Mértani sorozat

Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:

2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.

1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.

1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.

A hányados neve kvóciens, jele q.

Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a₁-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:

a₂ = a₁*q
a₃ = a₁*q²
a₄ = a₁*q³
...
a_n = a₁*q^n-1

Mértani sorozat első n elemének összege:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*S_n = a₂ + a₃ + ... + a_n+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*S_n - S_n = a_n+1 - a₁
Behelyettesítjük a_n+1 = a₁*qⁿ -t.

q*S_n - S_n = a₁*qⁿ - a₁
S_n*(q - 1) = a₁*(qⁿ - 1)

S_n = a₁*(qⁿ - 1)/(q - 1)

Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?

A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2⁶³

Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S₆₄ = ?
------
a₆₄ = a₁*q^64-1
a₆₄ = 1*2^64-1
a₆₄ = 2⁶³

S₆₄ = 1*(2⁶⁴ - 1)/(2 - 1)
S₆₄ = 2⁶⁴ - 1

Ez körülbelül 1,84*10¹⁹ darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*10¹⁸ gramm = 1,153*10¹² tonna