2010. július 15., csütörtök

Szórás

Adatsorok jellemzéséhez a középértékeken (átlag, medián, módusz) kívül azt is fontos ismerni, hogy ezekhez viszonyítva hogyan helyezkednek el az adatok; azaz a szóródásukat.

Ezek a szóródási mutatók:

1. Terjedelem (legnagyobb és legkisebb adat különbsége).

2. Középeltérés (a mediántól való eltérések abszolútértékének átlaga).

3. Átlagos abszolúteltérés (a számtani középtől való eltérések abszolútértékének átlaga).

4. Szórás

A szórás kiszámításának lépései:

1. Kiszámítjuk az adatok számtani közepét.

2. Kiszámítjuk az adatok eltérését a számtani középtől (adat - számtani közép)

3. Vesszük ezeknek az eltéréseknek a négyzetét.

4. Kiszámítjuk ezeknek az "eltérés négyzeteknek" a számtani közepét.

5. Végül ebből négyzetgyököt vonunk.

Példa
Az 5; 6; 10 adatsor szóródási mutatói

1.) Terjedelem = 10 - 5 = 5.

2.) Középeltérés:
medián = 6
mediántól való eltérések abszolútértéke: 1; 0; 4
ezek átlaga = 1, 66.

3.) Átlagos abszolúteltérés
átlag = 7
átlagtól való eltérések abszolútértéke: 2; 1; 3
ezek átlaga = 2.

4.) Szórás
adatok eltérése a számtani középtől: -2; -1; 3
ezek négyzete: 4; 1; 9
ezek számtani közepe: 4,67
ennek négyzetgyöke: 2,16.

A szórás kiszámításának képlete:
(A : adatok számtani közepe)

53 megjegyzés:

  1. Tisztelt Tanárnő!

    A valószínűség számításról szeretnék többet tudni,ha lehetséges.

    A válaszát előre is köszönöm!

    VálaszTörlés
  2. Tisztelt Tanárnő!

    Hogyan kell alkalmazni a szórást focieredmények kiszámítására?
    Pl.) eredmények.
    3-0,1-0,1-2,1-1,1-1,5-1,1-0,1-0,0-0
    mennyi lesz a szórás?

    VálaszTörlés
  3. Valószínűség kiszámításáról készítek majd egy külön posztot.

    Foci eredmények kiszámítására sehogy nem lehet a szórást alkalmazni. A szórás arról tájékoztat bennünket, hogy a számtani közép körül mennyire szóródnak, átlagosan hogyan helyezkednek el az adatok.

    Más lenne a helyzet, ha az adatsor nem számpárokból állna. Ha azokat az adatokat néznénk, hogy egy meccsen összesen hány gól esett: 3; 1; 3; 2; 2; 6; 1; 1; 0.
    Ezeknek a "szóló" adatoknak már megnézhetjük a szórását a bejegyzésben leírt módon.

    Ez azonban nem lenne segítség az eredmények előrejelzéséhez.

    Ahhoz inkább azt kellene megnézni, hogy egy csapat a legutóbbi 100 meccsen hányszor nyert, illetve veszített. S ebből lehetne megbecsülni, hogy mi lesz a valószínűbb legközelebb.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. köszönöm Tanárnő!! nagyon sokat segített nekem!

      Törlés
  4. Tisztelt Tanárnő!


    Nagyon szépen köszönöm az információkat végre megértettem, hogy hogyan kell kiszámítani a szórást.

    VálaszTörlés
  5. Tisztelt tanárnő!

    A szórás számításánál miért van szükség arra, hogy négyzetre emlejük az értékeket?

    VálaszTörlés
  6. Azért, hogy a negatív és pozitív eltérések ne semlegesítsék egymást. Így 4.-nél egy -2; -1; 3 eltérés sorozat és egy 2; 1; -3 eltérés sorozat az elvárásnak megfelelően egyenértékű lesz. (Azonos eltérések, csak más irányban.)

    VálaszTörlés
  7. Ebben az esetben miért nem inkább abszolút értékkel számolunk?

    VálaszTörlés
  8. Jó kérdés!

    Ha abszolút értékkel számolunk, akkor nem teszünk különbséget a sok kis eltérés (10 db 1-es) és egy nagy (1 db 10-es) között. Ez sokszor nem kívánatos tulajdonság. Az ilyen nagy eltéréseket a szórás viszont jól kimutatja.

