2009. szeptember 8., kedd

Egyenlőtlenségek

Egyenlőtlenségeket is ugyanúgy mérlegelvvel oldunk meg, mint egyenleteket, csak van két művelet, amelyeknél megfordul a relációjel:

a) Szorzás negatív számmal
Például:
2 < 3
-2 > -3

b) Reciprok
Például:
2 < 3
1/2 > 1/3

Ha az egyenlőtlenség két oldala ellenkező előjelű, akkor reciprok képzésnél nem fordul meg a relációjel.
Példa:
-2 < 3
-1/2 < 1/3
Most nézünk néhány példát egyenlőtlenségek levezetésére: Mely racionális számokra teljesül:

3(2x + 2) - 7x < x + 5 /zárójelbontás
6x + 6 - 7x < x + 5 /összevonás
6 - x < x + 5 / -5
1 - x < x /+x
1 < 2x / :2
1/2 < x
Tehát az 1/2-nél nagyobb racionális számok az egyenlőtlenség igazsághalmazának elemei.
---------------------------------

Ha a turista naponta 20 km-rel többet haladna, mint valójában, akkor 8 nap alatt több mint 900 km-t jutna előre. De ha naponta 12 km-rel kevesebbet haladna naponta, akkor 10 nap alatt sem jutna előre 900 km-t. Hány km-t halad naponta?

Jelölés: x jelöli a naponta megtett utat (km)
Első mondat:
8(x + 20) > 900 / zárójelbontás
8x + 160 > 900 / - 160
8x > 740 / : 8
x > 92,5

Második mondat:
10(x - 12) < 900 / zárójelbontás
10x - 120 < 900 / + 120
10x < 1020
x < 102
 Tehát 92,5 km-nél többet és 102 km-nél kevesebbet halad naponta a turista.

-----------------------------------
Mely valós számokra igaz: (x - 2) / (x + 2) < 0

 I. Törtes egyenlőtlenségnél mindig ki kell szűrni az egyenlet alaphalmazából azokat a számokat, ahol a nevező 0 lenne (mert 0-val nem osztunk). Az x + 2 kifejezés akkor lenne 0, ha x = -2. Ezért az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az R\{-2} halmaz. (Ez a -2-től különböző valós számok halmaza.)

II. 0-nál akkor kisebb egy tört értéke, ha a számláló és a nevező ellenkező előjelű. Ezért két lehetőséget vizsgálunk meg:
a) számláló pozitív és a nevező negatív: x - 2 > 0 és x + 2 < 0 /számokat átrendezzük jobbra
x > 2 és x < -2
Ilyen szám nincs.

b) számláló negatív és a nevező pozitív: x - 2 < 0 és x + 2 > 0 /jobb oldalra rendezzük a számot
x < 2 és x > -2

Tehát az egyenlőtlenség megoldásai a -2-nél nagyobb és 2-nél kisebb valós számok.

Törtes és abszolútértékes egyenlőtlenségek megoldását találjátok ezen az oldalon:
http://www.ivonyildiko.hu/2012/02/egyenlotlensegek/

71 megjegyzés:

  1. Sokat segített elindulni a kalkulus feladatsorom megoldásán. Ott ugyanis egyenlőtlenségek megoldása az első pár feladat! :P Várunk a címkék közé függvényanalízist/kalkulust is! :P

    VálaszTörlés
  2. (x-2x)+(3x-4x)+(5x-6x)+(7x-8x)=????????????????

    VálaszTörlés
  3. Minden zárójelben (-x) az összeg.
    Így az összevonás után (-4x) az eredmény.

    VálaszTörlés
  4. Segítsen valaki
    egyenlőtlenség: I. 14x-diken-63y=0
    II. 17x-diken-87=0
    Hogyan kell megcsinálni?

    VálaszTörlés
  5. I.) 14^x - 63y = 0
    II.) 17^x -87 = 0

    Ez nem egyenlőtlenség, hanem kétismeretlenes exponenciális egyenletrendszer. Ráadásul a második egyenletben nincs y, így abból x-et meghatározhatjuk:

    17^x = 87

    vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát:

    xlg17 = lg87

    x = lg87/lg17

    x ~ 1,576

    Első egyenletből kifejezzük y-t:

    14^x = 63y

    y = 14^x/63

    behelyettesítjük x-et:

    y = (14^1,576)/63

    y ~ 1,016.

