2009. július 17., péntek

Egész számok összeadása, kivonása

Onnan indítjuk ezt a blogot, hogy a pozitív egész számokkal minden rendben van. Tehát a négy alapművelettel, a természetes számok tulajdonságaival nincs gond.


A negatív számokat azért találták ki, hogy megoldható legyen például a 6-7 kivonás is. Kisebb számból nagyobbat nem tudunk elvenni a természetes számok halmazában, ezért kibővítjük ezt a számhalmazt a negatív egész számokkal.


Ennek a bővebb számhalmaznak a neve: egész számok.

Hogyan kell a műveleteket elvégezni az egész számokkal?


Összeadás


(-1) + 1 = 0 Ha egy nem nulla szám előtt nincs előjel, az pozitív számot jelent. Itt például az 1 az (+1)-et jelent.

A negatív számokat úgy is elképzelhetjük, mint adósság. Az előbbi összeadást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 1Ft vagyon meg 1Ft adósság együtt 0Ft.


5 + (-4) + (-7) = -6

5Ft vagyon meg 4Ft adósság meg 7Ft adósság együtt 6Ft adósság.


Kivonás


A kivonás megtanulásához először minden számot (+1)-ek és (-1)-ek segítségével írunk fel:


5 = 1+1+1+1+1
-3 = (-1) + (-1) + (-1)
0 = 1+1+(-1)+(-1)
stb.


Az első két szám összege: 5 + (-3) = 2.
Vegyünk el ebből a 2-ből (-3)-at!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-3) = 1+1+1+1+1 = 5

Tehát: 2 - (-3) = 5.


Most vegyünk el a 2-ből (-2)-t!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-2) = 1+1+1+1+1+(-1) = 4

Tehát: 2 - (-2) = 4.


Hogyan lehetne 2-ből (-4)-et elvenni?

A 2-t nem csak abban az alakban adhatjuk meg, hogy 5 + (-3); hanem például úgy is, hogy 6+(-4).
6 +(-4) - (-4) = 6.
Tehát 2-(-4) = 6.


Itt azt használtuk fel, hogy 0-át adhatunk bármihez, az érték nem változik:
1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1.

5 + (-3) + 1 + (-1) még mindig 2-vel egyenlő.


Összességében: negatív szám kivonása azonos pozitív szám hozzáadásával.
2 - (-3) = 2 + 3
2 - (-2) = 2 + 2
2 - (-4) = 2 + 4
stb.
Ha a témához van még kérdésed, nyugodtan tedd fel itt a blogon!


84 megjegyzés:

  1. pl:(-13)+3=-10 hehe :P

    VálaszTörlés
  2. nagyon jó oldal mindent meglehet keresni

    VálaszTörlés
  3. én nem értettem matekos cuccokat, de mostmár frankón megy
    Köszi a segítséget!

    VálaszTörlés
  4. Én egy matematikai tudásában igen csak megkopott nagymama vagyok, aki segíteni szeretne az unokájának.Hálásan köszönöm!

    VálaszTörlés
  5. Nagyon jó ez az oldal! nagyon jó az ismétlésre,nekem nagyon sokat segített. Köszönöm

    VálaszTörlés
  6. Ha -ból (-)-t veszek el, akkor mindkét mínusz pozitívvá változik?

    VálaszTörlés
  7. Nem. Néhány példán bemutatva:
    -5 - 8 = -13
    -5 - (-8) = -5 + 8 = 3
    A kisebbítendő (első szám) nincs mitől megváltozzon. Nincs előtte másik előjel.

    Viszont ha a kivonandó (második szám) negatív, azaz két negatív előjel van egymás után, akkor ott pozitív szám hozzáadásáról van szó.

    Még egyszer:
    akármi - (-x) = akármi + x

    VálaszTörlés
  8. 7-3x3+(7+6)+28-5+1+1=?
    a)50
    b)32
    c)10
    d)36
    Szerintetek melyik a helyes vaalsz?

    VálaszTörlés
  9. (-6)-(+6)=
    (-18)-(+14)=
    (+19)-(-11)=
    ha ezekre eredményt kapok már értem is az egészet:) előre is köszönöm(:

    VálaszTörlés
  10. (-6)-(+6)= (-12)
    (-18)-(+14)= (-32)
    (+19)-(-11)= (+30).

    VálaszTörlés
  11. ha azonos előjelű törtet adunk össze azonos előjelű törtel akkor plussz lesz?
    és ha különbözőket adunk össze akkor minusz lesz?

