 = 13 + 5

Még egy tulajdonság szerepel a szövegben: természetes szám az ismeretlen. Alaphalmaznak nevezzük azt a számhalmazt, amelyben az ismeretlen értékét keressük.

A jobb oldalon egy számfeladat van, kiszámoljuk:

x:2 = 18

Az x felét ismerjük, ezért 2-vel való szorzással tudjuk meg x értékét. Ha egyenlő mennyiségeket ugyanazzal szorozunk, akkor az eredmények is egyenlők lesznek:

x = 36.

Megoldottuk az egyenletet, s a 36 természetes szám. Még az ellenőrzés van hátra: a 36 fele 18, ami tényleg 5-tel több a 13-nál.

Ebben a példában használtuk a mérlegelvet: ugyanazt a műveletet végeztük az egyenlet mindkét oldalával. Ezt úgy képzeld el, mint egy egyensúlyban lévő karos mérleg két serpenyőjét. Ha ugyannyit teszel a két oldalra, vagy ugyanannyit veszel el a két oldalról, vagy ugyanazzal a számmal szorzod, osztod a két serpenyőben lévő mennyiséget, akkor nem billen ki a mérleg, az egyensúly (=az egyenlet) megmarad.

Sok fajtája van az egyenleteknek:
- egy ismeretlen van benne,
- több ismeretlen van benne,
- az ismeretlen az első hatványon van,
- második hatványa szerepel az ismeretlennek, stb.
- négyzetgyökjel alatt van,
- abszolútértékes az egyenlet,
- stb.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletekkel folytatom majd, de aki máris kíváncsi a megoldásukra, nézze meg a videót:




39 megjegyzés:

  1. azért lesznek mások a zárójelen belül az előjelek mert minusszal kell megszorozni a zárójelet, nem azért mert csak úgy ott áll

    VálaszTörlés
  2. Mi most tanuljuk ezt és most, hogy figyeltem (nem úgy, mint ahogy matekórán szoktam xD)sokkal világosabb lett a számomra :Đ

    By: Vikiih =)

    VálaszTörlés
  3. 25 2 80 40 9 =507 meg köszönném

    VálaszTörlés
  4. Sziasztok Kata vagyok, nem tudná valaki erre a feladatra nekem a megoldást?
    Ha az a b c valós számokra teljesül, hogy a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=1, akkor mennyi az a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b) értéke?
    nagyon szépen megköszönném, sziasztok!

    VálaszTörlés
  5. Sziasztok ! nekem ebbe tört bele a bicskám, valaki megmutatná a megoldás gondolatmenetét?

    Kertész gazda egy kosár almát vitt a piacra. Az első vevő megvette az almák felét, a második a ma¬¬ra¬¬dék harmadát, a harmadik a még megmaradt almák ötödét. A negyedik vevő elvitte a meg¬¬¬ma¬¬radt nyolc almát.

    a) Hányszor több almát vett az első vevő, mint a második?
    b) Az összes alma hányadrészét vette meg a harmadik vevő?
    c) Hány alma volt a kosárban eredetileg?
    d) Hány almát vett a harmadik vevő?
    e) Melyik vevő vásárolta a legkevesebb almát?

    VálaszTörlés
  6. Szia!
    Az ilyen feladatokat visszafelé oldhatjuk meg.

    A maradék 8 alma 4/5 része annak a amennyiségnek, aminek az ötödét a harmadik vitte el.

    8:4*5 = 10

    Tehát a harmadik vevő 10 almából vásárolt.

    Ez a 10 alma 2/3 része annak a mennyiségnek, amiből a második vevő vásárolt.

    10:2*3 = 15.

    Tehát a vevő 15 almából vásárolt.

    Ez a 15 alma a fele az eredeti mennyiségnek.

    Összesen 30 alma volt.

    1. vevő = 15
    2. vevő = 5
    3. vevő = 2
    4. vevő = 8 almát vett.

    a) 3-szor
    b) 2/30 rész = 1/15 rész
    c) 30
    d) 2
    e) harmadik

    VálaszTörlés
  7. hello én értem hogy hogy kell egyenletet megoldani de mikor csinálom nem mindig jó eredmény jön ki :(

    VálaszTörlés
  8. Helló!
    Az almás voltam :D
    köszönöm szépen , így már világos.

