Amikor betűket és számokat műveleti jelekkel kapcsolunk össze, akkor algebrai kifejezésekről beszélünk. A betűket változóknak nevezzük. Azt a számot, amivel szorozzuk a változót, együtthatónak nevezzük. Példák algebrai kifejezésekre:
2a + 2b
x2y + xy2 - x3
(x + 2a)3
Egytagú kifejezések:azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás szerepel egytagú kifejezéseknek nevezzük. Például:
2xy
3a/4
Egynemű kifejezések: egytagú kifejezéseket egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. Egyneműek:
2ab; -ab; 0,6ab; 5643ab;
Nem egyneműek: ab; a2b; ab2; 7a; 7b
Összevonás: egynemű kifejezések összevonásakor az együtthatókat adjuk össze:
3x + 2x - 5,6x = -0,6x
2xy + 6xy - 0,8x -7xy + 4y = xy - 0,8x + 4y
Zárójelbontás:
2(a + ab - b) = 2a + 2ab - 2b
5 - (x - 2xy + 3) = 5 - x + 2xy - 3 = -x + 2xy + 2
-xy(6 - ab) = -6xy + abxy
Szorzattá alakítás (közös tényező kiemelése zárójel elé):
xy + 5x = x(y + 5)
4a + 5ab - ax = a(4 + 5b - x)
Helyettesítési érték
Számoljuk ki a 2a + 3b kifejezés helyettesítési értékét, ha a = 1, b= -2
2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4.
2013. október 21., hétfő
2013. május 7., kedd
2013. április 14., vasárnap
Kör egyenlete
Tananyag és kidolgozott mintafeladatok >>
Multimédiás tananyag >>
Feladatok (online segítséggel) >>
Videó: érintőkör >>
Multimédiás tananyag >>
Feladatok (online segítséggel) >>
Videó: érintőkör >>
2013. január 27., vasárnap
Egyenes egyenlete
Adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyenlete: http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_11-5_Az_egyenes_egyenlete_I-100823
Feladatmegoldás:
Az egyenes irányvektoros egyenlete:
Feladatmegoldás:
Az egyenes irányvektoros egyenlete:
2012. december 27., csütörtök
Felszín- és térfogatszámítás
Felszín- és térfogat számítási feladatok megoldása:
Gúla és kúp felszíne, térfogata:
http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858
Kúp térfogata:
Gúla és kúp felszíne, térfogata:
http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858
Kúp térfogata:
2012. július 31., kedd
Legnagyobb közös osztó
A természetes számokat, az osztóik száma alapján, három halmazba sorolhatjuk:
A = {0; 1}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}
B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat prímszámoknak nevezzük.
C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat összetett számoknak nevezzük.
A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.
Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:
12 = 2*2*3
54 = 2*3*3*3
Ezt a szorzat alakot nevezzük prímtényezős szorzat alaknak - a szorzás minden tényezője prímszám.
Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám összes osztóját:
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3
A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?
A legnagyobb közös osztó prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.
Más példa:
288 = 25*32
3024 = 24*33*7
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:
24*32 = 144.
A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:
(12; 54) = 6
(288; 3024) = 144
Összefoglalva: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.
Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:
14 = 2*7
15 = 3*5.
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.
(14; 15) = 1.
A legnagyobb közös osztó meghatározásának a törtek egyszerűsítésénél van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!
1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:
5100 = 22*3*52*17
6120 = 23*32*5*17
2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:
(5100; 6120) = 22*3*5*17 = 1020
3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:
5100/6120 = 5/6.
A = {0; 1}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}
B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat prímszámoknak nevezzük.
C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat összetett számoknak nevezzük.
A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.
Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:
12 = 2*2*3
54 = 2*3*3*3
Ezt a szorzat alakot nevezzük prímtényezős szorzat alaknak - a szorzás minden tényezője prímszám.
Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám összes osztóját:
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3
A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?
A legnagyobb közös osztó prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.
Más példa:
288 = 25*32
3024 = 24*33*7
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:
24*32 = 144.
A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:
(12; 54) = 6
(288; 3024) = 144
Összefoglalva: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.
Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:
14 = 2*7
15 = 3*5.
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.
(14; 15) = 1.
A legnagyobb közös osztó meghatározásának a törtek egyszerűsítésénél van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!
1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:
5100 = 22*3*52*17
6120 = 23*32*5*17
2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:
(5100; 6120) = 22*3*5*17 = 1020
3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:
5100/6120 = 5/6.
2012. május 11., péntek
Feliratkozás:
Bejegyzések (Atom)