    Ezzel, és néhány, ezen a szinten nem említett tulajdonságával a szórás rengeteg későbbi számítás és képlet alappillére a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában.

    VálaszTörlés
  9. Tisztelt Tanárnő!
    A szórás számolásánál a 3 lépésnél hogyan lesz 4,67 az eredmény?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. 4, 1, 9 számtani közepe = (4 + 1 + 9):3 = 4,66666.... ~ 4,67

      Törlés
  10. Tisztelt Tanarno!
    Segitseget szeretnem kerni a kovetkezo feladat eseteben. Itten hogyan szamolunk atlagot es szorast??

    kereset(FT-ba) Alkalmazottak szama
    400-700 1
    700-1000 2
    1000-1400 4
    1400-2000 2
    2000-3000 1

    Osszesen 10

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A fizetési középértékekkel:
      1 fő --> 550
      2 fő --> 850
      4 fő --> 1200
      2 fő --> 1700
      1 fő --> 2500

      A következő adatok átlagát és szórását számolod:
      550; 850; 850; 1200; 1200; 1200; 1200; 1700; 1700; 2500.

      Törlés
  11. Megjegyzésem az lenne a focieredményekhez, hogy igenis lehetséges annál is szórást számolni ÉS alkalmazni (Multivariate distribution). Azonban két darab szórás önmagában itt már nem elég, mert kell hozzá egy korrelációs együttható is.

    VálaszTörlés
  12. Tisztelt Tanárnő!
    A szórás számításnál ha jól tudom, a négyzetre emelés után az értékeket összeadva, n-1 el kell osztani(tehát itt 2),így a szórás értéke nem jó!A helyes megoldás --> 2,65!!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Péter!
      Beillesztettem a cikk végére egy képet az szórás képletéről. x-ek az adatok, A a számtani közép, D a szórás (deviancia), n az adatok száma.

      Törlés
    2. Köszönöm!Közben rájöttem a korrigált szórással kevertem. :-)

      Törlés
  13. Kedves Tanárnő!
    Segítséget szeretnék kérni a következő feladathoz.
    A 14, 9, 18, 12, 7 számoknak kell kiszámolni a terciliseket, a kvartiliseket és a szórását.
    előre is nagyon köszönöm a segítséget!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A szórás kiszámításáról olvashatsz a bejegyzésben, van egy kidolgozott minta, hasonlóan számolj ezekkel a számokkal is.

      A másik két kérdésedhez ezen az oldalon találtam segítséget:
      http://www.diakoldal.hu/assets/res/notes/77ee972dbef023c4c0afb510254c82b6gyak1gmii.pdf

      kvartilisek: 8; 12; 16
      tercilisek: 9; 14

      Törlés
  14. Tisztelt Tanárnő!
    A szórás képletében mi az "x" és mi az "A"?

    VálaszTörlés
  15. Kedves Tanárnő,
    Vizsgaeredmények átlagát számítottam, annak érdekében, hogy két 200 fős minta eredményeit össze tudjam hasonlítani. Egy ismerősöm javasolta, hogy csináljak t-próbát is, mert azzal azt is ki tudom mutatni, hogy a két csoport teljesítménye nem valami véletlen folytán különbözik, hanem van valami oka a különbségnek.
    megnéztem a szórást is, mert azt olvastam, hogy fontos lehet a t-próba előtt megvizsgálni, hogy a mintaértékeknek mekkora a szórása. Sajnos én ezt az elméletet nem tudtam követni, mert humán területen vagyok csak járatos, ezért a segítségét szeretném kérni, hogy jobban megérthessem, miért jó nekem, ha szórást, f-próbát és t-próbát alkalmazok. Az excel-képletek segítségével egyszerű megcsinálni, de a kapott eredményeket nem tudom értelmezni. Mit jelent az, ha a szórás1=0,86 a szórás2=1,00 ezek az értékek együtthatós formájú számok, amik százalékban is kifejezhetők, vagy az átlagtól ennyi a legnagyobb eltérés? Vagy az átlagos eltérés? ezek az értékek megmutatják, hogy érdemes/szabad-e f-próbát csinálni? Elnézését kérem, ha butaságokat kérdezek.. Várom szíves válaszát, tisztelettel: Alexander

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Alexander! Sajnos ezekben a kérdésekben én nem tudok segíteni. De remélem lesz olyan olvasója a blognak, aki szakértő ezen a területen és válaszol Neked.