    VálaszTörlés
  9. Sziasztok Kata vagyok, nem tudná valaki erre a feladatra nekem a megoldást?
    Ha az a b c valós számokra teljesül, hogy a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=1, akkor mennyi az a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b) értéke?
    nagyon szépen megköszönném, sziasztok!

    VálaszTörlés
  10. Hatvanhat évesen mindent elfelejtettem matekból,
    igaz gimiben sem voltam matek zseni, de ha akkori
    matektanárom ilyen érthetően vezette volna le,
    biztos ,hogy nem utáltam volna annyira sem őt sem
    a matekot.Sebaj bepótolom!

    VálaszTörlés
  11. Szia Ildikó.
    Én az alábbi feladatokkal vagyok nagy problémában. Az iskolánk szervezett egy otthoni matematika versenyt.
    1 szabály van. A verseny mindig egy pár hónappal előre kérdez a tananyagnak vagy esetleg akár 1 évell is. A fődij laptop,de ez nem tartozik a kérdésemhez. Én 10-edikes tanuló vagyok és a versenyfeladat azt hiszem hogy 11. osztályos vagy 12.osztályos feladat. Az alábbi feladatokat nem tudom megoldani.A tanárok kikötötték hogy minden segítséget igénybe vehetünk csak az saját matektanárodat nem kérdezheted meg. De mivel szünet van nem tudom megkérdezni a többi tanárt ezért a te segítségedet kérném. Köszönöm a segítségedet
    Itt vannak a feladatok amiket beszkenneltem.
    http://www.kephost.com/view3.php?filename=b9abn6b9zw72u8c6yt84.png
    http://www.kephost.com/view3.php?filename=ny0zs80ouf32k0vwy3wd.png
    http://www.kephost.com/view3.php?filename=gdsptlg1rfdrbq2vicwc.png
    http://www.kephost.com/view3.php?filename=bzv94iy0ugjrqa96tq2e.png
    http://www.kephost.com/view3.php?filename=ne3zbg12jq6v8d7poela.png
    http://www.kephost.com/view3.php?filename=jscpnqemffzn7y8g6c18.png

    VálaszTörlés
  12. Nem mondom "nagy" ötlet ez a verseny. Ezek 11-es feladatok, s a logaritmus értelmezése és azonosságai kellenek hozzájuk. A függvényes kérdéshez töltsd le a GeoGebrat az [origo] Szoftverbázisról és rajzoltasd ki a grafikont.
    Itt a blogon találsz logaritmusos bejegyzést. Kattanj rá!

    VálaszTörlés
  13. Kedves tanárnő !
    Kiprobáltam azt a programot amit mondott és még letöltöttem egy másikat is a Graph programot is de sajnos ezzekkel a feladatokkal nem tudok megbirkozni.Megprobáltem 2 órát szenvedtem vele de sajnos nem sikerült jo megoldást kihoznom. Viszont a feladatokkal haladtam amik nem grafikusok voltak.
    Minden feladatot megoldottam .Az ön oldalán sok hasznos és okos dolog segítségével innen is köszönöm.Viszont ezzel a 4 feladattal nem bírtam megbírkozni. Esetleg tudna ezekben segíteni?? Köszönöm és további szép napot

    http://www.kephost.com/view3.php?filename=b9abn6b9zw72u8c6yt84.png

    http://www.kephost.com/view3.php?filename=jscpnqemffzn7y8g6c18.png

    http://www.kephost.com/view3.php?filename=gdsptlg1rfdrbq2vicwc.png

    http://www.kephost.com/view3.php?filename=ne3zbg12jq6v8d7poela.png

    VálaszTörlés
  14. Kedves Névtelen! Sok mindent kérsz, pedig még a neved sem árulod el!

