Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek II.

Az előző bejegyzést folytatva a témában, most egy másik típusú szöveges feladatot oldunk meg:

Marci 14 km/h egyenletes sebességgel elindul egy kerékpártúrára. Nándor két óra múlva kismotorral utána indul, sebessége 21 km/h. Mennyi idő múlva éri utol Marcit?

A mozgási szöveges feladatoknál 3 mennyiséget, és kapcsolatukat, kell figyelembe venni: út, idő, sebesség. Ezt a 3 adatot jegyzeteljük ki a szövegből, mégpedig amit tudunk azt számmal, amit nem tudunk azt betűvel jelölve.

Marci:

út: s

idő: t

sebesség: 14 km/h

Nándor:

út: s

idő: t - 2

sebesség: 21 km/h

út = sebesség*idő; s ezt írjuk le mindkét fiú adataival.

Marci: s = 14*t

Nándor: s = 21*(t - 2)

A két egyenlet bal oldala ugyanaz (s), ezért a jobb oldalak is egyenlőek:

14*t = 21*(t - 2) /osztunk 7-tel (így kisebb számokkal kell majd dolgoznunk)

2*t = 3*(t - 2) /zárójelbontás

2*t = 3*t - 6 / mindkét oldalból elveszünk 3*t - t

- t = - 6 /mindkét oldalt szorozzuk -1-gyel

t = 6

Marci 6 órát kerékpározott, amikor Nándor utolérte.

Nándor pedig 4 óra motorozás után érte utol Marcit.

Ellenőrzés:

Marci 6 óra alatt 14 km/h sebességgel 6*14 = 84 km-t tett meg.

Nándor 4 óra alatt 21 km/h sebességgel 4*21 = 84 km-t.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek

Szöveges feladatokon nézzük meg a mérlegelv alkalmazását az egyenletmegoldásban.
1. Egy kád az egyik csapból 20 perc alatt, a másikról 15 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 16 perc alatt ürül ki a kád. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindkét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad?

Először kiszámoljuk, hogy 1 perc alatt a kád hányad része telik meg vízzel:

- az első csap 20 perc alatt töltené meg, így 1 perc alatt a kád 1/20 része telik meg vízzel az első csapon;

- a második csap 15 perc alatt töltené fel a kádat, így 1 perc alatt a kád 1/15 részét tölti meg;

- a lefolyón 1 perc alatt a kád tartalmának 1/16 része folyik le.

Így 1 perc alatt a kád 1/20 + 1/15 - 1/16 részében lesz víz.
1/20 + 1/15 - 1/16 =
(12 + 16 - 15)/240 =
13/240.

1 perc --> 13/240 rész
x perc --> 1 egész rész
------------------------
x*13/240 = 1 /mindkét oldalt osztjuk 13/240-del

1:(13/240) = 1*240/13 ~ 18,46

x ~ 18,46

Ennyi perc alatt telik meg a kád.

2. Mennyi vizet kell elpárologtatni 10 liter 40%-os sóoldatból. hogy 60%-os sóoldatot kapjunk?

Ami nem változik a párolgás során, az a só mennyisége. Ezért a sótartalomra írhatunk fel egyenletet.
Az első oldatban 10 liter 40%-a = 4 liter só van.

A 10 literből elpárolog valamennyi víz, jelöljük x-szel. Így a második oldat (10-x) liter.
Ennek 60%-a só: (10-x)*0,6

4 = (10-x)*0,6 /zárójelbontás
4 = 6 - x*0,6 /mindkét oldalhoz x*0,6-et adunk
4 + x*0,6 = 6 /mindkét oldaból elveszünk 4-et
x*0,6 = 2 /mindkét oldalt osztjuk 0,6-del
x = 3,333...
x = 3 egész 1/3

Tehát 3 egész 1/3 liter vizet kell elpárologtatni.

Ellenőrzés:
Ha elpárolog 3 egész 1/3 liter a 10-ből, akkor a második oldat 6 egész 2/3 liter.
Ennek a 60%-át kiszámoljuk:
3 egész 2/3 = 20/3
20/3*(6/10) = 120/30 = 4.

