2009. augusztus 11., kedd

Negatív kitevő

Lépünk egyet tovább a hatványozás témakörben, s nézzük mi a helyzet, ha a kitevő negatív egész szám.

Két összefüggésre lesz szükségünk az értelmezéshez, gyorsan ismételjük át őket:
  • a nulla kivételévek bármely szám nulladik hatványa 1;
  • azonos alapú hatványok osztásakor a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét.

Sőt! Erre a második összefüggésre "visszafelé" lesz majd szükségünk: ha egy kitevőben kivonás van, akkor az azonos alapú hatványok osztásának eredménye.

Akkor fogjuk meg először 4-1-t! (Négy a mínusz elsőn.)

A -1 sokféle kivonás eredménye lehet: 0-1; 1-2; 6-7; stb. Használjuk a legegyszerűbbet!

4-1 = 40-1 = 40/41 = 1/4. (A harmadik lépésben használtuk fel, hogy bármely szám nulladik hatvány 1.)

Másik példa: 4-3 = 40-3 = 40/43 = 1/43 (= 1/64)

Nézzünk egy törtes példát is:

(5/3)-2 = (5/3)0-2 = (5/3)0/(5/3)2 = 1/(5/3)2 = 1/(25/9) = 9/25 = (3/5)2

Összesítve: egy nem nulla szám negatív kitevős hatványa a szám reciprokának pozitív kitevős hatványával egyenlő.

Példák:

7-3 = (1/7)3

(3/4)-1 = 4/3

(1,8)-2 = (1/1,8)2 = (5/9)2

10-4 = 0,0001

30 megjegyzés:

  1. Öööö... egyszerűbben?

    VálaszTörlés
  2. Egyszerűbben nem lehet, teccikérteni? :D

    VálaszTörlés
  3. ennél csak az egyszerübb ha neki se kezdessz.:D

    VálaszTörlés
  4. kifelejtettük ha a negatív kitevő tört!
    mert ez esetben a reciprokot kell használnunk h a nevezőben pozitív legyen a tört. pl.: 25- a -(1/2)-en = 1/25 az 1/2-iken.

    VálaszTörlés
  5. (1,8)-2 = (1/1,8)2 = (5/9)2 Ezt, ha lehetne bővebben. A fenti példa (1,8)-2 kitevőből hogy lesz (5/9)+2 kitevő? 5/9?? ez, hogy jön ki??
    Minden csodálatom a számokkal játszóké.
    Üdv: KL

    VálaszTörlés
  6. 1/1,8 = 1:(18/10) = 1:(9/5) = 1*(5/9) = 5/9

    x^(-2) = (1/x)^2

    vagy

    y^(-5) = (1/y)^5

    vagy

    2^(-4) =
    2^(0 - 4) =
    (2^0):(2^4) =
    1:(2^4) =
    1/(2^4)=
    (1/2)^4

    VálaszTörlés
  7. Szeretném megkérdezni hogy ezt hogyan kell megoldani
    (-1/3)a -2on

    (-5)a -2on

    Köszönöm a segítséget.

    VálaszTörlés
  8. Kedves Névtelen! Nem értem miért nem vállalod legalább a keresztneved??!!

    (-1/3)^(-2) = (-3)^2 = (-3)*(-3) = 9

    (-5)^(-2) = (-1/5)^2 = (-1/5)*(-1/5) = 1/25

    VálaszTörlés
  9. nem is kérdezted a keresztnevét!

    VálaszTörlés
  10. Egy fizikai feladatnál a következő számítást láttam: 253.10(5)/(osztva)64.10(4).30.10(1)/(hatványon)=253/64.30 =253/1920=0,132mH. A részműveleteket elvégezve magyarázná meg hogyan kapta a megoldó ezt az eredményt? Főleg a hatványokkal való műveleek érdekelnek!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A számlálóban 10 az ötödiken van.
      A nevezőben 10 a negyediken szorozva 10-zel. Így a nevezőben 10 az ötödiken van.
      S 10 az ötödiken osztva 10 az ötödikennel az 1. Így csak a tizedes törtekkel kell a számításokat elvégezni.
      Tehát a lényeg: az osztást lehet egyszerűsíteni 10 az ötödikennel.

      Törlés
  11. Anno tanultam a negatív hatványt(a^-n=1/[a^n]), de itt elakadtam. Adott egy (a^-n)^-k hatvány. Most előbb vegyem a^n reciprokát, vagy a -n*-k azonosságot? Nagyon fontos lenne! Légyszi segítsetek!!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Mindegy, mindkét esetben ugyanazt kapod (nyilván). Ilyenkor érdemes az egyszerűbb eljárást választani: hatvány hatványozásakor szorozzuk a kitevőket: a^(n*k).

