2009. augusztus 3., hétfő

Racionális számok

Sokféle számot, és a velük végezhető műveleteket megismertünk már. Ezeket a számokat racionális számoknak nevezzük. Kicsit pontosabban a meghatározásuk:

Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosakét, racionális számoknak nevezzük (az osztó nem nulla).

A két egész szám hányadosa pedig a törtalakot jelenti. Példák:

Egész számok: 5 = 10/2 (a 10 és a 2 egész számok hányadosa)
-3 = -9/3 (a -9 és a 3 egész számok hányadosa).

Véges tizedestörtek: 6,097 = 6097/1000

Tiszta szakaszos tizedestörtek: 0,11111..... = 1/9

Vegyes szakaszos tizedestörtek: 0,166666... = 1/6

Az ilyen számok az elemei a racionális számok halmazának. Ennek a halmaznak van egy betűjele: Q.

29 megjegyzés:

  1. én ezt mind tudom, de nem találok neten segítséget az egyik könnyűnek látszó, de nekem nehéznek bizonyuló példához..

    10-36/15+8/3
    addig meg van, hogy a 36/15 és a 8/3 közös nevezőre hozom, tehát:
    10-36/15+40/15
    de ezután azt nem értem, hogy a 10-et, mint egész számot átalakítsam törtbe, vagy..simán vonjam ki??
    számológéppel kiszámoltam, a végeredménynek 10egész 4/15-nek kellene lennie. Nálam nem ennyi. Valaki tudnak segíteni, lehetőleg hétfőig, vagy inkább ma??

    Köszi a segítséget!!!
    Csucsi

    VálaszTörlés
  2. Érdemes a 10 egészet is beváltani tizenötödökre: 10 = 150/15. Ezután balról jobbra a számlálókkal elvégezni a műveleteket: 150-36+40 = 154. Az eredmény: 154/15 = 10 egész 4/15.

    Másik lehetőség: először a két, előjeles törtszámot adjuk össze: -36/15 + 40/15 = 4/15.
    10 + 4/15 = 10egész 4/15.

    VálaszTörlés
  3. A 70éves nagymamám,is így oldotta meg!:)

    VálaszTörlés
  4. jajj én nem értek semith nahh segicsetek léci még maa ha lehet mert ....holnsp vizsga baszus

    VálaszTörlés
  5. 1,2 ből 9negyed ennek mennyi az eredménye?

    VálaszTörlés
  6. Kétféleképpen is ki lehet számolni. Először azt a módszert írom le, ami mindig működik.

    a) Tizedestört átalakítása tört alakra

    1,2 = 12:10 = 12/10.

    12/10 - 9/4 =
    közös nevezőre hozás:
    24/20 - 45/20 =
    számlálókkal elvégezzük a kivonást:
    (24 - 45)/20 =
    -21/20.

    b) Tört átalakítása tizedestört alakra.
    Ezt a módszert akkor nem tudod használni, ha a tizedestört végtelen szakaszos lesz. Ilyenkor mindig az első módszerrel dolgozzál, illetve csak közelítő értékkel tudsz számolni.
    Most alkalmazható, mert a 9/4 véges.

    9/4 = 9:4 = 2,25.

    1,2 - 2,25 =
    -(2,25 - 1,2) =
    - 1,05.

    Leellenőrizzük, hogy ugyanazt katuk-e:

    -21/20 = -21:20 = -1,05.

    VálaszTörlés
  7. Ezer hála és köszönet! Nagyon sokat segített nekem ez a blog a matek tanulásban! :)
    Csak így tovább!

    VálaszTörlés
  8. 1/2-(1/4+1/8) Ezt hogyan kellene megoldani?? Előjelekkel mit kéne csinálni?? Tudnátok az előjelekkel kapcsolatban irni valamit? Köszi előre is! :)

    VálaszTörlés
  9. 1.)
    1/2 - (1/4 + 1/8) =
    4/8 - (2/8 + 1/8) =
    4/8 - 3/8 =
    1/8.

    2.)
    1/2 - (1/4 + 1/8) =
    1/2 - 1/4 - 1/8 =
    4/8 - 2/8 - 1/8 =
    1/8.

    Ha zárójel előtt negatív előjel (= kivonás) van, akkor a zárójel felbontásakor minden tag az ellentétére változik. Azaz 1/4-ből -1/4 lesz, és 1/8-ból -1/8.