    VálaszTörlés
  6. Ez egy nagyon jó oldal,tökre segít az érettségire való felkészüléshez,ha már az embernek nincs kedve külön matek tanárhoz járogatni és a saját útján akar elindulni:)

    VálaszTörlés
  7. X négyzet-3X-6/X-4 >= 2x

    hogyan lehetne megoldani előjel táblázat segítségével??

    VálaszTörlés
  8. 2/1/a+1/b<_ +győk alatt ab<_a+b/2gyök alatt a négyzeten+b negyzeten/2 valoszinűleg a,b >0

    VálaszTörlés
  9. |x-3|<1 ezt hogy oldjuk meg szabályosan? kösz

    VálaszTörlés
  10. Kedves Névtelen kérdezők, jó lenne ha legalább a keresztneveteket vállalnátok!!
    Egyenlőtlenségek megoldásában sokat segít a grafikus módszer.
    Másik út, hogy megoldod egyenletként, majd megadod azt az intervallumot, amit az egyenlőtlenségben keresel.
    |x-3| = 1
    x1 = 4
    x2 = 2
    |x-3| < 1 ha 2 < x < 4.

    VálaszTörlés
  11. Üdv! Valaki segítsen elakadtam!

    log1/4 x - log1/4 x négyzet < 2

    addig eljutottam, hogy log1/4 x/x négyzet de innentől megállt a tudományom :$ :D

    Bella

    VálaszTörlés
  12. Szia Bella!
    Azzal kell kezdeni, hogy x>0

    Ekkor x/(x^2) = 1/x = x^(-1)

    Az egyenlőtlenséged:

    (1/4)alapúlog(1/x) < 2

    -(1/4)alapúlogx < 2

    (1/4)alapúlogx> -2

    {(1/4)^(-2) = 16}

    Az 1/4 alapú logaritmus x függvény szigorúan csökkenő, így:

    0 < x < 16.

    VálaszTörlés
  13. Szia Péter vagyok, kellene egy kis segítség.

    2- (x-3)/(x-2) > (x-2)/(x-1)

    Ezt hogy kell ?

    VálaszTörlés
  14. Szia Péter!

    Kikötések: x nem 2, x nem 1. Utána a bal oldalon hozz közös nevezőre!
    (2x-4)/(x-2) - (x-3)/(x-2) > (x-2)/(x-1)

    Bal oldalon azonos nevezőjű törtek kivonása után:

    (x-1)/(x-2) > (x-2)/(x-1)

    Vagyis egy szám nagyobb, mint a reciproka. Az ilyen számok 1-nél nagyobbak vagy ]-1; 0[-ban vannak. Tehát azokat az x-eket keresed, melyekre
    1.) (x-1)/(x-2)>1 vagy
    2.) (-1)<(x-1)/(x-2)<0.

    VálaszTörlés
  15. x^3-16x<=0
    A megoldást intervallumokban kell megadni, elakadtam és kéne egy kis segítség

    VálaszTörlés
  16. 2x > 2x+3
    Valaki tudja,hogy milyen értékrendnél igaz?
    Miért?

    VálaszTörlés
  17. 2x > 2x+3
    Milyen értékekre igaz?
    Miért?

    Ha valaki ebben tudna segítséget nyújtani előre is köszönöm!

    Zoltán.

    VálaszTörlés
  18. Szia Zoltán!
    Ez semmilyen értékre sem igaz: 2x + 3 mindig nagyobb, mint 2x.
    Példák:
    x = 2 esetén
    2*2 < 2*2 + 3

    x = 0 esetén:
    2*0 < 2*0 + 3

    x = (-4) esetén:
    2*(-4) < 2*(-4) + 3
    (-8) < (-5).

    VálaszTörlés
  19. :DD király oldal.

    VálaszTörlés
  20. kedves Ildikó! az lenne a kérdésem az egyenlőtlenségekkel kapcsolatban, hogy a relációs jel megfordulását mik okozzák, vagyis, hogy mi számít "negatív kifejezésnek"

    5
    - _________ < 12

    (3n-2)

    ha ilyenkor a (3n-2)-vel szeretném beszorozni a jobboldalt, , akkor a tört előjele miatt az is negatívnak értendő? és ha a tört nem lenne negatív, akkor a (3n-2) kifejezés pozitivnak számít?

    Előre is nagyon köszönöm válaszát!

    VálaszTörlés
  21. Kedves Sári!
    Ha jól látom a számláló (-5).

    Először megnézzük, hogy a nevező mely számra 0, mert ott nem értelmezett a tört.
    n nem egyenlő (2/3)-dal.

    Ha n > (2/3), akkor a nevező pozitív, számláló negatív, így a hányados negatív, így a bal oldal mindig kisebb 12-nél.