    :(

    1.) x < 4

    GeoGebra kép:
    https://picasaweb.google.com/lh/photo/mGc-ZSn7KMvbLwpHw5Ad3SZGgpVQ0KSOAMXy7M3AQsk?feat=directlink

    2.)
    -2x + 7 > 0
    x < 3,5

    3.)
    a) x = 2
    b) x = 1/3
    c) nincs megoldás

    4.)
    y = 3alapú logaritmus x

    VálaszTörlés
  15. én csak egy valamit nem értek... a 2x az kétszer az x vagy az 2+x? bocsánat az értetlenségért , előre is köszönöm a választ

    VálaszTörlés
  16. csősztök, számolja már ki valaki. kössz!
    (x^2-10x-24)/(x^2-x-6)=sin (pí/2)-lg1+2^2-es alapú logaritmus 9.-en

    VálaszTörlés
  17. Valaki tudna segíteni az alábbi kérdésben? Esetleg Ildikó is segíthetne.

    A kérdés ez lenne: a háromszög 3 oldala A(7,-5)B(-1,5)és C(5,-7) irjuk fel a háromszög köréirható körének egyenletét. Ez lenne a kérdésem hogy ennek mi az egyenlete mert fogalmam sincs mi lehet.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen! Ha már segítséget kérsz, akkor miért nem vállalod legalább a keresztneved???

      A háromszög 3 csúcsának koordinátáit adtad meg. Ezek segítségével fel tudod írni két oldal felezőmerőlegesének egyenletét: normálvektor az oldalvektor, adott pont pedig az oldalfelező pont.

      A két felezőmerőleges metszéspontja lesz a kör középpontja (megoldod a kétismeretlenes egyenletrendszert).

      A kör sugara a középpont és az egyik csúcspont távolsága lesz.

      A középpont és a sugár segítségével pedig fel tudod írni a kör egyenletét!

      Törlés
  18. Sziasztok, egy egyszerű kérdés 10x-150=18x+3-12 /*10 <- Ilyenkor a bal oldalon minden elemet be kell szorozni 10-el

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Bal oldalon is, jobb oldalon is minden tagot be kell szorozni:

      100x - 1500 = 180x + 30 - 120

      Törlés
    2. Nagyon köszönöm :D

      Törlés
  19. Köszönjük tanárnő az odaadó munkáját!
    Isten áldja!


    VálaszTörlés
  20. Sziasztok!Valaki tudna segíteni?Holnap irunk matekból azon belül az egyenletekből.Valaki tudna segíteni hogy hogyan gyakoroljak?Köszönöm.

    VálaszTörlés
  21. Kedves Tanárnö én gyorstalpalon kb 2 honap alatt vettük át a gimnáziumi valamint a föiskolai anyag egy részét mivel 16 éve éretségiztem szeretném ha segítene ezen két feladatnál :
    (négyzetgyök alatt : négyzetgyök x + x a négyzeten )ennek deriválása ???? elöre is köszönöm sürgös lenne !!!!!

    a másik egy egyenlötlenség ami csak a bonyolultsága miatt okoz gondot :
    -5x+3/x-2>=-2(1-5x)/2+x

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Betti! Az első kérdésben egy összetett függvény deriváltja kell. Először a külső függvény szerint derivál: 0,5×(sqrtx + x^2)^(-0,5), majd ezt szorozza a belső függvény deriváltjával: 0,5×x^(-0,5) + 2x.
      Az egyenlőtlenségnél gondolom így néz ki a bal oldal: (-5x+3)/(x-2) és így néz ki a jobb oldal: -2(1-5x)/(2+x).
      Egy oldalra hozza mindkét törtet és közös nevezőre hoz. Így egy olyan törtet kap, amelynek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie 0-nál.
      A nevező nem lehet 0 (ez a kikötés).
      Utána megnézi, hogy a számláló mikor lesz 0 (másodfokú egyenlet megoldása) - ezeken az x helyeken lesz a tört nulla.
      Majd megnézi, hogy a számláló és nevező milyen x-ekre azonos előjelű. Ezekben az esetekben lesz nagyobb 0-nál a tört.

      Törlés
  22. Kedves Ildikó!

    6.osztályos tanuló vagyok. Az arányosságot vesszük /egyenes,fordított/.

    1,)

    2,4 hektárról 27,5 tonna burgonyát takarítottunk be, a 3,1 hektáros burgonyaföldről hány tonna burgonyát várhatunk?

    2,) 40 Ft- os csokoládéból 18 db- ot vásárolhatok a zsebpénzemből.Hány darabot vehetnénk, ha csak 60 Ft-os csokoládé van az üzletben?



    Előre is nagyon köszönöm! Nati

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Nati!

