2010. január 2., szombat

Mértani sorozat

Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:

2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.

1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.

1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.

A hányados neve kvóciens, jele q.

Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a1-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:

a2 = a1*q
a3 = a1*q2
a4 = a1*q3
...
an = a1*qn-1

Mértani sorozat első n elemének összege:

Sn = a1 + a2 + ... + an
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*Sn = a2 + a3 + ... + an+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*Sn - Sn = an+1 - a1
Behelyettesítjük an+1 = a1*qn -t.

q*Sn - Sn = a1*qn - a1
Sn*(q - 1) = a1*(qn - 1)

Sn = a1*(qn - 1)/(q - 1)

Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?

A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263

Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S64 = ?
------
a64 = a1*q64-1
a64 = 1*264-1
a64 = 263

S64 = 1*(264 - 1)/(2 - 1)
S64 = 264 - 1

Ez körülbelül 1,84*1019 darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*1018 gramm = 1,153*1012 tonna

89 megjegyzés:

  1. Köszönöm a segítséget! ^o^

    VálaszTörlés
  2. Köszönöm a segítséget. 2 hetet hiányoztam a suliból pont a számtani és mértani sorozatoknál, és te iszonyat egyszerűen és könnyen érthetően leírtad a képleteket kiemelve. Sokat segítettél, köszi még1x :)

    VálaszTörlés
  3. Annyira köszönöm!!!!!!!, a matek tanár arra nem képes, h felírja a táblára "mert ő olyan fáradt" de hogy mibe fárad el, mikor napi 5-6 órája van, és ő nem felel mindennap meg nem is ír...tiszta szégyen, h egyesek semmit nem tesznek, csak felveszik a fizetést, ha rajta múlna az érettségin sorra buknánk pff

    VálaszTörlés
  4. Köszi!:)Én is innen lesem az anyagot mivel egyesek azt hiszik, hogy szívességet tesznek a tanárnak, ha befogják a szájukat. 30 akárhány fős osztályban ha nincs csend nem lehet tanítani, de hihetetlen, hogy ma holnap felnőtt emberek nem fogják be a szájukat mikor az érettségit nekünk kell megírni.Köszönöm a segítséget:)

    VálaszTörlés
  5. ezek szerint csak én vagyok olyan mocskosul értetlen, hogy sehogy se tudom megérteni ezt a *************-t... :)

    VálaszTörlés
  6. Én is köszönöm!!! :))

    VálaszTörlés
  7. Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40?
    Nem igazán értem.
    q=?
    a3=5
    a6=40
    De én csupán az a3 felhasználásával csináltam egy egyenletet. Minek az a6? mondjuk azzal az egyenlettel nem jutottam semmire. Valaki kérem segítsen!
    Kitty voltam. Köszönöm!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Kitty!

      5 = a1×q^2
      40 = a1×q^5
      --------------
      A második egyenletet elosztjuk az elsővel:

      8 = q^3

      Köbgyökvonás:

      2 = q

      Törlés
  8. egy mértani sorozat harmadik és negyedik tagjának összege 80 ötödik és harmadik tagjának külömbsége 240. határozza meg a sorozat első tagját és hányadosát

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Ez már egy jó régi kérdés, de megoldom, hátha valki hasznát veszi... :)

      a3 + a4 = 80
      a5 - a3 = 240
      a1 ?
      q ?

      a1q^2 + a1q^3 = 80
      a1q^4 - a1q^2 = 240 / mindkét egyenletből kiemeljük az a1q^2-et.

      a1q^2 * (1 + q) = 80
      a1q^2 * (q^2 - 1) = 240 elosztjuk a második egyenletet az elsővel

      marad a q -1 = 3

      q = 4

      q-t behelyetesítjük az első egyenletbe és megkapjuk a sorozat első tagját.

      a1 * 4q^2 * (1 + 4) = 80; a1 * 16 * 5 = 80; a1 * 80 = 80; a1 = 80/80 = 1

      a1 = 1

      a3 = 16; a4 = 64; a5 = 256

      16 + 64 = 80; 256 - 16 = 240

      Törlés
  9. Tényleg nagyon jó ez az oldal ..már vagy 3 órája törtem magam azon hogy vajon hogy is kell kiszámolni a q-t majd felléptem az oldalra és 2 percen belül megtudtam :)) köszönöm !!

