Osztás törttel

Most erősen szükségünk lesz a reciprok fogalmára, úgy hogy ismételjük át: egymás reciprokának nevezünk két számot, ha szorzatuk 1.
a*b =1 esetén 'a' reciproka 'b' és fordítva.
1/a = b
1/b = a
('a' nem 0, 'b' nem 0.)

Megint egy konrét példán ismerjük meg az osztást:

5:(2/3) = ?
Egy nagyon picit átírjuk ezt az osztást:
5 = 5*1

(5*1):(2/3) = ?

Egy szorzást úgy osztunk egy számmal, hogy az egyik tényezőjét osztjuk a számmal:

5*(1:(2/3)) = ?

Itt pedig felismerjük a zárójelben a reciprok képzést: 1:(2/3) éppen a 2/3 peciprokával egyenlő, azaz 3/2-del.
Ellenőrzés: 2/3*(3/2) = 6/6 = 1

Folytatva az eredeti kérdést, itt tartunk:

= 5*(3/2).

Elejét és a végét összehozva:

5:(2/3) = 5*(3/2).

Úgy osztunk törttel, hogy az osztó reciprokával szorzunk.

Példa:

4,28:(4/9) = 4,28*(9/4) = 4,28*9/4 = 9,63.

Számok reciproka

A törttel való osztás előtt megtanuljuk, hogy mit nevezünk egy szám reciprokának: azt a számot, amivel összeszorozva 1-et kapunk eredményül.

Mennyi a 2 reciproka? Helyettesítsünk be az előbbi meghatározásba! Keressük azt az x számot, amelyre:

2*x = 1

x = 1/2

Hasonlóan: 3 reciproka 1/3; -5 reciproka -1/5; stb.

Mennyi a 3/8 reciproka?

x*3/8 = 1 /*8

x*3 = 8 /:3

x = 8/3

Ellenőrzés:

8/3*(3/8) = 24/24 = 1.

Tehát törteknél nagyon egyszerűen, a számláló és a nevező felcserélésével, megkaphatjuk a reciprokot.

Van egy szám, amelyiknek nincs reciproka.

Melyik ez a szám?

Tört szorzása törttel

Kétféleképpen is megnézzük hogyan kell törtet törttel szorozni. Először egy ábra segítségével:

Az egységnégyzet egyik oldalát 3 egyenlő részre, másik oldalát 4 egyenlő részre osztottuk.

A négyzet egyik oldalán 2/3-ot, másik oldalán 3/4-et jelöltünk, s a beszínezett téglalap területét kell kiszámolni.

Az eredeti négyzet 12 részre van osztva (1:12), s ezekból 6 darabot színeztünk be (6/12).

Másrészt téglalap területét szorzással számoljuk: (2/3)*(3/4). Tehát ezek egyenlők:

(2/3)*(3/4) = 6/12. (2*3 a számláló, 3*4 a nevező)

Másodszorra nézzünk egy sorozatot, s a szabály további alkalmazásával is eljuthatunk törtek szorzásához:

(2/3)*8 = 16/3

(2/3)*4 = 8/3

(2/3)*2 = 4/3

(2/3)*1 = 2/3

Az egyik tényező mindig a felére változott, így a szorzat is az előző fele lett. Folytassuk!

(2/3)*(1/2) = 2/6

(2/3)*(1/4) = 2/12

Most a második tényezőt a háromszorosára változtatjuk, így a szorzat is a háromszorosa lesz az előzőnek:

(2/3)*(3/4) = 6/12.

A műveleti tulajdonságok alkalmazásával is arra jutottunk, hogy törtet törttel úgy szorzunk, hogy számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk.

A törtes műveletek végén az eredményt egyszerűsítjük, ha lehetséges: 6/12 = 1/2.

Tört osztása egész számmal

Először az osztás egyik lehetséges esetét nézzük meg:

12/7 : 4 = 3/7, mert ellenőrizve: 4*3/7 = 12/7

100/42 : 25 = 4/42. Ellenőrzés: 25*4/42 = 100/42.

Tehát a számlálót osztjuk.

Mi a helyzet, ha nem osztható a számláló?

2/9 : 5 = ?

Bővítsük a törtet olyan alakúra, hogy alkalmazható legyen az előbbi szabály, azaz osztható legyen a számláló!

2/9 = 10/45

10/45 : 5 = 2/45.

Tehát: 2/9 : 5 = 2/45.

Még egy példa a szabály megfogalmazása előtt:

4/3 : 10 = 40/30 : 10 = 4/30.

Tehát: ha a számláló nem osztható az egésszel, akkor a nevezőt szorozzuk az egész számmal.

További magyarázatok, példák törtek osztásához Arányosság című e-könyvemben.

Törtszám és egész szám szorzata

A szorzás tényezői felcserélhetők: 6*8 = 8*6. Ez -természetesen - bármely szorzás esetében így van, tehát a törtes szorzásoknál is.

3/5*4 = 4*3/5 = 3/5 + 3/5 + 3/5 + 3/5 = 12/5.

Tehát az egész számmal megszorozzuk a tört számlálóját.

Előjeles számok esetén ugyanazokat az előjelszabályokat alkalmazzuk, mint amelyeket egy előző bejegyzésben megtanultunk:
(-6)*2/9 = - 12/9
6*(-3/5) = - 18/5
(-2/3)*(-10) = 20/3.

Törtek összeadása, kivonása

Ott tartunk, hogy a törtszámokat osztások eredményeként értelmeztük. Továbbra sem osztunk 0-val, de bármely más egész számokkal végzett osztás eredményét megadhatjuk törtszámmal. Például 12:7 osztás eredménye 12/7. S a múltkor azt is megbeszéltük, hogyan kell a 12/7 számot megkeresni a számegyenesen.

Lépjünk tovább a törtekkel végzett műveletekre. Most lesz erősen szükség az osztás tulajdonságaira - úgyhogy ha szükségesnek érzed, akkor előbb tekerj vissza ahhoz a bejegyzéshez!

a) 2/3 + 5/3 = 2:3 + 5:3 = (2+5):3 = 7:3 = 7/3
Ha ugyanaz az osztó - azaz nevező - a két törtben, akkor az osztandókkal - azaz a számlálókkal - elvégezzük az összeadást, s ezt az összeget osztjuk a közös nevezővel. Még egy példa:
4/7 - 9/7 = (4 - 9)/7 = -5/7.

b) 2/3 + 1/4
= 2:3 + 1:4 =
= 8:12 + 3:12 =
= (8 + 3):12 =
= 11:12 =
= 11/12.

Ha nem azonos a két nevező, akkor bővíteni kell az osztást, azaz bővíteni kell a törteket, hogy azonos legyen a két nevező. Itt használjuk fel az osztásnak azt a tulajdonságát, hogy a hányados nem változik, ha az osztandó is és az osztó is ugyannyaszorosára változik.
Ha közös nevezőre (közös osztóra) bővítettük a törteket, akkor onnantól életbe lépnek az a) pontban megbeszéltek.

Példa:
4/5 - 7/15 =
12/15 - 7/15=
(12-7)/15=
5/15= 1/3.

Ebben a példában 5 és 15 volt a két nevező, s kihasználtuk, hogy 5 osztója a 15-nek, s ezért csak a 4/5-öt kellett bővíteni. A végén pedig a legegyszerűbb alakban adjuk meg az eredményt, tehát egyszerűsítjük az 5/15-öt.

(Emlékeztető: a hányados értéke nem változik, ha ugyanazzal a számmal osztjuk az osztandót és az osztót is. Ugyanez átfogalmazva:
A tört értéke nem változik, ha ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót és a nevezőt is.)

Törtszámok

A törtszámok osztást jelentenek. A számláló az osztandó, a törtvonal az osztás jele, a nevező az osztó:
1/2 = 1:2.



Fordítva: az osztások eredményét megadhatjuk törtszámmal:
1:2 = 1/2

Ennek az osztás műveletnek a segítségével határozzuk meg a helyüket a számegyenesen. Az 1/2 helye: az egységnyi szakasz két egyenlő részre osztásakor kapjuk.

A 3/2 helyét kétféleképpen határozhatjuk meg:

a) 3 egység hosszú szakaszt kétfelé osztunk és az a 3/2 helye;

b) 1 egység hosszú szakaszt kétfelé osztunk és 3-szor felmérjük ezt a 0-tól.

Nézzünk még egy példát törtszám helyének meghatározására: 4/5

a) a négy egység hosszú szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk, s az első osztás lesz a 4/5;

b) az egy egység hosszú szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk, s az egyenlő részekből 4 darabot felmérünk egymás után a 0-tól.

Osztás tulajdonságai

Mielőtt a törtszámokra rátérnénk, az osztás két nagyon fontos tulajdonságát megbeszéljük. Ezekre lesz szükség a törtszámokkal végzett műveleteknél.

A hányados nem változik, ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik.
Példák:
12:4 = 24:8 = 6:2
5:2 = 10:4
30:8 = 60:16 = 15:4
9:6 = 45:30 = 3:2
stb.

Megjegyzem: az osztásnak ezt a tulajdonságát nevezzük majd bővítésnek, illetve egyszerűsítésnek.

A másik szükséges tulajdonságban már az osztást összehozzuk az összeadással, kivonással.
Példák:
10:2 + 8:2 = (10+8):2
15:3 - 21:3 = (15-21):3
(28 + 21):7 = 28:7 + 21:7
(100-65):5 = 100:5 - 65:5

(12+9):8 = 12:8 + 9:8
6:5 + 2:5 = (6+2):5
stb.

Tehát: összeget úgy is oszthatunk egy számmal, hogy minden tagot külön elosztjuk a számmal, majd a hányadosokat összegezzük. És fordítva is: ha egy összeadás minden tagja egy osztás és az osztó azonos, akkor először az osztandókat összegezhetjük, majd a végén számoljuk ki az osztást.

