2009. augusztus 12., szerda

Gyökvonás

A hatványozásban eljutottunk a negatív kitevős hatványokig; s most meg is állunk egy kicsit, később térünk rá a törtkitevős hatványokra.

A hatványozás egyik fordított műveletéről, a gyökvonásról lesz ma szó. Amikor a hatványalapra kérdezünk rá: "Melyik az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8?", akkor erre a kérdésre gyökvonás művelettel válaszolunk: "harmadikgyök 8 az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8".

Ennek értékét most fejben is tudjuk, hogy 2. De sok olyan feladat, kérdés van, ahol csak a gyökös alak segítségével tudjuk megadni a pontos eredményt (számológéppel vagy gyöktáblázat segítségével pedig a közelítő eredményt).

Néhány példa:
52 = 25 ----> négyzetgyök 25 = 5
34 = 81 ----> negyedikgyök 81 = 3
105 = 100000 ----> ötödikgyök 100000 = 10

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 1024 m2?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 1024. Ez a szám a négyzetgyök 1024. Számológéppel megnézzük az értékét: 32. Tehát a négyzet oldala 32m.

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 5m2?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 5. Ez a szám a négyzetgyök 5. Számológéppel: 2,236... Ez már csak közekítő érték, tehát a négyzet oldala közelítőleg 2,236m.

Milyen tizedestört ez? Egy korábbi bejegyzésben már volt szó a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ez vajon melyik fajta?

Azt is láttuk, hogy a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtek hogyan írhatók át törtalakra. Akkor próbáljuk felírni törtalakban a négyzetgyök 5-öt is!

Tegyük fel hogy négyzetgyök 5 = a/b és ez a tört már a legegyszerűbb alakú legyen.

Négyzetgyök 5 az a szám, amelyiknek a négyzete 5, tehát az előbbi egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve:

5 = a2/b2 /szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a nevezővel

5*b2 = a2

Az a2 valaminek az 5-szöröse, tehát osztható 5-tel. Ez csak úgy lehet, hogy maga az a szám is osztható 5-tel.

Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a négyzete osztható 25-tel. Tehát a2 osztható 25-tel, így a vele egyenlő 5*b2 is osztható 25-tel.

Ehhez az szükséges, hogy b2 osztható legyen 5-tel. Ha b2 osztható 5-tel, akkor b is oszható 5-tel.

Az eredeti feltevésekből az következik, hogy a is és b is osztható 5-tel. Akkor az a/b tört egyszerűsíthető 5-tel. Ezzel ellentmondásba keveredtünk azzal az eredeti feltevéssel, hogy az a/b legyen a legegyszerűbb alakja négyzetgyök 5-nek.

Ez azt jelenti, hogy nem tudtuk felírni törtalakba a négyzetgyök 5-öt, tehát az ő tizedestöt alakja se nem véges, se nem szakaszos tizedestört.

Az ilyen számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. A tizedestört alakjuk végtelen, nem szakaszos.

5 megjegyzés:

  1. jo lenne az osszes muvelet szabalyat is feltenni

    VálaszTörlés
  2. Igen, jó lenne. Jó lenne, ha szerkezsthetők lennének a matematikai jelek, szimbólumok, s nem kellene szövegesen leírnom, hogy harmadikgyök8.

    VálaszTörlés
  3. Szerkeszthetőek csak képfájlként kell őket beilleszteni a szöveg közé :). Nagyon jó lenne ha műveletről műveletre végig lehetne követni az például egy nevező gyöktelenítését. :D

    VálaszTörlés
  4. A Word-ben nem próbáltad a függvényszerkesztést?

    VálaszTörlés