Ami éppen az első sóoldat sótartalma.

U.i.: A százalékszámításról még nem volt szó. Röviden: mennyiségek századrészét nevezzük százaléknak.
60% --> 60/100 rész
Valaminek a 60%-át úgyszámoljuk ki, hogy szorozzuk 60-nal, osztjuk 100-zal (vagy osztjuk100-zal, szorozzuk 60-nal).
Ezt a két műveletet eggyel is felírhatjuk: szorzunk 0,6-del. Ezt használtam fel a 2. példában.

Kérdezzetek itt a blogon, ha bővebben olvasnátok a százalékszámításról!

Egyenletek, mérlegelv

A műveletek témakört befejeztük, ha majd szükséges lesz, akkor a műveleti tulajdonságokra még visszatérünk. Most az egyenletek, mérlegelv fejezetbe kezdünk.

"Melyik az természetes szám, amelyiknek a fele 5-tel több a 13-nál?"

Ez egy egyszerű kérdés, de a lényeget jól mutatja: adott tulajdonságú számot keresünk. Ezt a keresett számot ismeretlennek nevezzük, s betűvel jelöljük, hogy segítségével, a műveleti jelekkel és a szövegben megadott számokkal le tudjuk írni a tulajdonságát:
x:2 = 13 + 5

Még egy tulajdonság szerepel a szövegben: természetes szám az ismeretlen. Alaphalmaznak nevezzük azt a számhalmazt, amelyben az ismeretlen értékét keressük.

A jobb oldalon egy számfeladat van, kiszámoljuk:

x:2 = 18

Az x felét ismerjük, ezért 2-vel való szorzással tudjuk meg x értékét. Ha egyenlő mennyiségeket ugyanazzal szorozunk, akkor az eredmények is egyenlők lesznek:

x = 36.

Megoldottuk az egyenletet, s a 36 természetes szám. Még az ellenőrzés van hátra: a 36 fele 18, ami tényleg 5-tel több a 13-nál.

Ebben a példában használtuk a mérlegelvet: ugyanazt a műveletet végeztük az egyenlet mindkét oldalával. Ezt úgy képzeld el, mint egy egyensúlyban lévő karos mérleg két serpenyőjét. Ha ugyannyit teszel a két oldalra, vagy ugyanannyit veszel el a két oldalról, vagy ugyanazzal a számmal szorzod, osztod a két serpenyőben lévő mennyiséget, akkor nem billen ki a mérleg, az egyensúly (=az egyenlet) megmarad.

Sok fajtája van az egyenleteknek:
- egy ismeretlen van benne,
- több ismeretlen van benne,
- az ismeretlen az első hatványon van,
- második hatványa szerepel az ismeretlennek, stb.
- négyzetgyökjel alatt van,
- abszolútértékes az egyenlet,
- stb.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletekkel folytatom majd, de aki máris kíváncsi a megoldásukra, nézze meg a videót:

Törtkitevő, logaritmus

A műveletekről szóló bejegyzéssorozatomból még hiányzik a törtkitevő és a logaritmus értelmezése. Ezeket nézzük most meg konkrét példákon.

Törtkitevő
Példa:
7^2/3 alatt azt a számot értjük, amelynek a harmadik hatványa 7².

Ehhez hasonló meghatározással a harmadikgyöknél találkoztunk. S azt a számot, amelynek a harmadik hatvány 7² így írtuk: harmadikgyök 7².

(7^2/3)³ = 7²
(harmadikgyök 7²)³ = 7²

Így 7^2/3 = harmadikgyök 7².

Példa:

27^-4/3 = harmadikgyök(27^-4) = harmadikgyök(1/27⁴) = harmadikgyök(1/(3³)⁴) = harmadikgyök(1/3¹²) = 1/3⁴ = 1/81.

4^3/2 = négyzetgyök(4³) = (négyzetgyök 4)³ = 2³ = 8.

Törtkitevőt csak pozitív alapra értelmezünk (negatív azért nem lehet az alap, mert páros gyököt nem tudunk belőle vonni a valós számok halmazában; nulla azért nem lehet az alap, mert ha a kitevő negatív előjelű, akkor reciprokot kellene venni - nullának pedig nincs reciproka).