    Ha n < (2/3), akkor a nevező negatív, így amikor szorzol vele a relációjel megfordul:

    (-5) > 12(3n - 2)
    (-5) > 36n - 24
    19 > 36n
    (19/36) > n

    Így az egyenlőtlenség igazsághalmaza:
    n < (19/36) vagy n > (2/3).

    (Egyébként épp 19/36 -nál lesz a tört értéke 12.)

    VálaszTörlés
  22. valaki segítsen!!!!!! aza feladat hogy meg kell állapítani h igaz vagy sem.....

    A: a(harmadikon)+a(hatodikon)= a(kilencediken)
    B: a harmadikon és ez még a hatodikon = a kilencedikken
    C: a(ötödiken) * a (hatodikon) = a (tizeneggyediken)
    D: a(kilencediken) : a (harmadikon) = a (harmadokn)

    VálaszTörlés
  23. lehet e rajzolni olyan öt csúcspontú gráfot, amelyben minden csúcsból 3 él induljon ki? Indokolja!



    Valaki megmondaná mi a meg oldás????

    VálaszTörlés
  24. Minden gráfban a pontok fokszámának összege az élek számának kétszerese. A pontok fokszámának összege 5*3 = 15. Ez viszont nem páros szám. Így nincs ilyen gráf.

    VálaszTörlés
  25. 2x^2-5x+3<=0 Valaki segitsen legyszi!!!

    VálaszTörlés
  26. Szia február 6-os névtelen! Ilyen egyenlőtlenségnél meg kell oldani mintha egyenlet lenne! A két gyök 3/2 és 1. Ezután grafikusan ábrázoljuk. Kiseb 0 igy a megoldas intervallma: [1;3/2]

    VálaszTörlés
  27. Kedves Ildikó. Szükségem lenne egy kis segítségre :)

    2x+19 3x 17
    _____ + ___ = 3 + _____
    5x2-5 x-1 x2-1

    Az az 5x2 az 5x a másodikon, és az x2 az x a másodikon. Előre is köszönöm szépen! Kata

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Kata!

      Az első tag nevezője: 5(x^2 -1) = 5(x+1)(x-1).
      Ez a közös nevező, ezzel szorozzuk az egyenletet.
      Szorzás után:

      2x + 19 + 3x*5*(x + 1) = 15(x+1)(x-1) + 17*5

      2x + 19 + 15x^2 + 15x = 15x^2 - 15 + 85

      Mindkét oldalból elveszünk 15x^2-et, és összevonunk:

      17x + 19 = 70

      17x = 51

      x = 3.

      Törlés
    2. Kikötések az elején: x nem 1, x nem (-1).

      Törlés
  28. Segítséget kérek nem tudom az egyenlőtlenségnél az intervallumot.
    Még csak 4.osztályos vagyok!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Ti még relációjelekkel adjátok meg, hogy milyen szám lehet az x. Majd kilencedikben megtanulod az intervallumok jelölését.

      De azért egy-két példa:
      -2 < x < 3 számok jelölése: ]-2; 3[

      vagy 5 <= x <=10 számok jelölése: [5; 10].

      Törlés
  29. Igen,már magyarázta a tanár,de nekünk az van feladva a házi feladatban!
    x]2

    VálaszTörlés
  30. Kedves Ildikó!
    Segítséget kérek egy házi feladathoz.
    x>53
    Köszönöm.Kitti

    VálaszTörlés
  31. Szia Kitti! Írd le légy szíves, hogy mi a kérdésed!

    VálaszTörlés
  32. Szia!

    (2x-3)x(x+2)x(-x+2)x(3-x)>0

    Addig értem, hogy kikötések:
    2x-3=0 x+2=0 -x+2=0 3-x=0
    x=3/2 x=-2 x=2 x=3

    Ezután egy táblázatot töltünk ki, ahol jelöljük a 2x-3, x+2, -x+2, 3-x. majd a - végtelent, -2-t, 3/2-t,2-t,3-t, és + végtelent és beillesszük oda a 0!

    Mi ennek a menete?
    Előre is 100000000 hála!

    Tomi

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Tomi! Egy szorzat akkor pozitív, ha páros darab negatív tényezőt tartalmaz. A következő képről leolvashatod, hogy mely intervallumokon lesz 0 vagy 2 tényező is negatív (nem lesz olyan intervallum, ahol mind a négy tényező negatív lenne).

      https://picasaweb.google.com/lh/photo/X04cfs7AsMUElTbIf0_vZSZGgpVQ0KSOAMXy7M3AQsk?feat=directlink

      (másold a linket a böngésződ címsorába, ha nem kattintható)

      Törlés
  33. 2- 2x+11/6 > 3+x/4 ??? törtes egyenlőtlenségnél azt hiszem nem lehet beszorozni...hogyan induljak el és hogyan folytassam?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szorozz a közös nevezővel, majd mérlegelvvel rendezd az egyenlőtlenséget!

