Nem csak fokban adhatjuk meg a szögek nagyságát. A szöghöz, mint középponti szöghöz tartozó ív hosszával is jellemezhetjük a szögeket és összehasonlíthatjuk egymással őket.
Nézzük meg, hogy az 1 egység sugarú kör 1 egység hosszú ívéhez hány fokos középponti szög tartozik!
A teljes kör középponti szöge 360°. Az ehhez tartozó ívhossz a kör kerülete:
360° --> 2*1*3,14
360° --> 6,28
Az a kérdés, hogy hány fokhoz tartozik 1?
ß --> 1
--------------
ß = 360/6,28
ß = 57,3°
1 radiánnak nevezzük annak a középponti szögnek az ívmértékét, amelyhez az 1 sugarú körben 1 hosszú ív tartozik.
Az előző példa alapján 1 radián körülbelül 57,3°.
Számold ki, hogy a 3 egység sugarú körben a 3 egység hosszú ívhez hány fokos középponti szög tartozik!
Majd utána nézd meg a következő animációt, ahol egy 6 egység sugarú kör különböző ívhosszait láthatod - attól függően, hogy mekkora középponti szöget állítasz be. A pirossal jelölt D pontot megfoghatod az egérrel, s mozgathatod a köríven:
http://www.squarecirclez.com/blog/radians-an-introduction/4661
2011. augusztus 9., kedd
2011. augusztus 1., hétfő
Szögek kiszámítása
A távolságok kiszámítása mellett a szögek meghatározása a szögfüggvények másik alkalmazási területe. Például: határozzuk meg a 3; 4, 5 egység oldalú derékszögű háromszög hegyesszögeit!
A 3 egység hosszú oldallal szemközti szöget jelöljük x-szel. Ekkor
sinx = 3/5
sinx = 0,6
A számológéptől most a szinusz fordított műveletét kell megkérdezni: melyik az a hegyesszög, amelynek a szinusza 0,6. Ennek a műveletnek a neve arkuszszinusz (arcsin0,6), de nem így jelölik a számológépeken. Hanem sin-1 - nel.
x ~ 36,87°
Számolhattuk volna tangenssel is ezt a szöget:
tgx = 3/4
tgx = 0,75
Megnézzük melyik hegyesszög tangense 0,75, azaz arctg0,75 értékét (számológépen tg-10,75).
x ~ 36,87°
A másik hegyesszög kiszámítására már több lehetőség is van, például 90°-ból kivonjuk az ismert hegyesszöget:
90°-36,87°= 53,13°.
A 3 egység hosszú oldallal szemközti szöget jelöljük x-szel. Ekkor
sinx = 3/5
sinx = 0,6
A számológéptől most a szinusz fordított műveletét kell megkérdezni: melyik az a hegyesszög, amelynek a szinusza 0,6. Ennek a műveletnek a neve arkuszszinusz (arcsin0,6), de nem így jelölik a számológépeken. Hanem sin-1 - nel.
x ~ 36,87°
Számolhattuk volna tangenssel is ezt a szöget:
tgx = 3/4
tgx = 0,75
Megnézzük melyik hegyesszög tangense 0,75, azaz arctg0,75 értékét (számológépen tg-10,75).
x ~ 36,87°
A másik hegyesszög kiszámítására már több lehetőség is van, például 90°-ból kivonjuk az ismert hegyesszöget:
90°-36,87°= 53,13°.
2011. július 24., vasárnap
Távolságok kiszámítása
Az előző bejegyzésben tárgyalt szögfüggvények egyik alkalmazásáról lesz most szó: szakaszok hosszának kiszámítása.
Példa: egy derékszögű háromszög átfogója 8cm, egyik hegyesszöge 23°. Mekkorák a befogók?
Derékszögű háromszögben oldalak és szögek közötti összefüggéseket a szögfüggvények írnak le. 'a'-val jelölöm a 23°-os szöggel szemközti befogót:
sin23°= a/8
Számológéppel megnézzük sin23° értékét:
0,3907 = a/8
Szorzunk a nevezővel:
3,126 = a.
