Egy 25 fős osztályban mindenki tanul angolt vagy németet. Angolul 18-an, németül 17-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?
Az alaphalmazban az osztály tanulói vannak, összesen 25-en. Az alaphalmaz számossága 25. Így jelöljük: |U| = 25.
Két tulajdonságot különböztetünk meg: angolul tanulók, németül tanulók. Bármely tanuló legalább az egyik halmaznak eleme.
Az angolul tanulók halmazának 18 eleme van, azaz számossága 18. Így jelöljük: |A|=18.
A németül tanulók halmazának 17 eleme van, azaz számossága 17. Így jelöljük: |B|=17.
Azok a tanulók, akik mindkét nyelvet tanulják a két halmaz metszetének elemei. A kérdés a metszet számossága. A 18+17 összegben kétszer szerepel a metszet elemszáma: aki mindkét nyelvet tanulja arra igaz az is, hogy angolt tanul, és az is, hogy németet.
Az osztálylétszámban viszont mindekinek egyszer kell szerepelnie. Hány tanulót számoltunk meg kétszer? 35 - 25 = 10. Tehát 10 tanuló tanulja mindkét nyelvet.
Egy osztály tanulóinak 2/3 része angolul tanul, 3/4 része pedig franciául. 10 tanuló mindkét nyelvet tanulja. Hányan járnak az osztályba, ha mindenki tanul legalább egy nyelvet?
Ismét a metszet elemei szerepelnek mindkét halmazban, az angolul tanulók halmazában is, és a franciául tanulók halmazában is.
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12.
Ahányad résszel több ez az összeg az 1 egésznél, az osztály annyiad része van a metszetben:
1 - 17/12 = 12/12 - 7/12 = 5/12.
Az osztály 5/12 része 10 fő.
Így az 1/12 rész 2 fő.
A 12/12 rész 24 fő.
Tehát az osztályban 24 diák tanul.
Egy 30 fős osztályban 20-an tanulnak angolul, nem tanulnak németet 17-en, és két olyan diák van, akik sem németül, sem angolul nem tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?
Az, hogy "nem tanulnak németet" azt jelenti, hogy a németül tanulók halmazának komplementere 17 főt tartalmaz. Így a halmaz számossága 30 - 17 = 13 fő. Tehát 13 fő tanul németet.
Az idegen nyelvet tanulók száma: 30 - 2 = 28.
Akik mindkét nyelvet tanulják: (20 + 13) - 28 = 5.
Tehát mindkét nyelvet 5 diák tanulja.
2010. március 21., vasárnap
2010. február 14., vasárnap
Műveletek halmazokkal
Metszet
Két halmaz metszete halmaz. Azok az elemek tartoznak a metszetbe, melyek mindkét halmaznak elemei. Példa:
A={1; 2; 3}
B={a; b; c}
C={2; 3; b}
A és B metszete = üres halmaz
A és C metszete = {2; 3}
B és C metszete = {b}
Három halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak, melyek mindhárom halmaznak elemei. Az előbbi három halmaz metszete (közös része) az üres halmaz.
Unió
Két halmaz uniója halmaz. Azok az elemek tartoznak az unióba, melyek legalább az egyik halmaznak elemei. Például:
A és B uniója = {1; 2; 3; a; b; c}
A és C uniója = {1; 2; 3; b}
B és C uniója = {a, b; c; 2; 3}
A három halmaz uniója = {1; 2; 3; a; b, c}
Különbség
Két halmaz különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a különbségbe, melyek az első halmaznak elemei, de a másodiknak nem. Például:
A\B = {1; 2; 3}
A\C = {1}
B\C = {a; c}
C\A = {b}
Komplementer
Egy halmaz komplementere halmaz. Az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak egy A halmaz komplementerébe, melyek nem elemei az A halmaznak. Például:
Alaphalmaz = {pozitív, egyjegyű egészek} esetén az A halmaz komplementere =
{4; 5; 6; 7; 8; 9}
Szimmetrikus különbség
Két halmaz szimmetrikus különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a szimmetrikus különbségbe, amelyek a két halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. Például:
A és C szimmetrikus különbsége = {1; b}
B és C szimmetrikus különbsége = {a; c; 2; 3}
Két halmaz metszete halmaz. Azok az elemek tartoznak a metszetbe, melyek mindkét halmaznak elemei. Példa:
A={1; 2; 3}
B={a; b; c}
C={2; 3; b}
A és B metszete = üres halmaz
A és C metszete = {2; 3}
B és C metszete = {b}
Három halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak, melyek mindhárom halmaznak elemei. Az előbbi három halmaz metszete (közös része) az üres halmaz.