    VálaszTörlés
  12. Nem. Azonos előjelű törszámok összegének ugyanaz lesz az előjele, mint a tagoknak. Példák:
    (+1/2) + (+1/3) = (+5/6)
    (-1/2) + (-1/3) = (-5/6/

    Ha különböző előjelű törteket adunk össze, akkor a számok abszolútértékétől függ az összeg előjele. Példák:
    (-1/2) + (+1/3) = (-1/6)
    (+1/2) + (-1/3) = (+1/6)

    A nagyobb abszolútértékű tört előjele lesz az összeg előjele is.

    Érdemes az ilyen műveletek azzal kezdeni, hogy felbontod a zárójeleket, s úgy számolod ki az összeget. Gondolj bele, ha kettőnél több törtszámot kell összeadni, akkor már nehézkes lenne ilyen szabályokat megfogalmazni.
    Például:
    (-3/2) + (+1/6) + (+1/3) =
    -3/2 + 1/6 + 1/3 =
    -9/6 + 1/6 + 2/6 =
    -6/6 =
    -1.

    VálaszTörlés
  13. koszonom az oldalt de nekem feladatok kellenek mert nem tudok oldani feladatokat es ezert a tnarno meg akar buktatni:((

    VálaszTörlés
  14. van egy oldal ahol +6-(-4) ezt oda kel huzni a helyes válasz hoz vagyis ott a 10 hez kellet és ez jo?, vagy az oldal volt a hibás? :) ellöre is köszönöm:)

    VálaszTörlés
  15. Igen, +6 - (-4) = +10.

    +6 - (-4) = +6 + (+4) = 6 + 4 = 10.

    VálaszTörlés
  16. Hogyan magyaráznátok el a negatív eredményt egy gyereknek? Feladat: 0,7 - 0,9...

    VálaszTörlés
  17. Először egész számokkal:
    7 - 9 = -2

    Utána a tizedekkel:
    0,7 - 0,9 = -0,2.

    Vagy:
    Ha egy kivonásban felcseréljük a kisebbítendőt és a kivonandót, akkor a különbség az ellentett lesz:

    5 - 4 = 1
    4 - 5 = -1

    Így először azt számoljuk ki, hogy mennyi 0,9 - 0,7; majd vesszük az eredmény ellentettjét, s az lesz az eredeti kérdés megoldása:

    0,9 - 0,7 = 0,2

    0,7 - 0,9 = -0,2.

    VálaszTörlés
  18. szuper az oldal nagyon sokat segitett nekem mert holnap felmerom lesz es akkor ezelott nem ertettem semmit de most mar mindent ertek nagyjabol :) :) koszonom

    VálaszTörlés
  19. hát én ezt nem értem

    VálaszTörlés
  20. (-10)+(+8)+(-22)+(+6)+(-50)=

    Segítenél,köszönöm! (levezetve) :)

    VálaszTörlés
  21. 1.)A feladatban csak összeadások szerepnek, balról jobbra haladva számolunk:

    (-10)+(+8) = (-2)
    (-2) + (-22) = (-24)
    (-24) + (+6) = (-18)
    (-18) + (-50) = (-68).

    2.) A számításokhoz felhasználhatjuk azt is, hogy összeadásban a tagok átcsoportosíthatók:

    Pozitív számok összege:
    (+8) + (+6) = (+14)

    Negatív számok összege:
    (-10) + (-22) + (-50) = (-82)

    A két részösszeg együtt:
    (+14) + (-82) = (-68)

    VálaszTörlés
  22. Hmm de akkor mi történik ha pl (3)-(11) akkor az -9 lesz??

    VálaszTörlés
  23. Ezt a megjegyzést eltávolította a szerző.

    VálaszTörlés
  24. utolso szam kiszamitasa ??? 3a 40-en minusz 3a 39-en minusz 3 a 38-on .... ebben az esetben ki szamitom mindeniknek az utolso szamat kulon - kulon ??? kerem segitsen egy magyarazattal koszonettel Ervin

    VálaszTörlés
  25. Nem kell mindegyiknek külön-külön kiszámítani az utolsó jegyét, mert 3 hatványainak az utolsó jegyei négyesével ismétlődnek:

    3^1 --> 3
    3^2 --> 9
    3^3 --> 7
    3^4 --> 1

    S inenntől újra ezek a végződések ismétlődnek egymás után. 3^5 végződése 3.

    3^40 utolsó jegye 1 lesz, és 3^36 utolsó jegye is, és 3^32 utolsó jegye is, s így tovább.

    3^39 utolsó jegye 7 lesz, 3^35 utolsó jegye is, s így tovább.

    3^38 utolsó jegye 9 lesz, 3^34 utolsó jegye is, stb.

    3^37 utolsó ejgye pedig 3 lesz.