A másik befogót, a 23° melletti befogót, innentől már többféleképpen is kiszámíthatjuk: koszinusszal, kotangenssel, Pitagorász-tétellel:
cos23°= b/10
ctg23°= b/3,126
82 = 3,1262 + b2
Vannak olyan számológépek, amelyeken nincs ctg billentyű. Ha valaki mindenáron kotangenssel akar számolni, akkor egy összefüggést kell előbb észrevennie a tg és a ctg között. Ha visszapörgettek az előző bejegyzéshez, akkor észrevehető, hogy a tgalfa és ctgalfa egymás reciprokai (a/b illetve b/a).
Ezért ctg23°-ot úgy tudjuk meghatározni, hogy előbb megnézzük tg23° értékét (számológépen tan23), majd ennek vesszük a reciprokát. A reciprok kiszámításához használjátok az 1/x billentyűt!
Még egy dolog, amire figyelni kell a számológépeken: a 'MODE' beállítása. Amikor a szögek mértékegysége fok, akkor 'DEG' legyen a beállítás. Van lehetőség arra, hogy a szögeket radiánban adjuk meg, s így számoljunk a szögfüggvényeikkel. Ilyenkor 'RAD' legyen a beállítás.
Visszatérve a példához:
cos23°= b/8
0,9205 = b/8
7,364 = b.
Tehát a derékszögű háromszög befogói 3,125cm és 7,364cm.
Példa: egy derékszögű háromszög átfogója 8cm, egyik hegyesszöge 23°. Mekkorák a befogók?
Derékszögű háromszögben oldalak és szögek közötti összefüggéseket a szögfüggvények írnak le. 'a'-val jelölöm a 23°-os szöggel szemközti befogót:
sin23°= a/8
Számológéppel megnézzük sin23° értékét:
0,3907 = a/8
Szorzunk a nevezővel:
3,126 = a.
A másik befogót, a 23° melletti befogót, innentől már többféleképpen is kiszámíthatjuk: koszinusszal, kotangenssel, Pitagorász-tétellel:
cos23°= b/10
ctg23°= b/3,126
82 = 3,1262 + b2
Vannak olyan számológépek, amelyeken nincs ctg billentyű. Ha valaki mindenáron kotangenssel akar számolni, akkor egy összefüggést kell előbb észrevennie a tg és a ctg között. Ha visszapörgettek az előző bejegyzéshez, akkor észrevehető, hogy a tgalfa és ctgalfa egymás reciprokai (a/b illetve b/a).
Ezért ctg23°-ot úgy tudjuk meghatározni, hogy előbb megnézzük tg23° értékét (számológépen tan23), majd ennek vesszük a reciprokát. A reciprok kiszámításához használjátok az 1/x billentyűt!
Még egy dolog, amire figyelni kell a számológépeken: a 'MODE' beállítása. Amikor a szögek mértékegysége fok, akkor 'DEG' legyen a beállítás. Van lehetőség arra, hogy a szögeket radiánban adjuk meg, s így számoljunk a szögfüggvényeikkel. Ilyenkor 'RAD' legyen a beállítás.
Visszatérve a példához:
cos23°= b/8
0,9205 = b/8
7,364 = b.
Tehát a derékszögű háromszög befogói 3,125cm és 7,364cm.
2011. július 17., vasárnap
Hegyesszögek szögfüggvényei
Hasonló derékszögű háromszögeket fogunk most megvizsgálni.
Ez a két derékszögű háromszög hasonló, mert szögeik egyenlők (90°és alfa). Így oldalaik aránya állandó:
3/5 = 0,6
x/10 = 0,6
Ha ezt a háromszöget tovább nagyítanánk - nem csak kétszeresre, mint az ábrán, hanem háromszorosra, négyszeresre, vagy kicsinyítenénk felére, harmadára, stb. - ez az arány akkor sem változik, továbbra is 0,6 marad.
Az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,6.