Unió
Két halmaz uniója halmaz. Azok az elemek tartoznak az unióba, melyek legalább az egyik halmaznak elemei. Például:
A és B uniója = {1; 2; 3; a; b; c}
A és C uniója = {1; 2; 3; b}
B és C uniója = {a, b; c; 2; 3}
A három halmaz uniója = {1; 2; 3; a; b, c}
Különbség
Két halmaz különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a különbségbe, melyek az első halmaznak elemei, de a másodiknak nem. Például:
A\B = {1; 2; 3}
A\C = {1}
B\C = {a; c}
C\A = {b}
Komplementer
Egy halmaz komplementere halmaz. Az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak egy A halmaz komplementerébe, melyek nem elemei az A halmaznak. Például:
Alaphalmaz = {pozitív, egyjegyű egészek} esetén az A halmaz komplementere =
{4; 5; 6; 7; 8; 9}
Szimmetrikus különbség
Két halmaz szimmetrikus különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a szimmetrikus különbségbe, amelyek a két halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. Például:
A és C szimmetrikus különbsége = {1; b}
B és C szimmetrikus különbsége = {a; c; 2; 3}
2010. január 17., vasárnap
Halmazok
A halmaz, elem, eleme fogalmak alapfogalmak, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal meghatározni őket. 'Halmaz' alatt összességet értsünk, az 'eleme' szó helyett használhatjuk a beletartozik, hozzátartozik szavakat.
Egy-egy konkrét halmazt viszont meg tudunk határozni. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, s így néhány példa halmazra:
A = {Budapest lakosai}
B = {Magyarország tavai}
C = {x2 kisebb 5 egész megoldásai}
D = {3; 5; 7}
stb.
A lényeg, hogy úgy kell megadni, meghatározni egy halmazt, hogy bármiről eldönthető legyen, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem.
Például: Rogán Antal eleme az A halmaznak; az Aral nem eleme a B halmaznak; -1 eleme a C halmaznak; a 4 nem eleme a D halmaznak.
Még véletlenül sem próbáltam eldönteni, hogy -1 eleme-e az A halmaznak. Azért, mert a halmaz tulajdonságából látszik, hogy milyen alaphalmazból válogatjuk az elemeit. Például az A halmaz esetén Magyarország lakosai közül.
Azt mondjuk, hogy az A részhalmaza Magyarország lakosai halmazának. (Magyarország lakosainak halmaza pedig részhalmaza Európa lakosai halmazának).
B részhalmaza Eurázsia tavai halmazának.
C részhalmaza a racionális számok halmazának.
D részhalmaza a páratlan számok halmazának.
Azt a halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele az áthúzott nulla.
Megállapodás szerint az üres halmaz részhalmaza bármely halmaznak. Úgyanígy minden halmaz részhalmaza önmagának.
Példa:
Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!
1.) üres halmaz
2.) {a}
3.) {b}
4.) {c}
5.) {a, b}
6.) {a, c}
7.) {b, c}
8.) {a, b, c}
Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.
(Folyt.köv. a halmazműveletekkel)
Egy-egy konkrét halmazt viszont meg tudunk határozni. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, s így néhány példa halmazra:
A = {Budapest lakosai}
B = {Magyarország tavai}
C = {x2 kisebb 5 egész megoldásai}
D = {3; 5; 7}
stb.