    Összefoglalva: ha 3 hatványkitevője 4-gyel osztva 0 maradékot ad, akkor a hatvány végződése olyan, mint 3^4-é (1).

    Ha a kitevő 4-gyel osztva 3 maradékot ad, akkor a hatvány végződése olyan, mint 3^3-é (7).

    Ha a kitevő 4-gyel osztva 2 maradékot ad, akkor a hatvány végződése olyan, mint 3^2-é (9).

    S ha a kitevő 4-es maradéka 1, akkor a hatvány végződése olyan, mint 3^1-é (3).

    VálaszTörlés
  26. Koszonom az elobbi magyarazatot sikerult megoldanom,de meg egy kerdesem van....

    Rendezd novekvo sorrendbe
    51 12 34 25 hatvanykitevo
    2 27 3 4 alap

    addig eljutottam a felbontassal hogy ezt a sort kaptam :
    51 36 34 50
    2 3 3 2

    ahhoz hogy ossze tudjam hasonlitani a hatvanykitevoket legalabb egy kozos szamra kellene bontsam ami nem sikerult ,mit tegyek? Ervin

    VálaszTörlés
  27. 51 = 3*17
    34 = 2*17

    2^51 = (2^3)^17 = 8^17

    3^34 = (3^2)^17 = 9^17

    8^17 < 9^17

    Sorrend:
    2^50 < 2^51 < 3^34 < 3^36

    VálaszTörlés
  28. nagyra ertekelem a segitseget ! koszonettel Ervin

    VálaszTörlés
  29. Szeretnénk ha segítene nekünk ezt a feladatot levezetni, mert nem értettük meg:
    9-(-5)+(-6)*0*3=+14

    Köszönettel 5.osztályos Erika.

    VálaszTörlés
  30. Kedves Erika!
    Egy ilyen feladatnál több dologra is figyelni kell. Az első a műveleti sorrend:
    - elsők a szorzások
    - aztán az összeadások, kivonások balról jobbra

    Második a zárójelek felbontása lesz.

    Először ki kell számolni a szorzásokat:
    (-6)*0*3 = 0

    Majd az összadásokat, kivonásokat:
    9 - (-5) + 0 =
    9 + 5 =
    14.

    VálaszTörlés
  31. 4 egymas utan kovetkezo termeszetes szam osszege 222 ! melyek ezek ?
    Logikailag kiszamitottam ,illetve 54+55+56+57=222
    Egyenlet formajaban sehogy sem sikerult.
    Paros szam=2k
    Paratlan = 2k+1 akkor:2k+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3=222
    ha paratlannal kezdek:
    (2k-1)+2k+(2k+1)+(2k+2)=222
    igy a 2k=37
    Mi az ami nem joooooooo????
    koszonom ha utbaigazit Ervin

    VálaszTörlés
  32. Valószínűleg az egyenletek levezetésével volt gond. Első egyenleted összevonás után:
    8k + 6 = 222
    8k = 216
    2k = 54 (ez az első számod)

    Második egyenleted összevonás után:
    8k + 2 = 222
    8k = 220
    2k = 55
    2k - 1 = 54.

    Egyszerűbben is megoldható:
    x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 222
    4x + 6 = 222
    4x = 216
    x = 54

    VálaszTörlés
  33. /(-4)-(-8)/=
    ilyenkor negatív vagy pozitív lesz az eredmény levezetéssel

    VálaszTörlés
  34. (-4) - (-8) =
    (-4) + 8 =
    4.
    Azaz (+4).

    Zárójelbontás:
    A - (-x) = A + x.

    VálaszTörlés
  35. a tört értéke 1-nél nagyob ha a számlálo nagyob a
    nevezönél

    VálaszTörlés
  36. Mi a szabálya az egész számok kivonásának?
    Nem értem mikor kell - vagy + számmá változtatni!
    Köszönöm szépen.

    VálaszTörlés
  37. Negatív szám kivonását pozitív szám hozzáadására írhatjuk át:

    4 - (-5) = 4 + 5

    (-3) - (-7) = (-3) + 7

    Csak ennyi a szabály, hogy negatív szám elvétele egyenlő pozitív szám hozzáadásával.

    Még néhány példa:

    2 - (-8) = 2 + 8 = 10

    (-1) - (-20) = (-1) + 20 = 19

    (-6) - (-4) = (-6) + 4 = (-2).

    VálaszTörlés
  38. (-9)-(+56)= ??????

    VálaszTörlés
  39. -9-56 = -65

    Itt az a feladat, hogy a (-9)-et csökkentsük 56-tal. Az ilyeneket úgy képzeljétel el, hogy a számegyenesen a (-9)-ről indulva 56-ot léptek balra.

    Fejben ezt úgy lehet gyorsan kiszámolni, hogy 9+56 = 65, majd az eredményben negatív előjelet raktok.

    VálaszTörlés
  40. az (x+1).(x+2)=72
    logikailag 2 egymas utan kovetkezo szam szorzatarol van szo a 8,9 innen az x=7
    de egyenlet megoldaskent matematikailag hogyan lehet ki szamolni ? vagy csak a talalgatas elvet lehet alkalmazni? (5.-es tananyag)
    koszonom Ervin

    VálaszTörlés
  41. Kedves Ervin! Igen, ha ez ötödikes kérdés, akkor csak a módszeres találgatás marad.
    Egyébként ez egy másodfokú egyenlet, amelynek a megoldásai a 7 és a (-10). Így a tényezők 8 és 9; illetve (-8) és (-9).

    VálaszTörlés
  42. 7,5-(-3).(-2)=???

    VálaszTörlés
  43. -20 + (-8) = (-28)

    7,5 - (-3)*(-2) =
    7,5 - (+6) =
    1,5

    VálaszTörlés
  44. Szeretnék rá segítséget kérni,mert nem értem!:-(

    -24-80:(-8)=

    Nekem az eredmény +13 jött ki!
    Jól számoltam?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. szerintem:
      -80:(-8)=10
      -24+10=-14

      már ha jól tudom?!

      de a 13-at nem értem? hogy jött ki?

      Törlés
  45. nagyon tetszik ez az oldal most már kezdem érteni tehát ha +9-(-6)= 15 ? ha valaki jól érti azt meg köszöném ha megírná hogy helyes e a válasz

    VálaszTörlés
  46. Válaszok
    1. Vegyünk el mindkét oldalból 8-at:
      -4x = -12

      Osztjuk mindkét oldalt (-4)-gyel:
      x = 3

      Ellenőrzés:
      (-4)*3 + 8 = (-12) + 8 = (-4)

      Törlés
  47. szia! hogy számoltad ki a +13?

    VálaszTörlés
  48. Jo napot segitséget kénék (-41)-(-55)+51-(5)=? Levezetésében illetve7200-12-399-(800)=?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia tudor! Bontsd fel a zárójeleket:
      -41 + 55 + 51 - 5. A második kérdésedben (is) sokat segíthet egy számológép.

      Törlés
  49. Szép napot!

    segítséget szeretnék kérni, mert nem nagyon értem a feladatot..

    (+3,5)+(-0,35)+(-3,65)=

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia! Miért nem vállalod legalább a keresztneved???

      Az ilyen feladatokat úgy képzeld el, hogy van 3,5 vagyonod. Kapsz (= hozzáadás) 0,35 adósságot. Ekkor lesz 3,15 vagyonod.

      Kapsz 3,65 adósságot. Így lesz 0,5 adósságod.
      Tehát az eredmény (-0,5).

      A zárójeleket így kell felbontani:
      3,5 - 0,35 - 3,65 = -0,5.

      Törlés
  50. Ez az oldal nagyon jo. :)

    VálaszTörlés
  51. segitsget szeretne k hogy van az oszeadasnal +++=?---=?-+-?+-+?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Névtelen! Sajnálom, hogy nem írtad meg a keresztneved.
      Az a számok abszolút értékétől függ. Néhány példa:
      (+5) + (+6) = 11
      (-5) + (+6) = 1
      (+5) + (-6) = -1
      (-5) + (-6) = -11

      Ugyanezekkel a kivonás:
      (+5) - (+6) = -1
      (-5) - (+6) = -11
      (+5) - (-6) = 11
      (-5) - (-6) = 1

      Törlés
  52. Sziasztok. :) Jó oldal nekem sokat segített, köszönöm. :)

    VálaszTörlés
  53. 0+50x1-60-60x0+10=?
    Miért jön ki más ha fejben számolok és ha géppel? És mekyik a helyes?köszi lajos

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Lajos!
      A szorzásokat kell először megcsinálni (magasabb rangú művelet):
      50×1 = 50
      60×0 = 0

      Majd balról jobbra haladva az összeadások, kivonások:
      0 + 50 - 60 - 0 + 10 = - 10 + 10 = 0.