      Törlés
  16. Jo napot! A segitsegere lenne szuksegem.
    Megoldottam egy feladatot es szeretnem ha ellenorizne, hogy megfeleloen szamoltam-e ki a szorast es a relativ szorast:)

    Egy szallitasi vallalkozasnal az autok futasteljesitmenye ezer km-ben a kovetkezo: 18,19,24,26,29,30,34,34,36,37,38,38,39,40,41,42,44,46,46,52,52,53,54,57,59,60,62

    szoras: 12,1
    relativ szoras: 0,29 -> 29%

    Ha megkerem szepen ellenorizne, hogy helyeseke a szamitasaim?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen! Miért nem vállalod a keresztneved - ha már kérésed van! :)
      A tudományos zsebszámológépeken lehet statisztikai számításokat is végezni: a MODE beállítása SD-re, adatbevitel DT-vel, szórás számítása SHIFT után a σn billentyű.
      szórás = 12,0963
      rel. szórás: 29,4%

      Törlés
  17. Tanárnő!! Legyenszíves elmagyarázni a 2. pontot

    mediántól való eltérések abszolútértéke: 1; 0; 4
    ezt hogy lehet kiszámítani???

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Kérdező!
      Adatok: 5; 6; 10.
      Medián = 6.
      A mediántól való eltérések abszolút értékei:
      |5 - 6| = 1
      |6 - 6| = 0
      |10 - 6| = 4

      Törlés
  18. Kedves Tanárnő!
    Érdeklődni szeretnék, hogy a szórás lehet nagyobb, mint az átlag. Előre is ksözönöm!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen! Miért nem vállalod legalább a keresztneved?
      Igen, lehet. Két példa:

      az 1; 2; 3; (-100) számok átlaga (-23,5), szórása pedig 44,173.

      Másik példa:
      az 1; 2; 3; 100 számok átlaga 26,5, szórása pedig 42,44.

      Törlés
  19. Tisztelt Tanárnő!

    Az lenne a kérdésem, hogy miért kell kiszámolni a mediántól való eltéréseket? Ez miért fontos a szórásnál?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Anna! Szórásnál nem a mediántól, hanem a számtani középtől való eltéréseket vesszük. Szórásnak nevezzük a számtani középtől számított eltérések négyzetének számtani közepéből vont négyzetgyököt.

      Törlés
    2. Köszönöm a segítséget! :)

      Törlés
  20. Tisztelt Tanárnő!

    Legyenszíves. Megtudná mondani, hogy a szórást melyik görög betűvel jelölhetjük?

    Válaszát előre is köszönöm!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Köszönöm szépen gyors válaszát! A holnapi zh-ban biztosan sok hasznát veszem majd!

      Törlés
  21. Kedves Tanárnő!

    A szórás megfogalmazásával kapcsolatban lenne kérdésem. Van egy feltevés, viszont nem vagyok benne biztos hogy ez így helyes. Ha jól tudom, a szórás az elemek átlagtól való átlagos távolságát jelenti. Létezik olyan tétel, hogy ha szórás távolságot veszek az átlagtól, akkor ebbe az intervallumba esnek az elemek 2/3-a? Tehát az intervallum: [átlag-szórás;átlag+szórás]. Igaz így az állítás vagy esetleg csak bizonyos valószínűség mellett? C verzió, hogy még hasonló állítás sem létezik a matematikában, csak egy homályos emlék az agyamban.

    válaszát köszönöm!
    üdvözlettel:
    András

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves András: a szórás meghatározása nem az, amit írt. Szórásnak nevezzük az átlagtól való eltérések négyzetének átlagából vont négyzetgyököt. A második kérdésére egy ellenpélda:
      adatok: 10001; 10002; 10003.
      átlaguk: 10002
      szórásuk: 0,8165
      intervalluma: [10001,1835; 10002,8165]
      Ebbe az intervallumba pedig csak egy darab szám esik a háromból (1/3 részük).

      Törlés
  22. Tisztelt Tanárnő!
    Segítséget szeretnék kérni a következő feladatban:
    Valamely cégnél minden egyes munkás 20. 000 Ft béremelést kapott. A korábbi bérek átlaga 180.000 Ft, a bérek szórása 36.000 Ft. A béremelés után mekkora lett a cégnél a bérek relatív szórása?
    Válaszát előre is köszönöm!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Kérdező! Sajnálom, hogy nem ismerhetem meg a neved :(

      Új fizetések átlaga = 200.000 Ft
      Új fizetések szórása = 36.000 Ft (nem változik, mert ugyanannyit kapunk, ha a régi fizetésből (Fi) 180.000-et vonunk le, mint amikor az új fizetésből (Fi+20.000) 200.000-et vonunk le.)
      Relatív szórás = (36000 / 200000)*100 = 18%

      Törlés
  23. Kedves Ildikó!
    A jövő heti témazáróhoz szeretnék kérni segítséget. A gyakorló feladatok között szerepel, de sajnos sehogy sem tudok belekezdeni.

    A feladat a következő:
    Egy Rt. termelési értéke 2008-ban 14 millió, 2009 -ben pedig 19 millió Ft volt. A 2009. évi termelés tárgyidőszaki áron 15,5 millió Ft-ot tett ki.
    a) A termelési érték növekedéséből hány Ft volt az árváltozás hatása?
    b) Számolja ki és értelmezze a termelési érték volumenindexét.

    Előre is köszönöm!
    Üdvözlettel: Zsanett

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Zsanett! A feladatban szereplő fogalmak (termelési érték, tárgyidőszaki ár, árváltozás hatása, volumenindex) számomra ismeretlenek. Mástól kell segítséget kérnie.

      Törlés
  24. Tisztelt Tanárnő!
    Találkoztam egy feladatban egy olyan kifejezéssel, mint "szórásnégyzet" ez egyenlő a szórás négyzetével? Tehát az Ön által utolsó pont megszűnésével (gyökvonás megszűnésével)?

    A feladat így hangzik:

    Van egy osztály, nem tudjuk a létszámukat. Dolgozatot írtak de elveszett az eredmények egy része. (" - " jelölés)

    Meglévő adatok:
    Jegyek:______1___2___3___4___5_
    gyakoriság:___5___3___14___-___-_

    egyek átlaga:_____44/15
    szórásnégyzete:__299/225
    _____Kérdés: Hány 4-es és hány 5-ös osztályzat született?

    Előre is köszönöm: Gergő

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Gergő!
      Igen, jól gondolod, nem kell a négyzetgyökvonás a szórásnégyzethez.
      A feladatodhoz:
      44/15 = (5 + 6 + 42 + 4x + 5y)/(22 + x + y)
      299/225 = ((5*(44/15 - 1)^2 + 3*(44/15 - 2)^2 + ... +y*(44/15 - 5)^2)/(22 + x + y)

      Szép kis kétismeretlenes egyenletrendszer. Inkább vegyük figyelembe az életszerűséget: az osztálylétszám 15 többszöröse az átlag alapján. Valószínűleg 30. Így:
      x + y = 8
      4x + 5y = 35
      Ezt már sokkal könnyebb megoldani:
      x = 5
      y = 3
      Le kell ellenőrizni: behelyettesítesz a szórásnégyzetbe. Rendben is lesz.

      Törlés
    2. Köszönöm szépen ;)
      Így meglesz :)

      Törlés
  25. Tisztelt Tanárnő!
    Az alábbi táblázat András és Bea érettségi érdemjegyeit mutatja.
    András Bea Cili
    Magyar nyelv és irodalom 3 4
    Matematika 4 5
    Történelem 4 4
    Angol nyelv 3 5
    Fölrajz 5 5
    a) Számítsa ki András jegyeinek átlagát és szórását!
    Cili érettségi eredményéről azt tudjuk, hogy jegyeinek átlaga András és
    Bea jegyeinek átlaga közé esik, továbbá Cili jegyeinek a szórása 0. Hogy kell a szórást kiszámítani? Előre is köszönöm.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia!
      Azt, hogy hogyan kell a szórást kiszámítani, leírtam a bejegyzésben.