A lényeg, hogy úgy kell megadni, meghatározni egy halmazt, hogy bármiről eldönthető legyen, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem.
Például: Rogán Antal eleme az A halmaznak; az Aral nem eleme a B halmaznak; -1 eleme a C halmaznak; a 4 nem eleme a D halmaznak.
Még véletlenül sem próbáltam eldönteni, hogy -1 eleme-e az A halmaznak. Azért, mert a halmaz tulajdonságából látszik, hogy milyen alaphalmazból válogatjuk az elemeit. Például az A halmaz esetén Magyarország lakosai közül.
Azt mondjuk, hogy az A részhalmaza Magyarország lakosai halmazának. (Magyarország lakosainak halmaza pedig részhalmaza Európa lakosai halmazának).
B részhalmaza Eurázsia tavai halmazának.
C részhalmaza a racionális számok halmazának.
D részhalmaza a páratlan számok halmazának.
Azt a halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele az áthúzott nulla.
Megállapodás szerint az üres halmaz részhalmaza bármely halmaznak. Úgyanígy minden halmaz részhalmaza önmagának.
Példa:
Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!
1.) üres halmaz
2.) {a}
3.) {b}
4.) {c}
5.) {a, b}
6.) {a, c}
7.) {b, c}
8.) {a, b, c}
Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölések:
(Folyt.köv. a halmazműveletekkel)
2010. január 2., szombat
Mértani sorozat
Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:
2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.
1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.
1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.
A hányados neve kvóciens, jele q.
Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a1-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:
a2 = a1*q
a3 = a1*q2
a4 = a1*q3
...
an = a1*qn-1
Mértani sorozat első n elemének összege:
Sn = a1 + a2 + ... + an
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*Sn = a2 + a3 + ... + an+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*Sn - Sn = an+1 - a1
Behelyettesítjük an+1 = a1*qn -t.
q*Sn - Sn = a1*qn - a1
Sn*(q - 1) = a1*(qn - 1)
Sn = a1*(qn - 1)/(q - 1)
Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?
A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263
Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S64 = ?
------
a64 = a1*q64-1
a64 = 1*264-1
a64 = 263
S64 = 1*(264 - 1)/(2 - 1)
S64 = 264 - 1
Ez körülbelül 1,84*1019 darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*1018 gramm = 1,153*1012 tonna
2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.
1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.
1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.
A hányados neve kvóciens, jele q.
Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a1-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:
a2 = a1*q
a3 = a1*q2
a4 = a1*q3
...
an = a1*qn-1
Mértani sorozat első n elemének összege:
Sn = a1 + a2 + ... + an
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*Sn = a2 + a3 + ... + an+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*Sn - Sn = an+1 - a1
Behelyettesítjük an+1 = a1*qn -t.
q*Sn - Sn = a1*qn - a1
Sn*(q - 1) = a1*(qn - 1)
Sn = a1*(qn - 1)/(q - 1)
Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?
A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263
Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S64 = ?
------
a64 = a1*q64-1
a64 = 1*264-1
a64 = 263
S64 = 1*(264 - 1)/(2 - 1)
S64 = 264 - 1
Ez körülbelül 1,84*1019 darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*1018 gramm = 1,153*1012 tonna
2009. december 29., kedd
Számtani sorozat
0; 2; 4; 6; 8; 10; ..., a páros természetes számok sorozata. Számsorozatban mindig szabály szerint követik egymást az elemek. Ennek a sorozatnak az a szabálya, hogy az aktuális elemhez 2-t adva kapjuk a következő elemét a sorozatnak.
(Más szabályokkal is képezhetünk sorozatokat - például szorzással -, ezekről majd később.)
Az olyan sorozatokat, amelyben a szomszédos elemek különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. Ezt a különbséget differenciának nevezzü, s d-vel jelöljük.
A példa sorozatban d=2. Vannak még más jelölések is: az első elem jele: a1; a második elem jele a2; s így tovább; akárhanyadik (n-edik) elem jele an.
A példában a1 = 0; a2 = 2; a3 = 4; a4 = 6; s így tovább.
Az n-edik elem kiszámolására pedig képletet kell találni. Az 1. elemből úgy kapjuk a 2. elemet, hogy hozzáadunk 2-t. Az 1. elemből úgy kapjuk a 3. elemet, hogy hozzáadunk 2*2-t. Az 1. elemből úgy kajuk a 4. elemet, hogy hozzáadunk 3*2-t. És így tovább: az 1. elemből úgy kapjuk az akárhanyadikat, hogy hozzáadunk eggyel kevesebb differenciát:
an = 0 + (n-1)*2
Rendezés után:
an = 2n - 2
Ennek a képletnek a segítségével, például, az 500. elem kiszámítása:
a500 = 2*500 - 2 = 998.
Általánosítva: számtani sorozat n-edik elemét igy számíthatjuk:
an = a1 + (n-1)*d
Mennyi az előbbi példában az első 500 elem összege?
A sorozat elejét és végét szemügyre véve a következőt látjuk:
a1 + a500 = 998
a2 + a499 = 998
a3 + a498 = 998
S így tovább, olyan párokba rendezhetők a sorozat elemei, melyek összege mindig az első és az utolsó elem összegével egyenlő.
S hány ilyen párunk van? 500/2 darab. Így az első 500 elem összege: 998*250.
Általánosítva: számtani sorozat első n darab elemének összegét (melyet Sn-nel jelölünk) így számíthatjuk:
Sn = (a1 + an)*n/2
Példa
Egy ovális alakú teniszcsarnokban a lelátón 17 sorban ülnek a nézők. A legfelső sorban 300 ülőhely van, és minden további sorban 13 hellyel kevesebb van, mint a felette lévőben. Teltház esetén hány szurkoló van a nézőtéren?
a1 = 300
d = -13
n = 17
Sn = ?
--------
A összeg kiszámításához szükségünk van a 17. elemre:
a17 = 300 + 16*(-13)
a17 = 92
S17 = (300 + 92)*17/2
S17 = 3332
Tehát összesen 3332 néző fér el a stadionban.
(Más szabályokkal is képezhetünk sorozatokat - például szorzással -, ezekről majd később.)
Az olyan sorozatokat, amelyben a szomszédos elemek különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. Ezt a különbséget differenciának nevezzü, s d-vel jelöljük.
A példa sorozatban d=2. Vannak még más jelölések is: az első elem jele: a1; a második elem jele a2; s így tovább; akárhanyadik (n-edik) elem jele an.
A példában a1 = 0; a2 = 2; a3 = 4; a4 = 6; s így tovább.
Az n-edik elem kiszámolására pedig képletet kell találni. Az 1. elemből úgy kapjuk a 2. elemet, hogy hozzáadunk 2-t. Az 1. elemből úgy kapjuk a 3. elemet, hogy hozzáadunk 2*2-t. Az 1. elemből úgy kajuk a 4. elemet, hogy hozzáadunk 3*2-t. És így tovább: az 1. elemből úgy kapjuk az akárhanyadikat, hogy hozzáadunk eggyel kevesebb differenciát:
an = 0 + (n-1)*2
Rendezés után:
an = 2n - 2
Ennek a képletnek a segítségével, például, az 500. elem kiszámítása:
a500 = 2*500 - 2 = 998.
Általánosítva: számtani sorozat n-edik elemét igy számíthatjuk:
an = a1 + (n-1)*d
Mennyi az előbbi példában az első 500 elem összege?
A sorozat elejét és végét szemügyre véve a következőt látjuk:
a1 + a500 = 998
a2 + a499 = 998
a3 + a498 = 998
S így tovább, olyan párokba rendezhetők a sorozat elemei, melyek összege mindig az első és az utolsó elem összegével egyenlő.
S hány ilyen párunk van? 500/2 darab. Így az első 500 elem összege: 998*250.
Általánosítva: számtani sorozat első n darab elemének összegét (melyet Sn-nel jelölünk) így számíthatjuk:
Sn = (a1 + an)*n/2
Példa
Egy ovális alakú teniszcsarnokban a lelátón 17 sorban ülnek a nézők. A legfelső sorban 300 ülőhely van, és minden további sorban 13 hellyel kevesebb van, mint a felette lévőben. Teltház esetén hány szurkoló van a nézőtéren?
a1 = 300
d = -13
n = 17
Sn = ?
--------
A összeg kiszámításához szükségünk van a 17. elemre:
a17 = 300 + 16*(-13)
a17 = 92
S17 = (300 + 92)*17/2
S17 = 3332
Tehát összesen 3332 néző fér el a stadionban.
2009. december 12., szombat
Négy kettes
Egy olvasói kérdésben merült fel, hogy melyik a négy darab kettes jeggyel felírható legnagyobb szám. Összeszedtem a lehetőségeket, s növekvő sorrendjük:
Nézzük részletesen:
2222 = 49284
2222 = 224 = 216 = 65536
2222 = 224 = 234256
2222 körülbelül 3,4*1029
2222 körülbelül 6,7*1066
2222 = 2484, a kitevő nagyobb, mint az előbb, így a hatványérték is.
2222 = 24194304, megint nagyobb a kitevő.
2009. november 28., szombat
Kamatos kamat
Az 1,5 millió forintos betétállomány 10 év alatt, 7%-os kamat esetén mekkora összegre növekszik?
Első év végére: 1500000*1,07 Ft
Második év végére: (1500000*1,07)*1,07 Ft
Harmadik év végére:((1500000*1,07)*1,07)*1,07 Ft
És így tovább.
Tízedik év végére: 1500000*1,0710 Ft.
Ez 2950727 Ft.
Hány százalékos az évi átlagos értékcsökkenése annak a gépnek, amit 6,2 millió forintért vásároltak, s 8 év múlva 3,1 millió forintért lehetett eladni?
6200000*x8 = 3100000 /:6200000
x8 = 0,5
x = nyolcadikgyök 0,5
x = 0,917
Csökkenés: 1 - 0,917 = 0,083
Tehát évente 8,3%-kal csökken az érték.
Hány év alatt duplázódik meg a 1,5 millió forintos betétállomány, ha évenkénti tőkésítéssel évi 6% kamatot ad a bank?
1500000*1,06x = 3000000 / : 1500000
1,06x = 2
Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát vesszük, s a bal oldalon alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:
lg 1,06x = lg2
x*lg1,06 = lg2 /: lg1,06
x = lg2 : lg1,06
x = 11,896
Tehát a 12. év végére duplázódik meg a pénz.
Első év végére: 1500000*1,07 Ft
Második év végére: (1500000*1,07)*1,07 Ft
Harmadik év végére:((1500000*1,07)*1,07)*1,07 Ft
És így tovább.
Tízedik év végére: 1500000*1,0710 Ft.
Ez 2950727 Ft.
Hány százalékos az évi átlagos értékcsökkenése annak a gépnek, amit 6,2 millió forintért vásároltak, s 8 év múlva 3,1 millió forintért lehetett eladni?
6200000*x8 = 3100000 /:6200000
x8 = 0,5
x = nyolcadikgyök 0,5
x = 0,917
Csökkenés: 1 - 0,917 = 0,083
Tehát évente 8,3%-kal csökken az érték.
Hány év alatt duplázódik meg a 1,5 millió forintos betétállomány, ha évenkénti tőkésítéssel évi 6% kamatot ad a bank?
1500000*1,06x = 3000000 / : 1500000
1,06x = 2
Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát vesszük, s a bal oldalon alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:
lg 1,06x = lg2
x*lg1,06 = lg2 /: lg1,06
x = lg2 : lg1,06
x = 11,896
Tehát a 12. év végére duplázódik meg a pénz.
Feliratkozás:
Bejegyzések (Atom)