Pénzügyi alapismeretek

 

e-learning tananyagkínálat

1 – 12. évfolyam

Áremelkedés, árleszállítás

 Egy könyv árát 15%-kal felemelték, s így most 7360 forintba kerül. Mennyi volt az eredeti ár?

100% = eredeti ár

115% = 7360

1% = 7360 : 115 = 64

100% = 6400

Tehát a könyv ára 6400 forint volt.

Egy album árát 6%-kal csökkentették, s így most 8460 forintba kerül. Mennyi volt az eredeti ár?

100% = eredeti ár

94% = 8460

1% = 8640 : 94 = 90

100% = 9000

Tehát az album ára 9000 forint volt.

Egy 8000 forintos makett árát felemelték, s így most 9120 forintot kell érte fizetni. Hány százalékos volt az áremelkedés?

100% = 8000

1% = 80

9120 : 80 = 114

Tehát 114%-ot fizet a vásárló.

114% - 100% = 14%

Tehát 14%-os volt az emelkedés.

Egy 16000 forintos térkép árát leszállították, s így most 15200 forintot kell érte fizetni. Hány százalékos volt az árleszállítás?

100% = 16000

1% = 160

15200 : 160 = 95

Tehát 95%-ot fizet a vásárló.

100% - 95% = 5%

Tehát 5%-os volt az árleszállítás.

Felezőpont, harmadolópont, súlypont

 

Önálló gyakorlás: hányados logaritmusa

 

Hányados logaritmusa, an interactive worksheet by ivonyildiko
liveworksheets.com

Önálló gyakorlás: szorzat logaritmusa

 

Szorzat logaritmusa, an interactive worksheet by ivonyildiko
liveworksheets.com

Egyenletek önállóan

Hová kattints, ha önállóan szeretnéd gyakorolni, megtanulni az egyenletmegoldást?

Járd végig az alábbi tanösvényt! Ne ugorj át egyszerűnek tűnő lépéseket, feladatokat - tartsd be a fokozatosság elvét!

1. Mérlegelv megértése: http://matekotthon.blogspot.com/2009/08/egyenletek-merlegelv.html
2. Mérlegelv videóban: https://www.youtube.com/watch?v=-DcSsACAJb8
3. Egyenlet és kép egyeztetése: https://learningapps.org/2447330
4. Elsőfokú egyismeretlenes: https://www.youtube.com/watch?v=QhyF108hgl8
5. Képes egyenletek gyakorlásnak: https://learningapps.org/2447245 (Kattints a képre, hogy nagyobban lásd!)
6. Abszolútértékes: https://www.youtube.com/watch?v=KvU7rO4PmbI
7. Másodfokú egyenlet megoldóképlete: https://www.youtube.com/watch?v=39V367Aa9Hc
8. Gyakorlás ellenőrzéssel: https://tudomanyplaza.hu/egyenletek-feladatok-es-megoldasok-1/

Logaritmus értelmezése

Gyakorlás a Learningapps-en:

Interaktív gyakorlás

Értelmezési tartomány, értékkészlet

Szemléletes videó függvény értelmezési tartományának és értékkészletének leolvasásáról.

Függvények - alapfogalmak

Ha elmegyünk egy boltba vásárolni, akkor minden termék árcéduláján megtaláljuk az egységárukat. Egy iskolában a tanulóknak mindig van osztályfőnöke. Minden országnak egyértelműen ismerjük a fővárosát. A folyóknak a hosszát, a hegyeknek a magasságát ismerjük.

Sok-sok példát találhatunk még a hétköznapokban olyan rendszerre, amikor két halmaz elemi között létesítünk kapcsolatot egy szabállyal:

1.)
A = {kenyér, tej, csoki}
B = {természetes számok}
szabály: termékhez hozzárendeljük az egységárát
Példa: kenyér --> 300

2.)
A = {Anna, Béla, Csaba}
B = {Juliska néni}
szabály: tanulóhoz hozzárendeljük az osztályfőnökét
Példa: Béla --> Juliska néni

3.)
A = {Magyarország; Ausztria, Szlovákia, Németország}
B = {Budapest, Bécs, Pozsony, Párizs}
szabály: országhoz a fővárosát rendeljük
Példa: Ausztria --> Bécs

Az első halmazt alaphalmaznak nevezzük, a másodikat képhalmaznak.

Ha az alaphalmaz bármely elemének legfeljebb egy képe van a képhalmazban, akkor a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A második és harmadik példa függvény.

Nem függvény a hozzárendelés például akkor, ha minden pozitív egész számhoz az osztóit rendeljük.

Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elemnek van képe a képhalmazban a függvény értelmezési tartományának nevezzük. A harmadik példában az értelmezési tartomány {Magyarország, Ausztria; Szlovákia} halmaz.

A képhalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elem képe valamely alaphalmazbeli elemnek a függvény értékkészletének nevezzük. A harmadik példában az értékkészlet a {Budapest, Bécs, Pozsony} halmaz.

Nézzünk egy olyan függvényt, ahol az alaphalmaz is és a képhalmaz is számhalmaz, a szabály pedig műveletekből áll: minden valós számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot. Példák:
4 --> 5
-9 --> -21
0,75 --> -1,5
√2 --> 2√2 - 3
x --> 2x - 3

Az utolsó sor már képlettel adja meg a szabályt, az x az alaphalmaz egy tetszőleges elemét jelöli:
x ϵ R (x eleme a valós számok halmazának).

A függvényeknek nevet adunk, a magyar ábécé kisbetűivel jelöljük őket. Például az előbbi függvény neve legyen f. Az előbbi példák így is leírhatók:
f(4) = 5
f(-9) = -21
f(0,75) = -1,5
f(√2) = 2√2 - 3
f(x) = 2x - 3
A függvény neve után zárójelben az alaphalmaz elemét írjuk; az egyenlőségjel után pedig a képhalmaznak azt az elemét, amelyet a szabály alapján hozzárendelünk. A képhalmaznak ezeket az elemeit szokás függvényértéknek nevezni.

A függvényeket nagyon szemléletessé teszi, ha ábrázoljuk őket. Az ábrázolás szabályai: a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes számegyenese (az x-tengely) az alaphalmaz elemeit tartalmazza; a függőleges számegyenes (az y-tengely) a képhalmaz elemeit tartalmazza. Más szavakkal: az ábrázolandó pont első koordinátája az alaphalmaz eleme, a második koordinátája pedig a szabály alapján hozzárendelt függvényérték. Így az f függvényünk grafikonja:

Algebrai törtek

Algebrai törteknek nevezzük az olyan kifejezéseket, amelyekben változó van a nevezőben. Például 1/a; vagy (x^2 - 1)/(x - 1); stb.
Ugyanolyan műveleteket végezhetünk algebrai törtekkel, mint törtszámokkal. Előbb azonban ki kell kötni, hogy milyen szám nem lehet a nevezőben lévő változó, hiszen nullával nem osztunk. Például az 1/a esetén az a kikötés, hogy a ≠ 0. A második példa esetén a nevező akkor lenne nulla, ha x = 1, ezért itt azt kell kikötni, hogy x ≠ 1.

Algebrai törtek egyszerűsítését (is) ugyanúgy végezzük el, mint törtszámok esetén: a számláló és a nevező közös osztóját (vagy osztóit) kell megtalálni, s ezzel a közös osztóval lehet egyszerűsíteni. Ehhez előbb szorzattá alakítjuk mindkettőt.
Például az (x^2 - 1)/(x - 1) esetén

• a számláló szorzatalakja: (x +1)(x -1); 
• a nevező szorzatalakja: 1*(x - 1).

Így az (x - 1) tényezővel lehet egyszerűsíteni:
(x^2 - 1)/(x - 1) = x + 1 (x≠1)

Algebrai kifejezések összevonása

Amikor betűket és számokat műveleti jelekkel kapcsolunk össze, akkor algebrai kifejezésekről beszélünk. A betűket változóknak nevezzük. Azt a számot, amivel szorozzuk a változót, együtthatónak nevezzük. Példák algebrai kifejezésekre:

2a + 2b
x²y + xy² - x³
(x + 2a)³

Egytagú kifejezések:azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás szerepel egytagú kifejezéseknek nevezzük. Például:
2xy
3a/4

Egynemű kifejezések: egytagú kifejezéseket egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. Egyneműek:
2ab; -ab; 0,6ab; 5643ab;

Nem egyneműek: ab; a²b; ab²; 7a; 7b

Összevonás: egynemű kifejezések összevonásakor az együtthatókat adjuk össze:

3x + 2x - 5,6x = -0,6x
2xy + 6xy - 0,8x -7xy + 4y = xy - 0,8x + 4y

Zárójelbontás:
2(a + ab - b) = 2a + 2ab - 2b
5 - (x - 2xy + 3) = 5 - x + 2xy - 3 = -x + 2xy + 2
-xy(6 - ab) = -6xy + abxy

Szorzattá alakítás (közös tényező kiemelése zárójel elé):
xy + 5x = x(y + 5)
4a + 5ab - ax = a(4 + 5b - x)

Helyettesítési érték
Számoljuk ki a 2a + 3b kifejezés helyettesítési értékét, ha a = 1, b= -2
2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4.

Érettségi 2013. május 7.

A középszintű matematika érettségi hivatalos javítási-értékelési útmutatója >>

Kör egyenlete

Tananyag és kidolgozott mintafeladatok >>

Multimédiás tananyag >>

Feladatok (online segítséggel) >>

Videó: érintőkör >>

Egyenes egyenlete

Adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyenlete: http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_11-5_Az_egyenes_egyenlete_I-100823

Feladatmegoldás:


Az egyenes irányvektoros egyenlete:

Felszín- és térfogatszámítás

Felszín- és térfogat számítási feladatok megoldása:


Gúla és kúp felszíne, térfogata:
 http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858

 Kúp térfogata:

Legnagyobb közös osztó

A természetes számokat, az osztóik száma alapján, három halmazba sorolhatjuk:
A = {0; 1}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}

B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat prímszámoknak nevezzük.

C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat összetett számoknak nevezzük.

A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.

Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:
12 = 2*2*3
54 = 2*3*3*3
Ezt a szorzat alakot nevezzük prímtényezős szorzat alaknak - a szorzás minden tényezője prímszám.

Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám összes osztóját:
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3

A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?

A legnagyobb közös osztó prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es  és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.

Más példa:
288 = 2⁵*3²
3024 = 2⁴*3³*7
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:
2⁴*3² = 144.

A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:
(12; 54) = 6
(288; 3024) = 144

Összefoglalva: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.

Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:
14 = 2*7
15 = 3*5.
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.
(14; 15) = 1.

A legnagyobb közös osztó meghatározásának a törtek egyszerűsítésénél van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!

1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:
5100 = 2²*3*5²*17
6120 = 2³*3²*5*17

2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:
(5100; 6120) = 2²*3*5*17 = 1020

3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:
5100/6120 = 5/6.

Érettségi feladatok

A 2012. május 8-i matematika érettségi
- feladatai és
- javítási útmutatója.

Háromszögek szögeinek kiszámítása

A koszinusztétel és a szinusztétel segítségével számolhatjuk ki egy háromszög szögeit, ha ismerjük az oldalait. Nézzük ezt meg egy feladaton keresztül!

Egy háromszög oldalai a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Mekkorák a szögei?

1.)
A leghosszabb oldalra írjuk fel a koszinusztételt:

20² = 12² + 15² - 2*12*15*cos(gamma)

400 = 144 + 225 - 360*cos(gamma)

400 = 369 - 360*cos(gamma)

31 = -360*cos(gamma)

-0,0861 = cos(gamma)

94,94° = gamma

2.)
Innen pedig a szinusztétel segítségével kiszámolunk egy másik szöget:

sin(alfa) / sin94,94° = 12 / 20

sin(alfa) = sin94,94°*12 / 20

sin(alfa) = 0,5978

alfa = 36,71°

Még egy szög van 0° és 180° között, amelynek a szinusza ugyanennyi (143,29°), de ez most nem lehet megoldás a háromszög alfa szögére, mert a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög. Mivel 12 < 20 ezért alfa < 94,94°.

3.)
A harmadik szöget kivonással (is) számolhatjuk:

béta = 180° - 94,94° - 36,71°
béta = 48,35°

Koszinusztétel

A koszinusztétel levezetéséről, alkalmazásáról készített pdf dokumentum letölthető a következő linkről:

Kattints ide a dokumentumért!