      A feladatod a 2012-es májusi érettségi 17. kérdése. Megoldása megnézhető ezen a linken:
      http://www.oktatas.hu/pub_bin/dload/kozoktatas/erettsegi/feladatok2012tavasz/kozep/k_mat_12maj_ut.pdf

      (minden eddigi érettségi feladatsor megoldása fenn van a neten.)

      Törlés
  26. Kedves Tanárnő!
    Nem teljesen értem ezt a szórást...
    Vizsgajegyek szórását kéne kiszámolnom, 1-es, 2-es, 3-as, 4-es és 5-ös osztályzatok születtek. 1-esből 4db, 2esből 3db, 3asból 8db, 4esből 9, és 5ösből 10 db.
    Ha mindnet jól értek, akkor a medián 3, a módusz 3, az átlag 3.27, a terjedelem 4.
    Menniy lesz az átlagos abszulut eltérés, és a szórás?
    Előre is köszönöm ha időt szakít rám!

    VálaszTörlés
  27. Kedves Kérdező!
    34 darab jegy van, így a medián (a növekvő sorba állított 34 darab jegy) a 17. és 18. jegy átlaga. Ez 4.
    Módusz a leggyakoribb jegy. Ez 5. (ötösből van a legtöbb).
    Az átlag a 34 darab jegy összegét osztani kell 34-gyel. Ez 3,53 (pontosabban: 3,5294).
    Az átlagos abszolút eltérésnél minden jegynek kiszámoljuk az átlagtól való eltérését, ezeknek vesszük az abszolútértékét, ezeket összeadjuk, s végül osztunk 34-gyel:
    (4·|1-3,53| + 3·|2-3,53| + 8·|3-3,53| + 9·|4-3,53| + 10·|5-3,53|)/34 = 1,11

    Szórásnál az átlagtól való eltérések négyzetének számítjuk ki az átlagát, majd gyököt vonunk belőle:
    négyzetgyök([4·(1-3,53)^2 + 3·(2-3,53)^2 + ...+ 10·(5-3,53)^2]/34) = 1,31

    (a gyökjel alatt a négyzetre emeléssel kell kezdeni, az a legmagasabb rangú művelet, utána jön a szorzás, utána a számlálóban az összeadás, s végül a 34-gyel való osztás)

    VálaszTörlés
  28. Tisztelt Tanárnő!
    Van egy példa, amit nemigazán tudok értelmezni sem, nemhogy megoldani. A megértésében és a megoldásában szeretném a segítségét kérni.
    A hatoldalú dobókocka oldalain legyenek a számok 1-től 6-ig, mindegyik oldalán pontosan 1 szám. Mint egy átlagos dobókockának. Ezt feldobjuk. Az E valószínűvégi változó vegye fel a dobott szám kétszeresét. Határozza meg az E valószínűségi változó szórását.
    Már ott elakadtam, hogy a terjedelem 1-től 6-ig van, vagy 1-től 12-ig(mivel a kétszerese szükséges a végén)?
    Válaszát előre is köszönöm.
    Tisztelettel: Enikő

    VálaszTörlés
  29. Szia Enikő! Az E lehetséges értékei: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
    Ezek átlaga: 7
    Szórása: 3,4156.

    VálaszTörlés
  30. Tisztelt Tanárnő!

    A következő kérdéssel fordulnék önhöz:

    Ha átlag + szórás értékeket szeretnék átlagoni, akkor melyik a helyes formula az alábbiak közül:
    átlagok átlaga +/- átlagok szórása vagy átlagok átlaga +/- átlagok szórásának átlaga

    Én az előbbit tartanám helyesnek, ugyanakkor ez a formula nem veszi figyelembe az egyes átlagok esetlegesen nagy szórását. Van-e bármilyen módszer, ami egyszerre ad felvilágosítást az átlagok egymáshoz képesti eltéréséről úgy, hogy közben valamilyen módon az átlagok szórásaira vonatkozó információ is megmarad.

    Előre is köszönettel: Zsolt

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Zsolt! Remélem, hogy egy tőlem hozzáértőbb ember el fogja olvasni a kérdését és válaszol rá. Csak módszertani javaslatom van: néhány konkrét adathalmazon vizsgálja meg ezeket a mutatókat, s a konkrét tapasztalataiból próbáljon általánosítani.

      Törlés
    2. Köszönöm szépen a gyors választ!

      Üdvözlettel: Zsolt

      Törlés