      Az első feladathoz azt gondold végig, hogyan lehetne megtudni, hogy 1 hektáron hány tonna termés várható!

      A második kérdéshez azt gondold végig, hogyan lehetne kiszámolni, hogy mennyi zsebpénzünk van!

      Törlés
  23. Szia!!
    +(+88)-(4*-85-(9/23))-*(55)/(-78/98)/(-5/74)*62

    ez mennyi?

    Kérlek segíts...Holnapra kéne....

    Kataaaa

    VálaszTörlés
  24. Tisztelt tanátnő!Kéres segítsen ...intézetben nőttem fel ahol sok mindent nem tanítottak matekből és most 31 évesen kezdek esti suliba járni majd hogy legyen éretségim :-)Nem tudom mi az egyenleg és hogy számítom ki illetve a fenti kisfil segített valamennyit de pontos leírást és elmagyarázást nem találok .Előre is köszönöm Tisztelettel :Nikolett ( nem adom fel meg kell tanulnom :-) )

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Nikolett!
      Az egyenletek segédeszközök a matematikában. Jól használhatók olyan problémák megoldásban, amikor egy (vagy több) ismeretlen számot (számokat) keresünk. Tanulmányai során egyre bonyolultabb egyenletekkel fog találkozni, de az alap az, hogy egy egyenlőségjel bal és jobb oldalán betűk, számok és műveleti jelek szerepelnek. Ezek segítségével írjuk le a problémát. Például:
      2x + 3 = 12
      Mondjuk azt a találós kérdést lehet így leírni, hogy melyik az a szám amelynek a duplájához 3-at adva 12-t kapunk. S az egyenlőség jelet egy mérlegnek képzelve csak olyan műveleteket csinálhatunk, hogy a mérleg ne billenjen ki. Például, ha csak a bal oldalról venne le 3-at s a jobb oldalon maradna a 12, akkor elveszne az egyensúly. Mindkét oldalból el kell venni a 3-at:
      2x = 9
      Ha most csak a bal oldalt osztaná kettővel (felezné el), s a jobb oldalon álló 9-et nem, akkor megint elveszne az egyenlőség, kibillenne a mérleg. Mindkét oldalt osztjuk 2-vel:
      x = 4,5
      S így megtudtuk, hogy mi volt a gondolt szám.
      Könnyebb lesz majd segítenem, ha konkrét egyenletet kérdez. Jó tanulást kívánok! :)

      Törlés
  25. Az iskola turistacsapata gyalogturarament.Az elso pihenoig megtettek az ut egyharmad reszet,ebedig meg az ut negyed reszet,majd ebed utan haromnyolcad reszet.Igy meg 1 km maradt a celig.Hany kilometer hosszu utat tervezett a turistacsapat?
    Karola Karola: 2. Egy teglalap alaku kert hosszusaga a szelesseg haromnegyed reszevel nagyobba kert szelessegenel.A kert terulete 82,50 m. a)Mekkora a kert oldalai? b)Mekkora a kert kerulete?
    Hide Recent Messages (F3)

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia!
      1.) x/3 + x/4 3x/8 + 1 = x
      szorzunk a közös nevezővel, 24-gyel:
      8x + 6x + 9x + 24 = 24x
      23x + 24 = 24x
      24 = x

      2.) szélesség = x
      hosszúság= x + 0,75x = 1,75x

      terület:
      x*1,75x = 82,5
      1,75*x^2 = 82,5
      osztunk 1,75-dal:
      x^2 = 47,14
      gyökvonás
      x = 6,866
      szélesség = 6,866
      hosszúság = 12,0155

      Törlés
  26. én szeretem is meg tudom is de ha feleltetnek belőle akkor leblokkolok és így rossz jegyet kapok most lesz a negyed éves vizsgám kedden matekból és ha megint leblokkolok akkor elrontom a felvételimet

    VálaszTörlés
  27. Sziasztok!Ödi vagyok,segítene valaki megoldani a következő feladatot?
    (a+b)(2a+b)=77
    Előre is köszönöm.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Milyen szám lehet a és b? Természetes számok?
      77 = 7*11
      a+b = 7
      2a + b = 11
      -----------------
      a = 4
      b = 3

      Törlés