Műveletek hatványokkal 2.

A hatványokkal végzett műveletek közül hátra van még a szorzat hatványozása, a hányados (tört) hatványozása, és hatvány hatványozása.

Példa:
Egy négyzet oldala 3*a hosszúságegység. Adjuk meg a négyzet területét!

T = (3*a)² = 3*a*3*a = 3*3*a*a = 3²*a² (9a²) területegység.

Ebből a megfigyelendő: (3*a)² = 3²*a²
Tehát szorzatot lehet tényezőnként hatványozni.

Példa:
Egy kocka élei 10/3 méter hosszúak. Mennyi a kocka térfogata?

V = (10/3)³ = (10/3)*(10/3)*(10/3) = 10*10*10/(3*3*3) = 10³/3³ m³

Ebből a megfigyelendő: (10/3)³ = 10³/3³.
Tehát törtet úgy hatványozunk, hogy hatványozzuk külön a számláló és külön a nevezőt.

Példa:
Bontsuk fel a zárójelet: (5⁴)³

(5⁴)³ = 5⁴*5⁴*5⁴ = 5^4*3 = 5¹²

Tehát hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk.

S végezetül egy rejtvény, a megoldásokat a hozzászólásokban írjátok meg:

Műveletek hatványokkal

Az előző bejegyzésben megnéztük, hogy mit értünk a hatványozás művelete alatt, ha a kitevő természetes szám. Most műveleteket végzünk ezekkel a hatványokkal.

Példa:
A legenda szerint a sakk feltalálója a következő jutalmat kérte az uralkodótól játékáért: a tábla első mezőjéért 1 búzaszemet kért. A második mezőért 2 búzaszemet, a harmadik mezőért 4 búzaszemet, a negyedikért 8 búzaszemet, és így tovább. Minden mezőért kétszer annyi búzaszemet kért, mint amennyi a megelőző mezőn volt. Hány búzaszemet kért a 64. mezőért?

1. mező = 1 /szorozva 2-vel
2. mező = 2 /szorozva 2-vel
3. mező = 2*2 = 2² /szorozva 2-vel
4. mező = 2²*2 = 2*2*2 = 2³ = 2²⁺¹ /szorozva 2-vel
5. mező = 2³*2 =2*2*2*2 = 2⁴ = 2³⁺¹ /szorozva 2-vel
6. mező = 2⁴*2 = 2*2*2*2*2 = 2⁵ = 2⁴⁺¹

és így tovább. Akárhanyadik mezőt is számoljuk ki, a 2 kitevője eggyel kisebb a mező számánál. Így az utolsó mezőért 2⁶³ darab búzaszemet kellene adnia az uralkodónak.

Ebben a feladatban azt is megtanultuk, hogy azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevők összeadódnak.
Még egy példa:

3⁴*3⁵ = 3*3*3*3*3*3*3*3*3 = 3⁹ = 3⁴⁺⁵

Azonos alapú hatványok osztásához törtek egyszerűsítésére lesz szükségünk. Ismétlés: törtet egyszerűsíthetünk a számláló és a nevező közös osztóival. (Ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót is és a nevezőt is.)

3⁷/3⁴ =
3*3*3*3*3*3*3 / (3*3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3*3 / (3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3 / (3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3 / 3 = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3 =
3³.

Négyszer tudtunk a hatványalappal egyszerűsíteni, mert 4 darab hármas szorzótényezőnk volt a nevezőben. A fenti sorozat egyszerűbben:

3⁷/3⁴ = 3^7-4 = 3³

Tehát: azonos alapú hatványok osztásakor úgy adhatjuk meg egyszerűen a hatványértéket, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét. (Pillanatnyilag ott tartunk, hogy a számláló kitevője nagyobb a nevező kitevőjénél.)

Hatvány hatványozásáról a következő bejegyzésben lesz szó.