Logaritmus

A gyökvonás műveletéhez úgy jutottunk el, hogy egy hatványból az alapot fejeztük ki: 2³=8 - ból 2=harmadikgyök 8.

Ha a kitevőt akarjuk kifejezni, akkor azt logaritmussal tehetjük meg: 3=log₂8. (kettes alapú logaritmus 8)

Azaz a logaritmus a kitevőt megadó művelet. A logaritmus alapja egyben a hatványalap, s azt a kitevőt keressük, amire ezt az alapot felemelve a megadott számot kapjuk.

Példa:
Mennyi log₃81? Azt a kitevőt keressük, amire a 3-at felemelve 81-et kapunk értékül. Ez a 4.
log₃81 = 4

A leggyakrabban használt logaritmusalap a 10, ezért egy egyszerűbb jelölést vezettek be a tízes alapú logaritmusra: lg.

Példák:
lg10 = 1
lg10000 = 4
lg1 = 0
lg 0,001 = -3
lg(négyzetgyök 1000) = 3/2
lg(négyzetgyök 0,001) = -3/2

Logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, úgy ahogy előbb a törtkitevőnél megbeszéltük. Nincs értelem az 1 alapú logaritmusnak.

Valamint csak pozitív szám lehet az a szám is, aminek a logaritmusát keressük.

(Eredményül, a kitevőre persze "bármilyen" számot kaphatunk, ahogy az előbbi példákban is: pozitívat, negatívat, nullát, egészet, törtet.)

A következő linken példákat tölthetsz le a logaritmus azonosságaira:

 https://docs.google.com/open?id=0B2n8PzGXd_A6V1V2blBtMmc3dEU

Négyzetgyökvonás

Feladatokban leggyakrabban a másodikgyök (négyzetgyök) művelete fordul elő. Most a négyzetgyökvonás műveleti tulajdonságait nézzük meg.

Amikor négyzetgyökvonás eredményét keressük, akkor egy olyan szám a kérdés, aminek a második hatványa a gyökjel alá írt szám.
Mennyi négyzetgyök121?
11, mert 11² = 121.
Tehát ellenőrizzük négyzetre emeléssel az eredményt. Mivel önmagával kell szorozni, így biztosan nem lesz a második hatvány negatív. Ezért eleve nem is kérdezhetünk olyat, hogy mennyi egy negatív szám négyzetgyöke, mert ellenőrzéskor hibát kapunk.

Ezért egy kicsit most pontosítjuk a négyzetgyökvonás meghatározását: Egy x nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelynek a négyzete x. Azaz sem a négyzetgyökjel alatti szám, sem a négyzetgyökvonás eredménye nem lehet negatív.

Egy-egy példán nézzük meg a négyzetgyökvonás tulajdonságait:

a) négyzetgyök(16*9) = négyzetgyök16*négyzetgyök9
Szorzatból lehet tényezőnként négyzetgyököt vonni.

b)négyzetgyök(16/9) = négyzetgyök16/négyzetgyök9
Hányados négyzetgyökét úgy is kiszámolhatjuk, hogy külön a számlálóból, külön a nevezőből vonunk négyzetgyököt.

c) (négyzetgyök4)³ = négyzetgyök(4³)
A négyzetgyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető.

Amit nagyon nem szabad, és nagyon nem lehet, és mégis sokan bepróbálkoznak vele, az összegből való négyzetgyokvonás tagonként:
négyzetgyök(25 + 16) nagyon nem egyenlő négyzetgyök25 + négyzetgyök16 - tal!!!

Ugyanígy kivonás esetében is:
négyzetgyök (25 - 16) nem egyenlő négyzetgyök25 - négyzetgyök16 -tal!!!

Számoljatok utána!

Gyökvonás

A hatványozásban eljutottunk a negatív kitevős hatványokig; s most meg is állunk egy kicsit, később térünk rá a törtkitevős hatványokra.