    VálaszTörlés
  10. TÍMEA
    én azt szeretném megtudni hogy hogyan kell bevinni az egész számot a törtbe
    például: 1 egész 9/5-be=?? nem tudom hogyan kell levezetni KÖSZÖNÖM A SEGÍTSÉGET

    VálaszTörlés
  11. nem értem a tizedes törtek osztását szorzását??
    -41,76:0,64.

    VálaszTörlés
  12. Az osztást úgyanúgy bővítjük, mint a törtek bővítésénél: ugyanazzal a számmal szorozzuk az osztandót is és az osztót is. Így nem változik az értéke.

    Tizedestörtek osztásánál úgy választjuk meg a bővítést, hogy egész szám legyen az osztó.
    Ezt legkönnyebben úgy érhetjük el, ha 10-zel, vagy 100-zal, vagy 1000-rel, stb. bővítünk.

    A példádban 100-zal bővítünk, mert így 64 lesz az osztó:

    -41,76:0,64 =
    -4176:64.

    Innentől írásban a szokásos módon kiszámolod az osztást.

    Nézzük meg másképpen is:

    Az osztandót is és az osztót is írjuk át törtalakra:
    41,76 = 4176/100
    0,64 = 64/100

    Az osztást törtalakkal végezzük el:

    (4176/100):(64/100) =

    (4176/100)*(100/64) =

    (100-zal lehet egyszerűsíteni)

    4176/64. S ez éppen 4176:64.

    VálaszTörlés
  13. 1) x+9/8=x+4/5
    2) 4x-5/7=x/3
    3)2x-1/3=x+2/4
    ezeket hogy kell megoldani? kerlek hogy 2011.10.30 kuld a segitseget.

    VálaszTörlés
  14. mennyi 1kg-nak a 4/5 része?
    mennyi 4 kg-nak az 1/5 része?
    mennyi 1 liternek a 7/8 része?
    mennyi 7 l-nek az 1/8 része?

    VálaszTörlés
  15. 1kg-nak a 4/5 része:
    1/(4/5)=5/4=1,25kg
    4kg-nak az 1/5 része:
    1/(1/5)=5kg
    1l 7/8 része:
    1/(7/8)=8/7~1,143l
    7l 1/8 része:
    7/(1/8)=65l

    VálaszTörlés
  16. 1 kg 4/5 része = 1*(4/5) = 4/5 kg = 0,8 kg
    4 kg 1/5 része = 4*(1/5) = 4/5 kg = 0,8 kg
    1 liter 7/8 része = 1*(7/8) = 7/8 liter = 0,875 liter
    7 liter 1/8 része = 7*(1/8) = 7/8 liter = 0,875 liter

    VálaszTörlés
  17. Sziasztok jó az oldal. Nekem is lenne kérdésem. Hét kilenc és nyolc kilenced közé eső racionális szamot a alakban ahol a és b egész szam.kérlek segitsen aki tud.
    B.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia B!
      Bővítsd a 7/9-et is, és a 8/9-et is és máris tudsz megadni közbülső számokat. Például ha 10-zel bővítünk:

      7/9 = 70/90
      8/9 = 80/90

      A két szám között van: 71/90; 72/90, 73/90; ...

      Törlés
  18. Hát nagyon köszi a választ.sokat segitett.lenne mégvalami,ha tudtok segiteni melyik a nagyobb és mennyivel?9 19-ed (törtként kell irni,de úgy nem sikerült) vagy 99 199-ed.előre is köszi.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Összehasonlítani közös nevezőjű, vagy közös számlálójú törteket könnyű. Bővítsd az első törtet 11-gyel: 9/19 = 99/209

      99/199 > 99/209 (azaz 99/199 > 9/19).

      Törlés
  19. Kedves Ildikó!
    Sajnos beteg voltam és matematikából lemaradtam így ezeket a példákat nem értem.Legyen szíves segíteni bennük,ha megkérhetném.
    4,44-5/119=
    6/15-0,08=
    0,27-(5/12)=
    2/154-0,07=
    Köszönöm
    Tisztelettel V.Fruzsina

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Fruzsina!
      Ezekben a feladatokban az a lényeg, hogy a tizedes tört alakú számokat előbb át kell írni törtalakra.
      Azután pedig közös nevezőre hozással kiszámolod az eredményt.