      Törlés
  54. Kedves Ivony Ildikó!
    Lenne egy megjegyzésem, ami talán inkább matematikafilozófia...
    A negatív számok kivonása ilyen módon azt hiszem nem túl életszerű.
    Természetesen tudom, hogy ezt nem Ön találta ki így :) .
    Ez a módszer azt feltételezi, hogy mindenkinek van adóssága,és a nettó vagyon az ennek,és az összes vagyonnak a különbsége. Értem én, hogy ha ilyen formán adunk hozzá nullát, akkor az nem változtat rajta, csak az zavar, hogy enélkül mint ha meghalna a mutatvány.
    Mert mi van akkor, ha nekem nem az 5-3 miatt van 2 forintom,hanem 0 adósság mellett kapok 2 forintot?
    A másik amivel (remélem csak egyelőre) nem tudok mit kezdeni, az a negatív számok szorzása. A valós életben kicsit viccesen jönne ki, ha a nem létező 3 almámat összeszoroznám a további 2 db nem létező almámmal és a semmiből manifesztálódna nekem 6db alma :)
    Gondolom ezek a műveletek feltételezik bizonyos szituációk fennállását, mert számomra úgy tűnik, hogy nem használhatók mindig.
    Kíváncsian várom véleményét.
    Köszönöm.
    Zsolt

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Zsolt!
      Ha a számokat úgy értelmeznénk, hogy valós dolgok darabszámát fejezik ki, akkor a természetes számokon kívül nem létezne más szám; sem negatív, sem irracionális, sem komplex.
      Viszonylag korán el kell vonatkoztatni a valós dolgoktól a tanulóknak, s csak mint önálló fogalmakkal kell dolgozniuk a számokkal. Meg kell tanulni a számok közötti műveleteket és azok tulajdonságait. Itt már nincs szó almákról.
      A negatív számokat kivonás eredményeként értelmezzük. Az igazán korrekt az lenne, hogy a természetes számokhoz hozzárendelünk egy olyan új számot, melyre:
      a + (az új szám) = 0
      Ezt az új számot az 'a' ellentettjének nevezzük el.
      Ekkor úgy értelmezzük az x - a kivonást:
      x - a = x + (az 'a' szám ellentettje).
      Sajnos ugyanaz a kivonás jele, mint az ellentett jele:
      x - a = x + (-a)

      Szorzási szabályra:
      (-a) + a = 0
      szorozzuk mindkét oldalt b-vel:
      b(-a + a ) = 0
      disztributivitás alkalmazása:
      b(-a) + ba = 0
      vonjunk ki mindkét oldalból ba-t.
      b(-a) = - ba
      vagyis pozitív és negatív szám szorzata negatív.

      (-b) + b = 0
      szorzunk (-a)-val:
      (-b + b)(-a) = 0
      disztributivitás:
      (-b)(-a) + b(-a) = 0
      vonjunk ki b(-a)-t:
      (-b)(-a) = - (b(-a))
      a jobb oldalon az előző pont alapján -(-ba) van. Ami negatív szám ellentettje, ami pozitív szám az ellentett definíciója alapján. Tehát:
      (-b)(-a) = ba
      Tehát két negatív szám szorzata pozitív.

      Törlés
  55. köszönöm a segítséget

    VálaszTörlés
  56. Kedves Ildikó!Kérném szíves segítségét!
    -6*(-4)*(-5):(-30)
    Nálam az eredmény;+40 Kérdésem,hogy jó-e az eredmény? Köszönöm! Ági

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Ági! Egy nullával több van a kelleténél; az eredmény (+4).

      Törlés
  57. Kedves Ildikó! Hogy hibázhattam ekkorát?Köszönöm!Szép estét! Ági

    VálaszTörlés
  58. Ezzel nem boldogulok,szerintem nem jó!
    -12:(-4)*5-3*(-5) Segítség!

    VálaszTörlés
  59. Hogy kell fejbeni kivonást levezetni 10-es átlépéssel? Mint pl 642-66

    VálaszTörlés
  60. Jo napot! Lenne egy feladat amiben a segitségére lenne szukségem, igy szol: irja le egy kivonási feladat megoldásának fejbeni folyamatát /algoritmus/ kétféle képpen. Legyen a feladat háromjegyu számbol kétjegyu kivonása 10-es átlépéssel. Pl: 642-66
    Ezt ugy kellene, hogy
    642-66=
    600-60=540
    540+42=582
    582-6=576
    Sajnos nem boldogulok....segitségét elore is koszonom. Attila

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Üdvözlöm Attila! Még lehetne így is:
      a) 642 - 60 - 6
      b) 642 - 70 + 4
      c) 642 - 40 - 20 - 6
      d) 642 - 40 - 20 - 2 - 4
      e) 642 - 42 - 20 - 4
      Mindenesetre én csak a kivonandót bontanám - bár nem tudom, hogy egy kisdiák melyiket érti meg jobban.

      Törlés
  61. Es ha pozitivat negativval keverunk ?

    VálaszTörlés