A hatványozás egyik fordított műveletéről, a gyökvonásról lesz ma szó. Amikor a hatványalapra kérdezünk rá: "Melyik az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8?", akkor erre a kérdésre gyökvonás művelettel válaszolunk: "harmadikgyök 8 az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8".

Ennek értékét most fejben is tudjuk, hogy 2. De sok olyan feladat, kérdés van, ahol csak a gyökös alak segítségével tudjuk megadni a pontos eredményt (számológéppel vagy gyöktáblázat segítségével pedig a közelítő eredményt).

Néhány példa:
5² = 25 ----> négyzetgyök 25 = 5
3⁴ = 81 ----> negyedikgyök 81 = 3
10⁵ = 100000 ----> ötödikgyök 100000 = 10

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 1024 m²?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 1024. Ez a szám a négyzetgyök 1024. Számológéppel megnézzük az értékét: 32. Tehát a négyzet oldala 32m.

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 5m²?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 5. Ez a szám a négyzetgyök 5. Számológéppel: 2,236... Ez már csak közekítő érték, tehát a négyzet oldala közelítőleg 2,236m.

Milyen tizedestört ez? Egy korábbi bejegyzésben már volt szó a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ez vajon melyik fajta?

Azt is láttuk, hogy a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtek hogyan írhatók át törtalakra. Akkor próbáljuk felírni törtalakban a négyzetgyök 5-öt is!

Tegyük fel hogy négyzetgyök 5 = a/b és ez a tört már a legegyszerűbb alakú legyen.

Négyzetgyök 5 az a szám, amelyiknek a négyzete 5, tehát az előbbi egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve:

5 = a²/b² /szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a nevezővel

5*b² = a²

Az a² valaminek az 5-szöröse, tehát osztható 5-tel. Ez csak úgy lehet, hogy maga az a szám is osztható 5-tel.

Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a négyzete osztható 25-tel. Tehát a² osztható 25-tel, így a vele egyenlő 5*b² is osztható 25-tel.

Ehhez az szükséges, hogy b² osztható legyen 5-tel. Ha b² osztható 5-tel, akkor b is oszható 5-tel.

Az eredeti feltevésekből az következik, hogy a is és b is osztható 5-tel. Akkor az a/b tört egyszerűsíthető 5-tel. Ezzel ellentmondásba keveredtünk azzal az eredeti feltevéssel, hogy az a/b legyen a legegyszerűbb alakja négyzetgyök 5-nek.

Ez azt jelenti, hogy nem tudtuk felírni törtalakba a négyzetgyök 5-öt, tehát az ő tizedestöt alakja se nem véges, se nem szakaszos tizedestört.

Az ilyen számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. A tizedestört alakjuk végtelen, nem szakaszos.

Negatív kitevő

Lépünk egyet tovább a hatványozás témakörben, s nézzük mi a helyzet, ha a kitevő negatív egész szám.

Két összefüggésre lesz szükségünk az értelmezéshez, gyorsan ismételjük át őket:

• a nulla kivételévek bármely szám nulladik hatványa 1;
• azonos alapú hatványok osztásakor a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét.

Sőt! Erre a második összefüggésre "visszafelé" lesz majd szükségünk: ha egy kitevőben kivonás van, akkor az azonos alapú hatványok osztásának eredménye.

Akkor fogjuk meg először 4^-1-t! (Négy a mínusz elsőn.)

A -1 sokféle kivonás eredménye lehet: 0-1; 1-2; 6-7; stb. Használjuk a legegyszerűbbet!

4^-1 = 4^0-1 = 4⁰/4¹ = 1/4. (A harmadik lépésben használtuk fel, hogy bármely szám nulladik hatvány 1.)

Másik példa: 4^-3 = 4^0-3 = 4⁰/4³ = 1/4³ (= 1/64)

Nézzünk egy törtes példát is:

(5/3)^-2 = (5/3)^0-2 = (5/3)⁰/(5/3)² = 1/(5/3)² = 1/(25/9) = 9/25 = (3/5)²

Összesítve: egy nem nulla szám negatív kitevős hatványa a szám reciprokának pozitív kitevős hatványával egyenlő.