      Törlés
  34. -x négyzet +4x+1> 6-2x

    Nem tudom megcsinálni ezt az egyenletet segítene valaki ? Előre is köszönöm, Klaudia. Sajnos nem tudok négyzetjelet tenni:///

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Klaudia!
      Rendezd egy oldalra a tagokat:
      0 > x^2 - 6x + 5
      Keresd meg a jobb oldal zérushelyeit (megoldóképlettel):
      x1 = 5
      x2 = 1
      A parabola e kettő érték között lesz az x-tengely alatt, vagyis ezen a nyílt intervallumon lesz kisebb 0-nál:
      1 < x < 5
      Intervallum-jelöléssel:
      ]1; 5[

      Másik megoldási mód:
      Ábrázolod koordináta-rendszerben az f(x) = -x^2 + 4x + 1 függvényt, majd a g(x) = 6 - 2x függvényt, s leolvasod, hogy az f értékei mely intervallumon nagyobbak a g értékeinél (a parabola hol van az egyenes fölött).

      Törlés
  35. egyenlet sose volt erős oldalam most sem könyű felnőt fejel pl.2*(4x-3)-3*(3x-1)-4x(x+1)=5 nem tudom elkezdeni köszönetel kati

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Kati!
      Először fel kell bontani a zárójeleket:

      8x - 6 - 9x + 3 - 4x^2 - 4x = 5

      Utána összevonjuk az egynemű kifejezéseket:

      -5x - 4x^2 - 3 = 5

      Másodfokú az egyenlet, így 0-ra redukáljuk az egyik oldalt - elveszünk mindkét oldalból 5-öt:

      A bal oldalon már csökkenő hatványkitevők szerint rendezem a tagokat:

      -4x^2 - 5x - 8 = 0

      Érdemes végigszorozni (-1)-gyel az egyenletet:

      4x^2 + 5x + 8 = 0

      Behelyettesítés a másodfokú egyenlet megoldóképletébe:
      a = 4
      b = 5
      c = 8

      A négyzetgyökjel alatti kifejezés (a diszkrimináns) negatív lesz (25 - 4*4*8), így ennek az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

      Törlés
  36. Ezt a megjegyzést eltávolította a szerző.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Csak a nevező miatt kell kikötés: x nem egyenlő 0-val.

      Törlés
  37. sziasztok segitsègkène

    egyenlõtlensègben

    x/>-50

    VálaszTörlés
  38. Sziasztok! Szeretném segítségeteket kérni |x-5|<= 8 a megoldáshoz!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Névtelen! Ha már kérdezel, akkor miért nem vállalod legalább a keresztneved???

      Azok a számok, amelyek abszolút értéke kisebb vagy egyenlő mint 8, (-8) és (+8) között vannak a számegyenesen:

      - 8 <= x - 5 <= 8

      - 3 <= x <= 13.

      Törlés
  39. Köszönjük a megoldást ( de azért a jó qrva anyuKdat. :) )

    VálaszTörlés
  40. x+2/2x-2 - 2x/3x-3= 1/24
    Ennek a megoldásához kérnék segítséget.Előre is köszi ANCSA

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Ancsa!
      A nevezőket alakítsd szorzattá: 2(x-1) és 3(x-1).
      Aztán hozd közös nevezőre a törteket. A közös nevező a 24(x-1) lesz.
      Majd mindkét oldalt megszorzod a közös nevezővel.
      Utána pedig zárójelbontás, egyenletrendezés.
      12(x + 2) - 8*2x = x - 1

      Törlés
  41. KÖSZÖNÖM a választ Ildikó!SZIA Ancsa

    VálaszTörlés
  42. Tisztelt tanárnö !!!
    Szeretném segítségét kérni két feladatban mivel tanfolyamra járok és kevés mondhatni pillantásnyi idö jutott a dolgokra hisz a gimnáziumi anyagot és pár föiskolait is vettünk mindössze 1 honap alatt !!!

    Feladatok a következök :
    (négyzetgyök alatt négyzetgyök x+x a négyzeten) derivácioja.