Nagyításkor, kicsinyítéskor a szögek nem változnak, csak az oldalak hossza. Ezek a hosszúságok azonban ugyanannyiszorosra változnak, így arányuk állandó marad.
Ha azonban megváltoztatnánk az alfa szöget, egyből megváltozna a befogó és az átfogó aránya is.
Derékszögű háromszögben az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya csak az alfa szögtől függ, ezt az arányt nevezzük szinusz alfának. A fenti ábrán szinusz alfa = 0,6.
Mekkora ez az alfa szög? Táblázatból nézhetjük meg (vagy számológép segítségével), hogy alfa körülbelül 37°-os szög. (Ha szerkesztünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója 3 egység, átfogója 5 egység, s megmérjük az alfát, körülbelül 37°-ot olvashatunk le a szögmérőről.)
Már az ókori görög matematikusok foglakoztak ilyen problémákkal: táblázatba foglalták egy kör középponti szögeit és a hozzájuk tartozó húrok hosszát. Az első ilyen szinusztáblázatot Hipparkhosz készítette.
Derékszögű háromszögben az alfa hegyesszög szögfüggvényei:
szinusz alfa = szöggel szemközti befogó / átfogó
koszinusz alfa = szög melletti befogó / átfogó
tangens alfa = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó
kotangens alfa = szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó.
Ez a két derékszögű háromszög hasonló, mert szögeik egyenlők (90°és alfa). Így oldalaik aránya állandó:
3/5 = 0,6
x/10 = 0,6
Ha ezt a háromszöget tovább nagyítanánk - nem csak kétszeresre, mint az ábrán, hanem háromszorosra, négyszeresre, vagy kicsinyítenénk felére, harmadára, stb. - ez az arány akkor sem változik, továbbra is 0,6 marad.
Az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,6.
Nagyításkor, kicsinyítéskor a szögek nem változnak, csak az oldalak hossza. Ezek a hosszúságok azonban ugyanannyiszorosra változnak, így arányuk állandó marad.
Ha azonban megváltoztatnánk az alfa szöget, egyből megváltozna a befogó és az átfogó aránya is.
Derékszögű háromszögben az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya csak az alfa szögtől függ, ezt az arányt nevezzük szinusz alfának. A fenti ábrán szinusz alfa = 0,6.
Mekkora ez az alfa szög? Táblázatból nézhetjük meg (vagy számológép segítségével), hogy alfa körülbelül 37°-os szög. (Ha szerkesztünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója 3 egység, átfogója 5 egység, s megmérjük az alfát, körülbelül 37°-ot olvashatunk le a szögmérőről.)
Már az ókori görög matematikusok foglakoztak ilyen problémákkal: táblázatba foglalták egy kör középponti szögeit és a hozzájuk tartozó húrok hosszát. Az első ilyen szinusztáblázatot Hipparkhosz készítette.
Derékszögű háromszögben az alfa hegyesszög szögfüggvényei:
szinusz alfa = szöggel szemközti befogó / átfogó
koszinusz alfa = szög melletti befogó / átfogó
tangens alfa = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó
kotangens alfa = szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó.
2011. április 22., péntek
Koordináta geometria bevezető
Készítettem egy videót a koordináta geometria bevezető anyagairól: merőleges vektorok, felezőpont, súlypont. Ezt most a Matek Otthon új Facebook oldalára töltöttel fel, ide kattintva érheted el.
Úgy gondolom, hogy a Facebookon egyszerűbbé válik a "beszélgetés" egymással.
Lájkolj! Szólj hozzá! Kérdezz! Válaszolj a többiek kérdésére!
Már feltöltöttem a YouTube-ra is:
Úgy gondolom, hogy a Facebookon egyszerűbbé válik a "beszélgetés" egymással.
Lájkolj! Szólj hozzá! Kérdezz! Válaszolj a többiek kérdésére!
Már feltöltöttem a YouTube-ra is:
Feliratkozás:
Bejegyzések (Atom)