Példák:

7^-3 = (1/7)³

(3/4)^-1 = 4/3

(1,8)^-2 = (1/1,8)² = (5/9)²

10^-4 = 0,0001

Műveletek hatványokkal 2.

A hatványokkal végzett műveletek közül hátra van még a szorzat hatványozása, a hányados (tört) hatványozása, és hatvány hatványozása.

Példa:
Egy négyzet oldala 3*a hosszúságegység. Adjuk meg a négyzet területét!

T = (3*a)² = 3*a*3*a = 3*3*a*a = 3²*a² (9a²) területegység.

Ebből a megfigyelendő: (3*a)² = 3²*a²
Tehát szorzatot lehet tényezőnként hatványozni.

Példa:
Egy kocka élei 10/3 méter hosszúak. Mennyi a kocka térfogata?

V = (10/3)³ = (10/3)*(10/3)*(10/3) = 10*10*10/(3*3*3) = 10³/3³ m³

Ebből a megfigyelendő: (10/3)³ = 10³/3³.
Tehát törtet úgy hatványozunk, hogy hatványozzuk külön a számláló és külön a nevezőt.

Példa:
Bontsuk fel a zárójelet: (5⁴)³

(5⁴)³ = 5⁴*5⁴*5⁴ = 5^4*3 = 5¹²

Tehát hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk.

S végezetül egy rejtvény, a megoldásokat a hozzászólásokban írjátok meg:

Műveletek hatványokkal

Az előző bejegyzésben megnéztük, hogy mit értünk a hatványozás művelete alatt, ha a kitevő természetes szám. Most műveleteket végzünk ezekkel a hatványokkal.

Példa:
A legenda szerint a sakk feltalálója a következő jutalmat kérte az uralkodótól játékáért: a tábla első mezőjéért 1 búzaszemet kért. A második mezőért 2 búzaszemet, a harmadik mezőért 4 búzaszemet, a negyedikért 8 búzaszemet, és így tovább. Minden mezőért kétszer annyi búzaszemet kért, mint amennyi a megelőző mezőn volt. Hány búzaszemet kért a 64. mezőért?

1. mező = 1 /szorozva 2-vel
2. mező = 2 /szorozva 2-vel
3. mező = 2*2 = 2² /szorozva 2-vel
4. mező = 2²*2 = 2*2*2 = 2³ = 2²⁺¹ /szorozva 2-vel
5. mező = 2³*2 =2*2*2*2 = 2⁴ = 2³⁺¹ /szorozva 2-vel
6. mező = 2⁴*2 = 2*2*2*2*2 = 2⁵ = 2⁴⁺¹

és így tovább. Akárhanyadik mezőt is számoljuk ki, a 2 kitevője eggyel kisebb a mező számánál. Így az utolsó mezőért 2⁶³ darab búzaszemet kellene adnia az uralkodónak.

Ebben a feladatban azt is megtanultuk, hogy azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevők összeadódnak.
Még egy példa:

3⁴*3⁵ = 3*3*3*3*3*3*3*3*3 = 3⁹ = 3⁴⁺⁵

Azonos alapú hatványok osztásához törtek egyszerűsítésére lesz szükségünk. Ismétlés: törtet egyszerűsíthetünk a számláló és a nevező közös osztóival. (Ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót is és a nevezőt is.)

3⁷/3⁴ =
3*3*3*3*3*3*3 / (3*3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3*3 / (3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3 / (3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3 / 3 = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3 =
3³.

Négyszer tudtunk a hatványalappal egyszerűsíteni, mert 4 darab hármas szorzótényezőnk volt a nevezőben. A fenti sorozat egyszerűbben:

3⁷/3⁴ = 3^7-4 = 3³

Tehát: azonos alapú hatványok osztásakor úgy adhatjuk meg egyszerűen a hatványértéket, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét. (Pillanatnyilag ott tartunk, hogy a számláló kitevője nagyobb a nevező kitevőjénél.)

Hatvány hatványozásáról a következő bejegyzésben lesz szó.

Hatványozás

A racionális számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása (osztó nem lehet 0) után megismerkedünk a hatványozás művelettel.