    -5x+3/x-2>=-2(1-5x)/2+x egyenlötlenség mely számokra igaz .
    Elöre is köszönöm szépen


    VálaszTörlés
  43. Sziasztok ! Szeretném segítségeteket kérni egy egyenlőtlenség megoldásához : -5x+3>=-2(1-5x)
    ----- --------
    x-2 2+x

    Nehéz felnőtt fejjel 16 év után :( elöre is köszönöm Betti

    VálaszTörlés
  44. -5x+3 >= -2(1-5x)
    ----- >= -------
    x-2 >= 2+x

    így helyes hogy mely számok elégítik ki az egyenlőtlenséget :) bocsánat elöre is a dupla kérdésért. Betti

    VálaszTörlés
  45. nekünk a matek tanárunk úgy tanítja hogy ha egyenlőtlenségnél osztok vagy szorzok akkor a zárójelet meg kell fordítani akkor a tanár mondta rosszul vagy itt gépelték el!!!!!!!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk egy egyenlőtlenséget, akkor megfordul a relációjel.

      Törlés
  46. kin tudna sgiteni egyenlötlenség témában?

    VálaszTörlés
  47. (2x-3)*(1-x)/(x+4)*(4x+4)<0
    légyszi sürgős

    VálaszTörlés
  48. Szia, Liza vagyok! Tudnál nekem segíteni, hogy ezt a feladatot hogy kell megoldani?
    x^2 +y^2 =25
    x^2-y^2 =7
    Előre is köszönöm szépen

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Liza!
      Összeadjuk a két egyenletet, így kiesik az y^2.
      2*x^2 = 32
      x^2 = 16
      |x| = 4
      x1 = 4
      x2 = -4
      Visszahelyettesítés
      4^2 + y^2 = 25
      y^2 = 9
      |y| = 3
      y1 = 3
      y2 = -3
      Ha az x = -4-et helyettesítjük vissza ugyanezeket a megoldásokat kapjuk. Tehát az (x; y) számpárok:
      (4; 3); (4; -3); (-4; 3), (-4; -3)

      Törlés
  49. Sziasztok! valaki levezetné nekem ezt az egyenlőtlenséget, nagyon megköszönném.
    x-2/4-x<=1

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Névtelen! Gondolom a számláló x-2, a nevező pedig 4-x.
      Mindkét oldalból elveszünk 1-et, és közös nevezőre hozunk. De előtte a kikötés: x nem lehet 4.

      (x-2)/(4-x) - 1 <= 0
      (x-2)/(4-x) - (4-x)/(4-x) <= 0
      (2x - 6)/(4 - x) <= 0
      Osztunk 2-vel:
      (x - 3)/(4 - x) < = 0
      Egy tört akkor 0, ha a számláló 0. Tehát x = 3.
      Egy tört akkor kisebb 0-nál, ha a számláló és a nevező ellentétes előjelű:
      I.) x - 3 > 0 és 4 - x < 0
      átrendezve:
      x > 3 és 4 < x
      Az I. esetben a megoldás: x > 4.

      II:) x - 3 < 0 és 4 - x > 0
      x < 3 és 4 > x
      A II. esetben a megoldás x < 3.

      Tehát (x-2)/(4-x) <= 1, ha x > 4 vagy x <= 3.

      Törlés
  50. Köszönöm szépen! Kornél

    VálaszTörlés
  51. Kedves Ildikó néni! 7.-es vagyok, és nem értem az egyenleteket! :( Nem tetszik tudni segíteni? Holnap írunk belőle! pl: 3-4x<=11 2. 3x-8+x+2=18 3. 2(5x-6)=6(8-x)
    Köszönöm szépen a segítséget!!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Ani!
      Egyenlőtlenségeket is mérlegelvvel oldunk meg. Akkor kell vigyázni, ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, ilyenkor a relációjel megfordul.
      1.)
      Mindkét oldalból elveszünk 3-at:
      -4x <= 8
      Mindkét oldalt osztjuk (-4)-gyel:
      x >= (-2)

      2.)
      Először össze kell vonni az egynemű kifejezéseket:
      4x - 6 = 18
      Mindkét oldalhoz 6-ot adunk:
      4x = 24
      Mindkét oldalt osztjuk 4-gyel:
      x = 6

      3.) Fel kell bontani mindkét oldalon a zárójeleket (beszorzás):
      10x - 12 = 48 - 6x
      Mindkét oldalhoz 6x-et adunk:
      16x - 12 = 48
      Mindkét oldalhoz 12-t adunk:
      16x = 60
      Mindkét oldalt osztjuk 16-tal:
      x = 3,75.

      Törlés