2009. augusztus 7., péntek

Műveletek hatványokkal

Az előző bejegyzésben megnéztük, hogy mit értünk a hatványozás művelete alatt, ha a kitevő természetes szám. Most műveleteket végzünk ezekkel a hatványokkal.

Példa:
A legenda szerint a sakk feltalálója a következő jutalmat kérte az uralkodótól játékáért: a tábla első mezőjéért 1 búzaszemet kért. A második mezőért 2 búzaszemet, a harmadik mezőért 4 búzaszemet, a negyedikért 8 búzaszemet, és így tovább. Minden mezőért kétszer annyi búzaszemet kért, mint amennyi a megelőző mezőn volt. Hány búzaszemet kért a 64. mezőért?

1. mező = 1 /szorozva 2-vel
2. mező = 2 /szorozva 2-vel
3. mező = 2*2 = 22 /szorozva 2-vel
4. mező = 22*2 = 2*2*2 = 23 = 22+1 /szorozva 2-vel
5. mező = 23*2 =2*2*2*2 = 24 = 23+1 /szorozva 2-vel
6. mező = 24*2 = 2*2*2*2*2 = 25 = 24+1

és így tovább. Akárhanyadik mezőt is számoljuk ki, a 2 kitevője eggyel kisebb a mező számánál. Így az utolsó mezőért 263 darab búzaszemet kellene adnia az uralkodónak.

Ebben a feladatban azt is megtanultuk, hogy azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevők összeadódnak.
Még egy példa:

34*35 = 3*3*3*3*3*3*3*3*3 = 39 = 34+5

Azonos alapú hatványok osztásához törtek egyszerűsítésére lesz szükségünk. Ismétlés: törtet egyszerűsíthetünk a számláló és a nevező közös osztóival. (Ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót is és a nevezőt is.)

37/34 =
3*3*3*3*3*3*3 / (3*3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3*3 / (3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3 / (3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3 / 3 = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3 =
33.

Négyszer tudtunk a hatványalappal egyszerűsíteni, mert 4 darab hármas szorzótényezőnk volt a nevezőben. A fenti sorozat egyszerűbben:

37/34 = 37-4 = 33

Tehát: azonos alapú hatványok osztásakor úgy adhatjuk meg egyszerűen a hatványértéket, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét. (Pillanatnyilag ott tartunk, hogy a számláló kitevője nagyobb a nevező kitevőjénél.)

Hatvány hatványozásáról a következő bejegyzésben lesz szó.

23 megjegyzés:

  1. A 0 nulladik hatvanya is 1.

    VálaszTörlés
  2. Nem, nulla a nulladikont nem értelmezzük.

    VálaszTörlés
  3. és mi van akkor ha nem azonos az alap pl 3.4+5.6-on?

    VálaszTörlés
  4. és mi van akkor, ha kimerül az elem a számológépben és az életem függ tőle?

    VálaszTörlés
  5. 0^0=1, azaz nulla a nulladikon egyenlő egy természetesen, hasonlóképp
    0!=1, azaz nulla faktoriális egyenlő egy.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves dMb! Nulla a nulladikont NEM ÉRTELMEZZÜK.
      Az, hogy 0! = 1 és 1! = 1 pedig MEGÁLLAPODÁS. Miért volt szükség erre a megállapodásra?
      Az n-elemű halmaz k-elemű részhalmazainak számát "n alatt a k"-val számolhatjuk ki, ami egyenlő n!/(k!(n-k)!), ahol 0<= k <= n. A nulla elemű halmazt (az üres halmazt) 1-féleképpen választhatjuk ki, vagyis, ha k = 0, akkor 1 lesz az eredmény:
      n!/(0!(n-0)!) = n!/(1*n!) = n!/n! = 1.

      Törlés
  6. 5 a nulladikon mennyi?

    VálaszTörlés
  7. Hogyan lehet különböző alapú és kitevőjű hatványt szorozni? (számológép nélkül) pl.:2 a harmadikon + 4 a másodikon

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia! Ha lehet akkor azonos alapú hatványokra alakítod a tényezőket:

      (2^3)*(4^2) =(2^3)*(2^4) = 2^7

      Ha nem lehet azonos alapra alakítani, akkor megnézed a kitevőket. Ha ugyanaz a kitevő, akkor:

      (2^3)*(5^3) = 10^3

      Ha a kitevők sem azonosak, akkor már csak a számológép marad:

      (2^3)*(5^2) = 8*25 = 200

      A példában viszont + jelet írtál, tehát összeadást. Összeadásnál vagy kiszámolod konkrétan a tagokat és összeadod őket, vagy esetleg kiemeléssel szorzattá alakítod.

      Törlés
    2. Köszönöm szépen!

      Törlés
  8. az a csillag a szorzás?

    VálaszTörlés
  9. Köszönjük minden tanulni szerető diák nevében. :)

    VálaszTörlés
  10. Hogyan kell elvégezni a 10(-27)-en + 10(-27)-en műveletet?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. 10^(-27) = 1/10^27
      Tehát két törtet kell összeadni. S már közös nevezőn is vannak:
      1/10^27 + 1/10^27 = 2/10^27
      Ha az eredményt nem tört alakban akarod: 2*10^(-27).

      Törlés
  11. Ebben az egyenlőtlenségben tud segíteni valaki:2x^(1/2)<x^(1/3)+1 Előre is köszönöm

    VálaszTörlés
  12. :D ÁÁÁÁ ez most nagyon jól jött köszi :D

    VálaszTörlés
  13. Hogyan kell kiszamitani azt :
    3 a masodikon ,az egesz a negyediken ,az egesz a nulladikon
    vagyis hatvany hatvanyozasa de zarojelek nelkul ?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A kitevőben a legutolsó hatványozással kell kezdeni:
      4^0 = 1
      2^1 = 2
      3^2 = 9

      Törlés
  14. Hogy kell elvegezni hogy ha az alap egyforma a kitevő különböző es összeadás jele van közöttük?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kiemeléssel szorzattá alakítható. Például:
      5² + 5³ = 5²·(1 + 5) = 5²·6
      (Vagy kiszámolod külön a hatványokat, s aztán összeadod.)

      Törlés