Példa:
Egy 10cm élű fakockát feketére festettünk, majd az oldallapokkal párhuzamos vágásokkal 1cm élű kockákra daraboltuk. Hány olyan kis kockát kaptunk, melynek legalább az egyik lapja fekete?

A nagy kockát 10*10*10 = 1000 kis kockára daraboltuk. A "belső", nem színezett kis kockák száma: 8*8*8 = 512 darab. Így legalább egy oldallapja fekete 1000-512 darabnak, azaz 488-nak.

Amikor önmagával szorzunk egy számot, azaz egy szorzásban a tényezők azonosak, akkor a hatványjelölés segítségével röviden is leírhatjuk a műveletet:

10*10*10 rövid jelöléssel 10³. (tíz a harmadikon)
8*8*8 hatvány jelöléssel 8³.

Elnevezések: 10 - alap; 3 - kitevő; 1000 - hatványérték.

Példák:
(-5)² = 25
(-3/2)³ = -27/8
0,5⁴ = 0,0625

Megállapodás:
- bármely szám első hatványa maga a szám (34¹ = 34)
- a nulla kivételével bármely szám nulladik hatványa 1 (7,2⁰ = 1)

A következő bejegyzésben a hatványokkal végzett műveleteket ismerjük meg.

Racionális számok

Sokféle számot, és a velük végezhető műveleteket megismertünk már. Ezeket a számokat racionális számoknak nevezzük. Kicsit pontosabban a meghatározásuk:

Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosakét, racionális számoknak nevezzük (az osztó nem nulla).

A két egész szám hányadosa pedig a törtalakot jelenti. Példák:

Egész számok: 5 = 10/2 (a 10 és a 2 egész számok hányadosa)
-3 = -9/3 (a -9 és a 3 egész számok hányadosa).

Véges tizedestörtek: 6,097 = 6097/1000

Tiszta szakaszos tizedestörtek: 0,11111..... = 1/9

Vegyes szakaszos tizedestörtek: 0,166666... = 1/6

Az ilyen számok az elemei a racionális számok halmazának. Ennek a halmaznak van egy betűjele: Q.

Tizedestörtek

A tizedestörteket is átírhatjuk törtalakba. Persze fordítva is, a törteket tizedestört alakba.


a) Törtet úgy írunk át tizedestört alara, hogy az osztást elvégezzük. Például:

12/5 = 12:5 = 2,4; véges tizedestört.

4/3 = 4:3 = 1,3333...; végtelen szakaszos tizedestört.

5/6 = 5:6 = 0,83333....; vegyes szakaszos tizedestört.


b) Nézzük, hogy a háromféle tizedestörtet, hogyan lehet visszaírni törtalakra.


3/10 = 0,3
5,28 = 528/100 (5 egész = 500 század, meg 28 század)
........................................................................


3,7777.... = x /10-zel szorozzuk mindkét oldalt
37,777.... = 10x /az alsó egyenletből kivonjuk a felsőt
_________
34 = 9x /osztunk 9-cel

34/9 = x


Tehát, ha beütöd a számológépedbe, hogy 34:9, akkor azt írja ki, hogy 3,777...(az utolsó jegyet valószínűleg kerekíteni fogja a gép).
..........................................................................


Vegyes szakaszos tizedestört átírása:

3, 6755555..... = x

Először 100-zal, majd 1000-rel szororzzuk ezt az egyenlőséget:


367,55555... = 100x
3675,5555... = 1000x
________________

Kivonjuk az alsó egyenletből a felsőt:


3308 = 900x /osztunk 900-zal

3308/900 = x


Tehát, ha beütöd a számológépbe, hogy 3308:900, akkor kiírja az eredeti tizedestörtet: 3,67555...
...........................................................

Összegezve: a módszer lényege, hogy a végtelen szakaszos tizedestörtet 10-zel, vagy 100-zal, vagy 1000-rel, stb. szorozzuk; úgy megválasztva ezt a szorzót, hogy a kivonáskor az azonos tizedesjegyek egymás alá kerüljenek. Így a különbség 0 lesz minden tizedes helyiértéken.


Még egy példa: