Függvények - alapfogalmak

Ha elmegyünk egy boltba vásárolni, akkor minden termék árcéduláján megtaláljuk az egységárukat. Egy iskolában a tanulóknak mindig van osztályfőnöke. Minden országnak egyértelműen ismerjük a fővárosát. A folyóknak a hosszát, a hegyeknek a magasságát ismerjük.

Sok-sok példát találhatunk még a hétköznapokban olyan rendszerre, amikor két halmaz elemi között létesítünk kapcsolatot egy szabállyal:

1.)
A = {kenyér, tej, csoki}
B = {természetes számok}
szabály: termékhez hozzárendeljük az egységárát
Példa: kenyér --> 300

2.)
A = {Anna, Béla, Csaba}
B = {Juliska néni}
szabály: tanulóhoz hozzárendeljük az osztályfőnökét
Példa: Béla --> Juliska néni

3.)
A = {Magyarország; Ausztria, Szlovákia, Németország}
B = {Budapest, Bécs, Pozsony, Párizs}
szabály: országhoz a fővárosát rendeljük
Példa: Ausztria --> Bécs

Az első halmazt alaphalmaznak nevezzük, a másodikat képhalmaznak.

Ha az alaphalmaz bármely elemének legfeljebb egy képe van a képhalmazban, akkor a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A második és harmadik példa függvény.

Nem függvény a hozzárendelés például akkor, ha minden pozitív egész számhoz az osztóit rendeljük.

Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elemnek van képe a képhalmazban a függvény értelmezési tartományának nevezzük. A harmadik példában az értelmezési tartomány {Magyarország, Ausztria; Szlovákia} halmaz.

A képhalmaznak azt a részhalmazát, amelyben minden elem képe valamely alaphalmazbeli elemnek a függvény értékkészletének nevezzük. A harmadik példában az értékkészlet a {Budapest, Bécs, Pozsony} halmaz.

Nézzünk egy olyan függvényt, ahol az alaphalmaz is és a képhalmaz is számhalmaz, a szabály pedig műveletekből áll: minden valós számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot. Példák:
4 --> 5
-9 --> -21
0,75 --> -1,5
√2 --> 2√2 - 3
x --> 2x - 3

Az utolsó sor már képlettel adja meg a szabályt, az x az alaphalmaz egy tetszőleges elemét jelöli:
x ϵ R (x eleme a valós számok halmazának).

A függvényeknek nevet adunk, a magyar ábécé kisbetűivel jelöljük őket. Például az előbbi függvény neve legyen f. Az előbbi példák így is leírhatók:
f(4) = 5
f(-9) = -21
f(0,75) = -1,5
f(√2) = 2√2 - 3
f(x) = 2x - 3
A függvény neve után zárójelben az alaphalmaz elemét írjuk; az egyenlőségjel után pedig a képhalmaznak azt az elemét, amelyet a szabály alapján hozzárendelünk. A képhalmaznak ezeket az elemeit szokás függvényértéknek nevezni.

A függvényeket nagyon szemléletessé teszi, ha ábrázoljuk őket. Az ábrázolás szabályai: a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes számegyenese (az x-tengely) az alaphalmaz elemeit tartalmazza; a függőleges számegyenes (az y-tengely) a képhalmaz elemeit tartalmazza. Más szavakkal: az ábrázolandó pont első koordinátája az alaphalmaz eleme, a második koordinátája pedig a szabály alapján hozzárendelt függvényérték. Így az f függvényünk grafikonja: