Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:
2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.
1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.
1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.
A hányados neve kvóciens, jele q.
Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a1-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:
a2 = a1*q
a3 = a1*q2
a4 = a1*q3
...
an = a1*qn-1
Mértani sorozat első n elemének összege:
Sn = a1 + a2 + ... + an
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*Sn = a2 + a3 + ... + an+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*Sn - Sn = an+1 - a1
Behelyettesítjük an+1 = a1*qn -t.
q*Sn - Sn = a1*qn - a1
Sn*(q - 1) = a1*(qn - 1)
Sn = a1*(qn - 1)/(q - 1)
Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?
A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263
Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S64 = ?
------
a64 = a1*q64-1
a64 = 1*264-1
a64 = 263
S64 = 1*(264 - 1)/(2 - 1)
S64 = 264 - 1
Ez körülbelül 1,84*1019 darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*1018 gramm = 1,153*1012 tonna
Köszönöm a segítséget! ^o^
VálaszTörlésKöszönöm a segítséget. 2 hetet hiányoztam a suliból pont a számtani és mértani sorozatoknál, és te iszonyat egyszerűen és könnyen érthetően leírtad a képleteket kiemelve. Sokat segítettél, köszi még1x :)
VálaszTörlésAnnyira köszönöm!!!!!!!, a matek tanár arra nem képes, h felírja a táblára "mert ő olyan fáradt" de hogy mibe fárad el, mikor napi 5-6 órája van, és ő nem felel mindennap meg nem is ír...tiszta szégyen, h egyesek semmit nem tesznek, csak felveszik a fizetést, ha rajta múlna az érettségin sorra buknánk pff
VálaszTörlésKöszi!:)Én is innen lesem az anyagot mivel egyesek azt hiszik, hogy szívességet tesznek a tanárnak, ha befogják a szájukat. 30 akárhány fős osztályban ha nincs csend nem lehet tanítani, de hihetetlen, hogy ma holnap felnőtt emberek nem fogják be a szájukat mikor az érettségit nekünk kell megírni.Köszönöm a segítséget:)
VálaszTörlésezek szerint csak én vagyok olyan mocskosul értetlen, hogy sehogy se tudom megérteni ezt a *************-t... :)
VálaszTörlésNem vagy egyedül
TörlésÉn is köszönöm!!! :))
VálaszTörlésMennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40?
VálaszTörlésNem igazán értem.
q=?
a3=5
a6=40
De én csupán az a3 felhasználásával csináltam egy egyenletet. Minek az a6? mondjuk azzal az egyenlettel nem jutottam semmire. Valaki kérem segítsen!
Kitty voltam. Köszönöm!
Szia Kitty!
Törlés5 = a1×q^2
40 = a1×q^5
--------------
A második egyenletet elosztjuk az elsővel:
8 = q^3
Köbgyökvonás:
2 = q
egy mértani sorozat harmadik és negyedik tagjának összege 80 ötödik és harmadik tagjának külömbsége 240. határozza meg a sorozat első tagját és hányadosát
VálaszTörlésEz már egy jó régi kérdés, de megoldom, hátha valki hasznát veszi... :)
Törlésa3 + a4 = 80
a5 - a3 = 240
a1 ?
q ?
a1q^2 + a1q^3 = 80
a1q^4 - a1q^2 = 240 / mindkét egyenletből kiemeljük az a1q^2-et.
a1q^2 * (1 + q) = 80
a1q^2 * (q^2 - 1) = 240 elosztjuk a második egyenletet az elsővel
marad a q -1 = 3
q = 4
q-t behelyetesítjük az első egyenletbe és megkapjuk a sorozat első tagját.
a1 * 4q^2 * (1 + 4) = 80; a1 * 16 * 5 = 80; a1 * 80 = 80; a1 = 80/80 = 1
a1 = 1
a3 = 16; a4 = 64; a5 = 256
16 + 64 = 80; 256 - 16 = 240
Hasonló a feladat, mégsem sikerült megbirkózni vele, pedig már 4 különböző megközelítést is kipróbáltam. Nagyon hálás lennék egy kis segítségért, mert nem tudom mit nem veszek észre!
TörlésEgy mértani sorozatban:
a5 + a2 = 23
a7 + a4 = 575
a1=? q=?
Első egyenlet:
Törlésa1×q⁴ + a1×q = 23
a1×q×(q³ + 1) = 23
Második egyenlet:
a1×q⁶ + a1×q³ = 575
a1×q³×(q³ + 1) = 575
Második egyenletet osztjuk az elsővel, s az egyszerűsítések után:
q² = 25
|q| = 5
q1 = 5
q2 = -5
Mindkét q esetében ki kell számolni az a1-eket: visszahelyettesítés az első egyenletbe.
A megoldások:
I. q = 5 esetén a1 = 23/630
II. q = -5 esetén a1 = 23/620
Ellenőrzés: visszehelyettesítések a második egyenletbe (mindkét megoldás jó, a helyettesítési érték 575 lesz).
Tényleg nagyon jó ez az oldal ..már vagy 3 órája törtem magam azon hogy vajon hogy is kell kiszámolni a q-t majd felléptem az oldalra és 2 percen belül megtudtam :)) köszönöm !!
VálaszTörlésnekem kéne segítség de gyorsan! holnap írok matekból és ezen múlik hogy átmegyek e! kérlek titeket hogy segítsetek! ezt kéne megoldani!
VálaszTörléselem: 5
hányados: 3
mi lesz az ötödik eleme?
én tudom csak nem tudom hogy számoljam ki! köszönöm előre is!
Szia!
TörlésGondolom a mértani sorozat első eleme 5:
a1 = 5
Második elem: a2 = 5*3 = 15
Harmadik elem: a3 = 15*3 = 45
Negyedik elem: a4 = 45*3 = 135
Ötödik elem: a5 = 135*3 = 405.
(Rövidebben: a5 = 5*3*3*3*3 = a1*q^4)
sziasztok!kèrlek segitsetek.. a hànyadost ugy kell kiszàmolni (törtrèszekkel) hogy az elsö szàmot leirom vàltozatlanul ès a màsik szàmnak a reciprokàt irom leirom ..na de közös nevezõre hozzam vagy nem?hogyan csinàljam?SÜRGÕS!!Köszi, Viki voltam
VálaszTörlésSzia Viki!
TörlésArra gondolsz, hogy hogyan kell törttel osztani?
Egyrészt: van bejegyzés törttel való osztásra itt a blogon. Nézd meg!
Másrészt röviden: törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk. Közös nevezőre hozás nem kell (csak összeadásnál, kivonásnál kell közös nevezőre hozni).
Példa:
A : (x/y) = A * (y/x)
Bármi lehet az osztandó, az A, mindig így írjuk át szorzásra az osztásokat. (x nem lehet 0, y nem lehet 0).
sziasztok !!!Lenne egy kérdésem ! Amikor megvan adva egy szám és azt kérdezik hogy hanyadik tagja a sorozatnak azaz az "n"-t kérdezik azt hogyan kell kiszámolni??
VálaszTörlésEddig eljutottam: an=a1*q^n-1/a1
an/a1= q^n-1
És itt elakadtam.Hogyan tudnám folytatni??
Előre is köszönöm!!
Szia! be kell helyettesíteni an-et, a1-et és q-t.
TörlésAz ismeretlen kitevőt logaritmussal tudod kifejezni:
n-1 = q alapú logaritmus an/a1
(q>0, q nem 1, an/a1 > 0)
bgyula
TörlésSajnos nekem még így sem egyértelmű. Segítene kérem? Hogyan tovább? Pl ha a1= 850 és q=1,007 és an=1500
1500 = 850*1,007^(n-1)
Törlésosztunk 850-nel
1,7647 = 1,007^(n-1)
n-1 = 1,007 alapú logaritmus 1,7647
n-1 = 81,42
n = 82,42
Tehát az 1500 nem eleme ennek a sorozatnak (n-re nem egész számot kaptunk)
Sziasztok ! Egy kis segítségre lenne szükségem, ha lehetséges.
VálaszTörlésA 9 + 9^2 + 9^3 + ... +9^2011 összeg utolsó számjegye érdekelne.
Elöre is köszönöm.
9-re.
Törlésne haragudj de ha lehetséges akkor kissé bövebben ,hisz igy bármilyen számot mondhatsz ugy sem értem.....
TörlésSzia Névtelen! 9 páratlan kitevőjű hatványai 9-re végződnek; páros kitevőjű hatványai 1-re végződnek (9, 81, 729, 6561, ...). Így az első és második tag összege 0-ra végződik, a harmadik és negyedik tag összege 0-ra végződik, és így tovább. 9^2010-ig az összeg 0-ra végződik. 9^2011 pedig 9-re végződik.
TörlésÍgy már minden világos, köszi szépen a segítséget :)
VálaszTörlésKedves Ildikó! Lenne egy kérdésem: hogyan kell ezt a feladatot megoldani?
VálaszTörlésb=1-1/2+1/2^2-1/2^3+...-1/2^9+1/2^10
Szia!
Törlés1 - 1/2 = 1/2
1/4 - 1/8 = 1/8
1/16 - 1/32 = 1/32
stb.
vagyis a feladat:
1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + 1/512 + 1/1024.
Az első öt szám egy mértani sorozatot alkot (a1 = 1/2; q = 1/4; n = 5); az összegképlettel is összeadhatod őket. Az eredményhez majd 1/1024-et hozzáadsz.
De már ez a hat szám nem olyan sok, akár közös nevezőre hozással is összeadhatod őket.
Nagyon szépen köszönöm!
TörlésSzia Ildikó! Segitenél nekem, hogy kell azt a feledatot megoldani? : "Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, a hatodik pedig 40?
VálaszTörlés5*q^3 = 40
Törlésq^3 = 8
harmadikgyököt vonunk
q = 2
Kedves Ildikó!
VálaszTörlésMár kaprunk tőled segítséget, de most térgeometriában akadtunk el.
5 cm élű kockánk van, melynek az alábbi adatait kellene kiszámolni:
- HD és FG szöge és távolsága
-HD és ABCD szöge
-E és BCFG távolsága
- F és ABCD távolsága
- A és HDBF távolsága
- F és ADHE távolsága
Szia Petra! A kocka csúcsainak betűzése: alaplap: A, B, C, D. Fedőlap: E, F, G, H, úgy, hogy A "fölött" van E; B "fölött" van F, C fölött van G, és D fölött van H.
TörlésHD és FG szöge = 90° (HD és FG kitérő egyenesek, távolságuk HG)
HD és ABCD szöge = 90° (HD él merőleges az alaplapra)
E és BCFG távolsága = 5 cm
F és ABCD távoldága = 5 cm
A és HDBF távolsága Pitagorasz-tétellel (csúcs és átlósík távolsága = az alap négyzetlap átlójának fele)
x^2 + x^2 = 5^2
2·x^2 = 25
x^2 = 12,5
x = ·√12,5
F és ADHE távolsága = 5 cm (csúcs és lap távolsága = FE él)
Kedves Ildikó,ennek a feladatnak a megoldása érdekelne.Válaszát előre is köszönöm!
VálaszTörlésEgy mértani sorozat harmadik eleme 6, a hetedik eleme 54. Határozza meg az elsı 10 elem
összegét!
Szia Márk!
Törlésa3 = 6
a7 = 54
-----------
6·q^4 = 54
q^4 = 9
|q| = √3
q1 = √3
q2 = -√3
a1 = 6:q^2
a1 = 2
I.
S10 = 2·(√3^10 - 1)/(√3 -1) ~ 663
II.
S10 = 2·((-√3)^10 - 1)/(-√3 - 1) ~ -177,29
Nagyon szépen köszönöm,nekem is hasonló eredmény jött ki, csak zavart , hogy nem egész szám ezért bizonytalanodtam el.Viszont lenne még egy feladatom amivel elindulni se nagyon tudtam,örök hálám ha útmutatást ad nekem!:)
TörlésEgy erdő faállománya 3500 m3. A mindenkori állomány évenként 3%-kal gyarapszik, és
kétévenként a meglevı állomány 2%-át kivágják. Mennyi fa lesz az erdıben 20 év múlva?
Szia Márk!
TörlésGyarapodás: 1,03^20
Csökkenés: 0,98^10
3500·1,03^20·0,98^10 ~ 5165 (m^3)
Nagyon szépen köszönöm a segítséget!Életet mentett! :)
TörlésKöszönöm szépen!!! Nagyon sokat segített ez az oldal :) !!!
VálaszTörlésa q az mindig 2?
VálaszTörlésNem. A bejegyzés elején van példa q = 1/10 -re és q = - 3 .ra is.
Törléshali segítseg kellen
VálaszTörléski találta fel a számtani sorozatokat ?
Kedves Ildikó! Segítene a megoldásban? Egy mértani sorozat első tagja 3,n-edik tagja 729, első n tag összege 1092. Melyik ez a sorozat?
VálaszTörlésKöszönöm! Edit
Kedves Edit!
Törlésan = a1*q^(n-1) képletbe helyettesítünk először:
729 = 3*q^(n-1)
243 = q^(n-1)
mindkét oldalt szorozzuk q-val:
243q = q^n
Aztán az összegképletbe helyettesítünk:
Sn = a1*((q^n - 1)/(q - 1)
1092 = 3*(243q - 1)/(q - 1)
364 = (243q - 1)/(q - 1)
364(q - 1) = 243q - 1
364q - 364 = 243q - 1
121q = 363
q = 3
A sorozat:
3; 9; 27; 81; 243; 729.
Kedves Ildikó! A köv.feladatnál elakadtunk. Egy mértani sorozat második tagja 3 , hatodik tagja 12. Mennyi az első tíz tagjának összege? Addig eljutottunk, hogy 4 egyenlő q a negyedikennel. De innen hogyan kell a q-t kiszámolni?
VálaszTörlésNegyedik gyököt kell vonni 4-ből.
Törlésq-ra két megoldás lesz:
q1 = negyedik gyök 4
q2 = - negyedik gyök 4
Úgy hogy S10 számításánál a nevezőben figyelni kell az előjelre.
Kedves Ildikó! Köszönöm a gyors választ, de lenne egy kérésem. Levezetné nekem innen, hogyan kell az a1-et, és utána az S10-et kiszámolni? Az autista fiamnak próbálnám elmagyarázni, mert utána, ha begyakorolja az ilyen típusú feladatokat, akkor menni fog neki.én egy anyuka vagyok, csak a nagyfiam volt ide bejelentkezve, ezért az ő neve alatt kérdeztem .
VálaszTörlésEzt a megjegyzést eltávolította a szerző.
TörlésÜdvözlöm!
Törlésa1 = a2/q
negyedik gyök 4 = második gyök 2 = √2
I. esetben
a1 = 3/√2
S10 = a1(q^10 - 1)/(q - 1)
S10 = 3/√2•((√2)^10 - 1)/(√2 - 1))
Számológéppel kiszámolva:
S10 ~ 158,757
II. eset
a1 = - 3/√2
S10 = -3/√2•((-√2)^10 - 1)/(-√2 - 1))
S10 ~ 27,24
Nagyon köszönöm, ez nekem-nekünk nagy segítség!
VálaszTörlésEgy kis segítségre lenne nekem is szükségem.
VálaszTörlésSzámtani, mértani sorozat vegyes feladat.
3 tagú számtani sorozat elemeinek összege S=84
3 tagú mértani sorozat tagjainak összege S=91
a(sz)= számtani sorozat tagjai
a(m)= mértani sorozat tagjai
a1(sz)=a1(m)
a2(sz)+1=a2(m)
a2(sz)+6=a3(m)
Kérdések: q; d és a tagok.
Előre is köszönöm.
Szia András! A számtani sorozatban:
Törlésa1 + a2 + a3 = 84
a1 + a1+d + a1 + 2d = 84
3a1 + 3d = 84
a1 + d = 29
d = 28 - a1
A mértani sorozatban:
b1 + b2 + b3 = 91
a1 + a2 + 1 + a2 + 6 = 91
a1 + a1+d+1 + a1+d+6 = 91
3a1 + 2d + 7 = 91
3a1 + 2d = 84
Ebbe behelyettesítjük d-re kapott kifejezést:
3a1 +2(28-a1) = 84
3a1 + 56 - 2a1 = 84
a1 + 56 = 84
a1 = 28
Így d=0
A számtani sorozat: 28, 28, 28
A mértani:
28, 29, 34. Ez viszont nem mértani sorozat, így nincs megoldása a feladatnak.
Kedves Ildikó!
TörlésNagyon köszönöm a gyors választ.
Elnézést, de most vettem észre, hogy rosszul írtam. Helyesen a3(sz)+6=a3(m), azaz a3+6=b3. És itt elakadok, mert a számtaninál és a mértaninál is ezt kapom: a1+d=28.
Szia! A mértani sorozat szomszédos elemeinek a hányadosa állandó:
Törlésb3 / b2 = b2 / b1
(a3 + 6) / (a2 + 1) = (a2 + 1) / a1
- szorzás a nevezőkkel
- a1 = 28 - d behelyettesítése
- összevonások
- 0-ra redukálás után kapjuk a következő egyenletet:
d² + 6d - 111 = 0
(A gyök alatt nem lesz négyzetszám)
d' ~ 7,955 -------> a1' ~ 20,045
d" ~ - 13,955 -----> a1" ~ 41,955
S ezekkel szépen ki is jön a két mértani sorozat is.
Kedves Ildikó!
TörlésKöszönöm a segítséget!
András
Sziasztok,tudna nekem valaki segíteni ebben: Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. A sorozat első n tagjának összege
VálaszTörlés440. Adja meg n értékét?
Szia! Az adatokat helyettesítsd be az
TörlésSn = [2a1 + (n-1)d]*n/2 képletbe.
Így egy egyenletet kapsz s le tudod vezetni n-re.
Helló:) ellenörzőre a tanárunk megadta a következő feladatot: Határozd meg a számtani sorozat első elemét, ha a hetedik tag -2, a kilencedik tag pedig 2.
VálaszTörlésNem értem, 2 dolgot adott meg és hogy számoljam ki?
üdv Adrienn
a7 = -2
Törlésa9 = 2
Látszik, hogy a differencia 2.
a1 = a7 - 6d = -2 - 12 = -14.
Tehát ez a számtani sorozat a következő:
-14, -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2.
Szia Ildikó! A következő mértani sorozat számításában kérném a segítségedet: Egy mértani sorozat negyedik tagja 5, tizennegyedik tagja pedig 5120. Határozza meg a sorozat 6. tagját. Köszönöm a segítségedet!
VálaszTörlésüdv Zoli
Szia Zoli!
Törlésq^10 = 5120/5 = 1024
q^2 = 4
a6 = a4*q^2 = 5*4 = 20
Hogyan kell meg oldani a mértani sorozatok témából a következő feladatot?
VálaszTörlésa3 36-tal nagyobb az a2-nél
a3Xa2=-243
Mennyi az a1 és a q?
1 és 16 közé iktasson hét számot úgy, hogy a megadottakkal együtt egy mértani sorozat szomszédos elemei legyenek
a1+a2+a3=57
a1-a3=15
q1=2/3 q2=-7/8
Mennyi az a1?
1 és 16 közé iktasson hét számot úgy, hogy a megadottakkal együtt egy mértani sorozat szomszédos elemei legyenek
egy mértani sorozat ötödik eleme 10. Mennyi az első kilenc tag szorzata?
Előre is köszönöm szépen :)
Az első kérdésed egy sima kétismeretlenes egyenletrendszer. Az első behelyettesíted a másodikba:
Törlésa3 - 36 = a2
a3 × a2 = - 243
--------------------
a3(a3 - 36) = - 243
Beszorzás után kapsz egy másodfokú egyenletet, megoldóképlettel megoldod.
a1 = 1
a9 = 16 = a1×q^8
Nyolcadik gyököt vonsz, q = ±√2.
Harmadik kérdésed: 10^9.
Szia Ildikó! Szeretnék Tőled egy kis segítséget kérni az alábbi feladat megoldásához.
VálaszTörlésEgy mértani sorozat második tagja 12. Ha a sorozat első tagjához 4-et, a másodikhoz 3-at, a harmadikhoz pedig 1-et adunk, egy számtani sorozat egymást követő elemeit kapjuk. Mennyi a mértani sorozat hányadosa?
Köszönöm: Mónika
Szia Mónika!
TörlésMértani sorozat: 12/q; 12; 12q
Számtani sorozat elemei: 12/q + 4; 15; 12q + 1
Számtani sorozat szomszédos elemeinek különbsége állandó:
(12q + 1) - 15 = 15 - (12/q + 4)
12q - 14 = 11 - 12/q
12q² - 14q = 11q - 12
12q² - 25q + 12 = 0
A másodfokú egyenlet gyökei a mértani sorozat hányadosa(i).
Szia Ildikó! Köszönöm szépen az előző gyors választ. Most ismét egy házi feladat megoldásában kérném a segítségedet. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának összege 126, szorzatuk 13824. Határozzuk meg a sorozat hányadosát. Köszönöm szépen, üdv.: Mónika
TörlésSzia Mónika!
Törlésa1 + a1×q + a1×q² = 126
a1×a1×q×a1×q² = 13824
-----------------------------
a1(1 + q + q²) = 126
a1³×q³ = 13824
---------------------------
A második egyenletből köbgyököt vonunk:
a1×q = 24
Az első egyenletet elosztjuk a másodikkal:
(1 + q + q²)/q = 5,25
Szorzunk q-val, majd 0-ra redukáljuk az egyenletet:
q² - 4,25q + 1 = 0
Megoldóképlettel:
q1 = 4
q2 = 1/4
Köszönöm szépen, további szép estét kívánok! :-)
TörlésÜdv!
VálaszTörlésNem tudom hogyan számoljam ki ezt:
Egy mértani sorozatban az első és a harmadik tag összege 34, a második és negyedik tag összege 136. Határozza meg a sirozat első öt tagját
a1 + a3 = 34
Törlésa2 + a4 = 136
----------------
a1 + a1×q² = 34
a1×q + a1×q³ = 136
-------------------
a1(1 + q²) = 34
a1(q + q³) = 136
-----------------
A két egyenletet elosztjuk és a számlálóban kiemelünk q-t:
q(1 + q²)/(1 + q²) = 136/34
Egyszerűsítés után:
q = 4
Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe:
a1(1 + 4²) = 34
a1 = 2
A sorozat:
2; 8; 32; 128; 512
Szia Ildikó! Ismét segítséget szeretnék kérni Tőled.
VálaszTörlés1. feladat
Egy mértani sorozat 3 egymást követő tagjához rendre 1-et, 14-et és 2-t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Adjuk meg a mértani sorozat 3 egymást követő tagját és a számtani sorozat különbségét!
2. feladat
Egy számtani sorozat 3 egymást követő tagjához rendre 6-ot, 7-et és 12-t adva egy olyan mértani sorozat 3 egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata 13824. Határozzuk meg e sorozat hányadosát.
Nagyon szépen köszönöm előre is, ha el tudnád küldeni. Szia, szép estét!
A számtani sorozat középső tagja 50. (150/3)
TörlésÍgy a mértani sorozat középső tagja 36 (50 - 14).
A mértani sorozat első tagja 36/q, harmadik tagja 36q.
Ezekkel felírva a számtani sorozat összegét:
36/q + 1 + 50 + 36q + 2 = 150.
Ez egy másodfokú egyenlet, megoldóképlettel megoldva:
q1 = 2,25
q2 = 4/9
S ebből már ki tudod számolni a két sorozat elemeit mindkét esetben.
A második kérdésed már biztosan megy önállóan is.
Nagyon szépen köszönöm, szép estét kívánok. :-)
TörlésEgy mértani sorozat első tagja -3, az ötödik tag-48. Adjuk meg a sorozat hányadosát, számítsuk ki a nyolcadik elemét, és az első nyolc tag összegét.
VálaszTörlésKedves Ildikó!
VálaszTörlésSzeretném segítségét kérni ebben a feladatban.
Egy mértani sorozat első tagja 60, hányadosa 1,1.
Az első tagtól kezdve legalább hány egymást követő tagot kell összeadnunk ebben a sorozatban ahhoz, hogy az összege elérje a 6786-ot?
Előre is köszönöm
A mértani sorozat összegképletébe be kell helyettesíteni az adatokat és levezetni n-re az egyenletet:
Törlés60(1,1^n - 1)/(1,1 - 1) = 6786
60(1,1^n - 1)/0,1 = 6786
600(1,1^n - 1) = 6786
1,1^n - 1 = 11,31
1,1^n = 12,31
n = lg12,31/lg1,1 ~ 26,339
Legalább 27 tagot kell összeadni.
Köszönöm a megoldását.
TörlésKedves Ildikó!
VálaszTörlésSzeretném segítségét kérni. Egy mértani sorozat első tagja -3, az ötödik tag-48. Adjuk meg a sorozat hányadosát, számítsuk ki a nyolcadik elemét, és az első nyolc tag összegét.
Köszönöm.
Kedves Kérdező! Be kell helyettesíteni a mértani sorozat n-edik tagjának képletébe!
Törlés-3·q^4 = -48
q^4 = 16
q1 = 2
q2 = -2
I. sorozat
a8 = -3·2^7 = -384
S8 = -3·(2^8 - 1)/(2 - 1) = -771
II. sorozat
a8 = -3·(-2)^7 = 384
S8 = -3·((-2)^8 - 1)/(-2-1) = 257
Kedves Ildikó!
VálaszTörlésSegítségét kérném a következő feladatban:
Egy mértani sorozat második tagja -7, a hányadosa 3. Adjuk meg a sorozat következő tagját: a5.
Köszönöm.
a1 = a2/q = -7/3
Törlésa5 = a1·q^4
Üdv Ildikó!
VálaszTörlésA következő sorozatok közül ki kell választani, hogy melyik számtani és mértani!
an=4-17*n/9
bn=5*2^n-1
cn=12*n-30
dn=n^2-25/n+5
Köszönöm a megoldását!
Üdv!
TörlésAzt tanácsolom, hogy mindegyiknek számold ki az első 4-5 elemét és nézd meg, hogy összeadással vagy szorzással megy-e a szabály.
El meg ez a blog?
VálaszTörlésIgen, kérdezz nyugodtan!
TörlésKedves Ildikó. a segítséged szeretném kérni egy feladathoz. egy mértani sorozat első három tagjának összeges 105. az első és második tag különbsége 15. melyik ez a sorozat ?
VálaszTörléselőre is nagyon köszönöm
a1 + a1∙q + a1∙q² = 105
VálaszTörlésa1 - a1·q = 15
Kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani.
a1(1 + q + q²) = 105
a1(1 - q) = 15
---------------------
a1 = 15 / (1 - q)
Ezt kell behelyettesíteni az első egyenletbe.
Szorzunk a nevezővel, osztunk 15-tel:
1 + q + q² = 7(1 - q)
Másodfokú egyenlet megoldása.
Két megoldást kapsz q-ra (~0,69 és ~ -8,69)
Ennek megfelelően két ilyen sorozat van.
nagyon szépen köszönöm. még lenne egy ami szintén megfogott. egy mértani sorozat első három tagjának összege 49. a negyedik,ötödik, hatodik tag összege 392. határozd meg a mértani sorozat hányadosát, első tagját és az első öt tag összegét. nagyon köszönjük, már vért izzadunk vele
VálaszTörlésa1 + a1·q + a1·q² = 49
Törlésa1·q³ + a1·q⁴ + a1·q⁵ = 392
-------------------------
Szorzattá alakítás:
a1(1 + q + q²) = 49
a1·q³(1 + q + q²) = 392
----------------------
Második egyenletet elosztjuk az első egyenlettel. Lehet egyszerűsíteni a1-gyel és a zárójeles tényezővel.
q³ = 8
q = 2
Visszahelyettesítéssel a1 = 7.
Feladat! Határozzuk meg x-et , ha 5az x-ediken +2 , 5 az X-1 ediken , 3x5 az X- ediken +4 mértani haladványban vannak
VálaszTörlésKedves Ildikó. a segítséged szeretném kérni egy feladathoz. egy mértani sorozat első és negyedik elemének szorzata 48, második és harmadik elemének összege 16. add meg a sorozatot és az első 10 tag összegét!egyszerűen sehogy sem értem a feladatot :( a segítséget előre is megköszönném
VálaszTörléshogyan kell megoldani ezt a mértani feladatot?
VálaszTörlésa4-a2=18
a5-a3=36
Kedves Ismeretlen!
TörlésBe kell helyettesíteni az általános képletbe:
a1·q³ - a1·q = 18
a1·q⁴ - a1·q² = 36
Kiemelések:
a1·q·(q² - 1) = 18
a1·q²(q² - 1) = 36
Azonos szorzótényezőkkel egyszerűsítünk.
1/q = 1/2
q = 2
Egyik egyenletbe visszahelyettesítve:
a1 = 3.
Segítsetek "adj példát egy olyan mértani haladványra melynek az állandó hányadosa (rációja) 7"
VálaszTörlés1; 7; 49; 343; 2401; ...
TörlésKedves Ildikó segítségét szeretném kérni! Egy mértani sorozat második tagja 12. Ha a sorozat első tagjához 4-et, a másodikhoz 3-at, a harmadikhoz pedig 1-et adunk, egy számtani sorozat egymást követő elemeit kapjuk. Melyik ez a sorozat?
VálaszTörlésHa a mértani sorozat második tagja 12, akkor az első tag 12/q, a harmadik tag 12q.
TörlésA számtani sorozat:
a1 = 12/q + 4
a2 = 15
a3 = 12q + 1
Számtani sorozat szomszédos tagjainak különbsége egyenlő:
a3 - a2 = a2 - a1
Behelyettesítve:
12q + 1 - 15 = 15 - (12/q + 4)
Ezt a másodfokú egyenletet kell megoldani.
Kedves Ildikó!Nem tudom él-e még az oldal,de írok.
VálaszTörlésMértani sorozat:a3=3 a9=24 Mennyi az S12,előre is köszönöm,,Noémi
24 = a1·q⁸
Törlés3 = a1·q²
Elosztva a két egyenletet:
8 = q⁶
q1 = √2
q2 = -√2
Mindkét esetben 3/2 az a1.
Mindkét esetben be kell helyettesíteni S12 képletbe.
Köszönöm szépen
TörlésA 24=a1×q^8 ?
VálaszTörlésIgen, azt írtad, hogy a kilencedik elem 24.
TörlésCsak azért kérdezem,mert azt nem értem,hogy ha q8-t osztom q2-vel,az nem q6?
TörlésIgen, úgy is írtam. Hatodik gyököt vonsz a 8-ból, így jön ki q1, q2.
TörlésAkkor jól számoltam,csak utána nem tudtam haladni.Tehát az a1 tört és 3/2-d?
VálaszTörlésIgen.
TörlésAz összeget számológéppel számold, nem lesz véges tört.
Nagyon köszönöm,jó pár napja szenvedtem vele!!!!!Még egyet kérdeznék.15000 jutalmat osztanak ki egy versenyen,3000 sz első helyezet,a továbbisk 200 ft-al kevesebbet kapnak.Össz.hány versenyző kap jutalmat?Odáig jutottam hogy számtani sorozat,és ezzel a képlettel kellene ugye:an=n×a1+(n+1)d÷2?Nem tudom megoldani,köszönöm
VálaszTörlésSn-be helyettesítünk:
Törlés15000 = n×(2×3000 - 200(n-1))/2
Másodfokú lesz.
Szép estét Ildikó,köszönöm az eddigi segítséged,lenne egy újabb kérdésem.határozza meg annak a derékszögű háromszögnek a szögeit,amelynek az oldalhosszúságai egy 2 differenciájú számtani sorozat egymást követő tagjai?Előre is köszönöm a segítséged,Noémi
TörlésKözépső oldal = x
Törlés(x - 2)² + x² = (x + 2)²
Köszönöm szépen
VálaszTörlésSajnos megint segítséget kell kérnem,a3-a2=3 a3-a1=-3,a sorozat első tagját és az első tíz tag összegét keressük,köszönöm előre is
VálaszTörlésa3 - a2 = 3
Törlésa1×q² - a1×q = 3
a1×q(q - 1) = 3
Másik egyenlet áalakítása:
a3 - a1 = - 3
a1×q² - a1 = - 3
a1(q² - 1) = - 3
a1(q + 1)(q - 1) = - 1
Első egyenletet elosztjuk a másodikkal; egyszerűsítés a1-gyel és (q - 1)-gyel:
q/(q + 1) = - 1
q = - q - 1
2q = - 1
q = - 0,5
Visszahelyettesítéssel a1 = 4
A három szám:
4; - 2; 1
Köszönöm szépen
VálaszTörlésEgy mértani sorozat első 6 tagjának összege 4095. Hányadosa 4. Mekkora az első eleme? A választ előre is köszönöm
VálaszTörlésCsak be kell helyettesíteni az Sn képletbe, és levezetni a1-re az egyenletet.
TörlésSzeretnék segítséget kérni. A mértani sorozat a1=3, S8=936, q=?
VálaszTörlésElőre is köszönöm a levezetést.
Kedves kérdező! Levezetést nem tudok adni, a wolframalpha.com oldotta meg. A kép ezen a linken látható:
Törléshttps://drive.google.com/open?id=1WIvYK4YQ0TdfzAVlXb8yPhesxi-Crg5R
Lehet osztani 3-mal, illetve lehet egyszerűsíteni a törtet (x-1)-gyel:
Törlés312 = x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
De ezzel már nem tudok mit kezdeni.
Köszönöm szépen a választ! Ha jól értem, gyakorlatilag gépi algoritmussal lehet megkeresni (próbálkozva) a megoldást?
TörlésIgen, közelítő módszerrel oldja meg a gép.
Törlés