      Törlés
    2. De akkor nem 1/a^(n*k)?
      Viki

      Törlés
  12. Kedves Ildikó!
    Ebben kérném a segítségét.
    milyen számokat jelöl a 2x-1 kifejezés, ha x természetes szám.
    Sorolja fel az első tízet.
    köszönöm:
    Beatrix

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Üdv Beatrix!
      Táblázatban:
      x | 0 | 1 | 2 | 3 | stb.
      2x-1| -1| 1| 3| 5 | stb.

      x helyére a természetes számokat kell behelyettesíteni.

      Törlés
  13. Kedves Ildikó!

    Én ezzel nem jutok dűlőre: (2x^2+3x^-1+x^-2)* 2x^-2 =

    Tudsz esetleg segíteni? :)

    Előre is köszönöm!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen! Ha jól látom ez egy szorzat, s valószínűleg az lesz a feladat, hogy felbontsd a zárójelet. Minden tagot meg kell szorozni 2*x^(-2)-nal:

      4 + 6*x^(-3) + 2*x^(-4)

      Törlés
    2. Nem úgy van, h 4+6x^(-3)+2x^(-2) ?
      Mert az azonos kitevőjű hatványokat úgy szorozzuk, h csak az alapokat szorozzuk, a kitevő marad:

      a^n*b^n=(ab)^n

      Törlés
  14. Tisztelt Tanárnő!
    Megírná nekem mennyi 4 a mínusz 0,5.-en.
    Köszönöm!
    Tehát négy a mínusz nulla egész öt tizediken.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen!
      negatív kitevő --> alap reciprokát kell venni, hogy pozitív kitevőnk legyen
      tört kitevő --> gyökvonás

      4^(-0,5) = (1/4)^0,5 = √(1/4) = 1/2

      (A 0,5 törtalakja 1/2 ezért a második gyököt - négyzetgyököt - jelenti ez a törtkitevő.)

      Törlés
    2. Az a helyzet, hogy nem jelent meg az előző bejegyzésem, de lehet, hogy csak én voltam figyelmetlen :)

      Kedves Tanárnő!

      10 a mínusz 6,9 -en az pontosan mit takar, hogy tudnám feloldani?

      10 a 2.-on az =100
      10 a 0.on az =1
      10 a mínusz 1 -őn = 0.1

      sajnos nincsenek meg a régi tankönyveim és már némileg túlkoros is vagyok :)

      köszönettel, Alíz

      Törlés
    3. Kedves Alíz!
      10 a 6,9-en reciprokát jelenti (mint ahogy 10^(-1) is a 10^1 reciproka)

      A törtkitevőről van bejegyzés, de azért röviden:
      6,9 = 69/10

      10^(69/10) = tizedik gyök alatt 10 a 69-en .

      (tizedik gyök alatt 10^69 az a szám, aminek a tizedik hatványa 10^69.)

      Visszatérve az eredeti kérdésre:
      10^(-6,9) = 1 / 10^6,9 ~ 0,000000125

      Törlés
    4. Kedves Tanárnő nagyon köszönöm! :)
      A törteset megtaláltam :)

      Azonban ^ -ez a jel kicsit fejtörést okozott.
      Hatvány?

      Köszönettel, Alíz

      Törlés
  15. Kedves Tanárnő!
    Nem sikerül levezetnem ezt a a feladatot.
    (2x^2+3x^-1+x^-2)x^-2
    Tudna nekem segíteni?
    Az eredmény: 2x^4+3x+1/x^4
    Előre is köszönöm. Kata

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Először beszorzunk a zárójelbe. Szorzáskor összeadódnak a kitevők:
      2 + 3x^-3 + x^-4
      A közös nevezőre hozáshoz érdemes törtalakra átírni a negatív kitevőket:
      2 + 3/(x^3) + 1/(x^4)
      A közös nevező x^4.
      (2x^4 + 3x + 1)/x^4

      Törlés
  16. 16 a minusz 1/4en az miert lesz 0,5? Egy pozitiv szam negativ kitevoju hatvanya pozitiv lesz? Elore is koszonom

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Igen Betti, pozitív számnak minden hatványa pozitív lesz.
      16^(-1/4) = (1/16)^(1/4)
      1/16 negyedik gyöke pedig 1/2, azaz 0,5.
      A negatív kitevő jelentése, hogy az alap reciprokát kell venni.

      Törlés