Megjegyzés: ez nem lesz más, mint azonos nevezőjű törtek összeadása, kivonása.

Persze nem csak kéttagú összegről lehet szó:
Példák:
4:10 + 5:10 + 6:10 + 7:10 = (4+5+6+7):10
(13+8-4+9-11):8 = 13:8 + 8:8 - 4:8 + 9:8 - 11:8
stb.

Beküldendő feladat:
Egyetlen kérdést hagy adjak fel, itt a hozzászólásokban válaszolj rá:

144:x = 136:17
Mennyi az x?

Egész számok osztása

Az osztás előjel-szabályainak megismeréséhez felhasználjuk a szorzásról tanultakat: az osztást szorzással ellenőrizük.
a) Két pozitív szám osztása rendben van: 5:1=5; pozitív lesz a hányados.

b) Pozitív szám osztása negatív számmal:
5:(-1) = ?
Ellenőrzése: ?*(-1) = 5
A szorzásról tanulta alapján: a két tényező azonos előjelű, hiszen a szorzat pozitív lett. Ezért a ? negatív előjelű. Miután az előjelet eldöntöttük, már csak a "csupasz" számot kell megállapítanunk, így: ?*1=5. ?=5.
Összerakva az eddig megállapítottakat: ?=-5

c) Negatív szám osztása pozitív számmal:
(-5):1=?
Ellenőrzése: ?*1 = (-5)
A szorzásnál tanultak alapján: a két tényező különböző előjelű lesz, hiszen a szorzat negatív lett. Ezért a ? negatív előjelű. Az előjel megállapítása után a "csupasz" számot állapítjuk meg: ez 5 lesz.
Összerakva a két megállapítást: ?=(-5)

d) Negatív szám osztása negatív számmal:
(-5):(-1) = ?
Ellenőrzése: ?*(-1) = (-5)
A szorzásnál tanultak alapján a ? pozitív előjelű (mert két különböző előjelű szám szorzata lesz negatív).
Az előjel nélküli csupasz szám pedig: 5.
Összesítve: ?=5

Tehát hasonló szabályokat kaptunk, mint a szorzásnál:
Azonos előjelű számok hányadosa pozitív; különböző előjelű számok hányadosa negatív lesz.
5:1 = 5
(-5):(-1) = 5
5:(-1)= -5
(-5):1 = -5

Egész számok szorzása

Két azonos előjelű szám szorzata pozitív; valamint két különböző előjelű szám szorzata negatív.

Egész számok összeadása, kivonása

Onnan indítjuk ezt a blogot, hogy a pozitív egész számokkal minden rendben van. Tehát a négy alapművelettel, a természetes számok tulajdonságaival nincs gond.


A negatív számokat azért találták ki, hogy megoldható legyen például a 6-7 kivonás is. Kisebb számból nagyobbat nem tudunk elvenni a természetes számok halmazában, ezért kibővítjük ezt a számhalmazt a negatív egész számokkal.


Ennek a bővebb számhalmaznak a neve: egész számok.

Hogyan kell a műveleteket elvégezni az egész számokkal?


Összeadás


(-1) + 1 = 0 Ha egy nem nulla szám előtt nincs előjel, az pozitív számot jelent. Itt például az 1 az (+1)-et jelent.

A negatív számokat úgy is elképzelhetjük, mint adósság. Az előbbi összeadást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 1Ft vagyon meg 1Ft adósság együtt 0Ft.


5 + (-4) + (-7) = -6

5Ft vagyon meg 4Ft adósság meg 7Ft adósság együtt 6Ft adósság.


Kivonás


A kivonás megtanulásához először minden számot (+1)-ek és (-1)-ek segítségével írunk fel:


5 = 1+1+1+1+1
-3 = (-1) + (-1) + (-1)
0 = 1+1+(-1)+(-1)
stb.


Az első két szám összege: 5 + (-3) = 2.
Vegyünk el ebből a 2-ből (-3)-at!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-3) = 1+1+1+1+1 = 5

Tehát: 2 - (-3) = 5.


Most vegyünk el a 2-ből (-2)-t!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-2) = 1+1+1+1+1+(-1) = 4

Tehát: 2 - (-2) = 4.


Hogyan lehetne 2-ből (-4)-et elvenni?

A 2-t nem csak abban az alakban adhatjuk meg, hogy 5 + (-3); hanem például úgy is, hogy 6+(-4).
6 +(-4) - (-4) = 6.
Tehát 2-(-4) = 6.


Itt azt használtuk fel, hogy 0-át adhatunk bármihez, az érték nem változik:
1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1.

5 + (-3) + 1 + (-1) még mindig 2-vel egyenlő.


Összességében: negatív szám kivonása azonos pozitív szám hozzáadásával.
2 - (-3) = 2 + 3
2 - (-2) = 2 + 2
2 - (-4) = 2 + 4
stb.
Ha a témához van még kérdésed, nyugodtan tedd fel itt a blogon!