      Például a harmadik kérdésed:
      0,27 - 5/12 =
      átírjuk a 0,27 századot tört alakúra:

      27/100 - 5/12 =

      megkeresed a közös nevezőt. Ez a 300. Bővítel 300-adokra:

      81/300 - 125/300 =

      (-44/300) = (egyszerűsítés)

      = (-11/75).

      Törlés
  20. Kedves Ildikó!

    Van 3+1 példa, amit nem tudok megindokolni, bizonyítani. Tudna bennünk segíteni?

    1. Ha 'a' eleme Q-nak és 'b' eleme Q-nak akkor 'a+b' eleme lesz-e Q-nak?

    2. Ha 'a' elem Q* és 'b' elem Q* akkor 'a+b' elem-e Q*, vagy 'a+b' elem-e Q?

    3. Ha 'a' eleme Q és 'b' eleme Q*, akkor 'a+b' eleme-e Q*-nak, vagy 'a+b' eleme Q-nak?

    Illetve lenne még egy, amit valós számok axiómáival és rendezési tulajdonságokkal kéne megoldanom:
    4. 'a'nem =0 bizonyítsam h a*a>0

    Talán kicsit magasabb matek szükséges mint az előbbiekhez de remélem tud segíteni.
    Előre is köszönöm,
    S.Fruzsina

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Fruzsina!
      1.) Ha a ϵ Q, akkor felírható két egész szám hányadosaként: k/m.
      Ha b ϵ Q, akkor b = x/y,

      ahol k, m, x, y ϵ Q, és m ≠ 0, y ≠ 0.

      Ekkor a + b = k/m + x/y = (ky + xm)/my. Mivel egész számok szorzata és összege is egész szám, így előállítottuk az a+b-t két egész szám hányadosaként. Tehát a+b is racionális.

      2.) Az a és b megválasztásától függően mindkét eset lehet igaz. Pl. a = gyök2, b = -gyök2 esetén az összegük racionális.
      Míg a = gyök2 és b = 2*gyök2 esetén az összegük irracionális (3*gyök2 azaz gyök18 irracionalitása egyszerűen bizonyítható).

      A 3. kérdésed bizonyításán még gondolkodom, nyilván csak irracionális lehet a+b. Gondolom az 1. kérdésből valahogy levezethető.

      A 4. kérdésben nyilván a eleme R. Ha a>0, akkor egyértelmű. Ha a < 0, akkor a = (-1)*|a| miatt elegendő azt belátni, hogy (-1)*(-1) > 0.
      Az 1 additív inverze a (-1), azaz 1 + (-1) = 0.
      Vagyis (-1) = 0 - 1.

      (0 - 1)*(-1)= disztributivitást felhasználva =
      0*(-1) - 1*(-1) =
      a zéruselemmel illetve az egységelemmel való szorzások miatt:
      = 0 - (-1) =
      ami az első sor miatt = 1. (ami nagyobb 0-nál).

      Törlés
    2. Bocs az elsőben nyilván x, y, k, m, eleme Z (nem pedig Q)

      Törlés
    3. Nagyon szépen köszönöm! :)

      Törlés
  21. Üdvözletem! Egy olyan kérdésem lenne, hogy egy érthető példát tudnál-e nekem írni arra a bizonyításra hogy:
    "Bizonyítsa be, hogy egy végtelen szakaszos tizedes tört felírható két egész szám hányadosaként."
    Válaszodat előre is köszönöm! :)

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia, megpróbálom.
      Legyen először a végtelen szakaszos tizedestört a 0,33333....
      Jelöljük x-szel:
      x = 0,333333.....
      Szorozzuk meg mindkét oldalt 10-zel:
      10x = 3,333333...
      Második egyenletből vonjuk ki az elsőt:
      9x = 3
      Osztunk 9-cel:
      x = 3/9 (egyszerűsítve 1/3)
      Tehát 0,3333.... = 1/3

      Másik példa: ha a tört: 3,1212121212....
      x = 3,1212121212...
      100x = 312,12121212...
      ---------------------------------
      99x = 309
      x = 309/99

      Harmadik példa.
      x = 43,9854545454545454.... (vegyes szakaszos)
      100x = 4398,54545454...
      10000x = 439854,54545454...
      -------------------------------------------
      9900x = 435456
      x = 435456/9900

      Törlés