    VálaszTörlés
  10. nekem kéne segítség de gyorsan! holnap írok matekból és ezen múlik hogy átmegyek e! kérlek titeket hogy segítsetek! ezt kéne megoldani!
    elem: 5
    hányados: 3
    mi lesz az ötödik eleme?
    én tudom csak nem tudom hogy számoljam ki! köszönöm előre is!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia!
      Gondolom a mértani sorozat első eleme 5:
      a1 = 5
      Második elem: a2 = 5*3 = 15
      Harmadik elem: a3 = 15*3 = 45
      Negyedik elem: a4 = 45*3 = 135
      Ötödik elem: a5 = 135*3 = 405.

      (Rövidebben: a5 = 5*3*3*3*3 = a1*q^4)

      Törlés
  11. sziasztok!kèrlek segitsetek.. a hànyadost ugy kell kiszàmolni (törtrèszekkel) hogy az elsö szàmot leirom vàltozatlanul ès a màsik szàmnak a reciprokàt irom leirom ..na de közös nevezõre hozzam vagy nem?hogyan csinàljam?SÜRGÕS!!Köszi, Viki voltam

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Viki!
      Arra gondolsz, hogy hogyan kell törttel osztani?
      Egyrészt: van bejegyzés törttel való osztásra itt a blogon. Nézd meg!
      Másrészt röviden: törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk. Közös nevezőre hozás nem kell (csak összeadásnál, kivonásnál kell közös nevezőre hozni).
      Példa:
      A : (x/y) = A * (y/x)
      Bármi lehet az osztandó, az A, mindig így írjuk át szorzásra az osztásokat. (x nem lehet 0, y nem lehet 0).

      Törlés
  12. sziasztok !!!Lenne egy kérdésem ! Amikor megvan adva egy szám és azt kérdezik hogy hanyadik tagja a sorozatnak azaz az "n"-t kérdezik azt hogyan kell kiszámolni??
    Eddig eljutottam: an=a1*q^n-1/a1
    an/a1= q^n-1
    És itt elakadtam.Hogyan tudnám folytatni??
    Előre is köszönöm!!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia! be kell helyettesíteni an-et, a1-et és q-t.
      Az ismeretlen kitevőt logaritmussal tudod kifejezni:
      n-1 = q alapú logaritmus an/a1
      (q>0, q nem 1, an/a1 > 0)

      Törlés
    2. bgyula
      Sajnos nekem még így sem egyértelmű. Segítene kérem? Hogyan tovább? Pl ha a1= 850 és q=1,007 és an=1500

      Törlés
    3. 1500 = 850*1,007^(n-1)
      osztunk 850-nel
      1,7647 = 1,007^(n-1)
      n-1 = 1,007 alapú logaritmus 1,7647
      n-1 = 81,42
      n = 82,42
      Tehát az 1500 nem eleme ennek a sorozatnak (n-re nem egész számot kaptunk)

      Törlés
  13. Sziasztok ! Egy kis segítségre lenne szükségem, ha lehetséges.
    A 9 + 9^2 + 9^3 + ... +9^2011 összeg utolsó számjegye érdekelne.
    Elöre is köszönöm.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. ne haragudj de ha lehetséges akkor kissé bövebben ,hisz igy bármilyen számot mondhatsz ugy sem értem.....

      Törlés
    2. Szia Névtelen! 9 páratlan kitevőjű hatványai 9-re végződnek; páros kitevőjű hatványai 1-re végződnek (9, 81, 729, 6561, ...). Így az első és második tag összege 0-ra végződik, a harmadik és negyedik tag összege 0-ra végződik, és így tovább. 9^2010-ig az összeg 0-ra végződik. 9^2011 pedig 9-re végződik.

      Törlés
  14. Így már minden világos, köszi szépen a segítséget :)

    VálaszTörlés
  15. Kedves Ildikó! Lenne egy kérdésem: hogyan kell ezt a feladatot megoldani?
    b=1-1/2+1/2^2-1/2^3+...-1/2^9+1/2^10

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia!
      1 - 1/2 = 1/2
      1/4 - 1/8 = 1/8
      1/16 - 1/32 = 1/32
      stb.
      vagyis a feladat:
      1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + 1/512 + 1/1024.
      Az első öt szám egy mértani sorozatot alkot (a1 = 1/2; q = 1/4; n = 5); az összegképlettel is összeadhatod őket. Az eredményhez majd 1/1024-et hozzáadsz.
      De már ez a hat szám nem olyan sok, akár közös nevezőre hozással is összeadhatod őket.

      Törlés
    2. Nagyon szépen köszönöm!

      Törlés
  16. Szia Ildikó! Segitenél nekem, hogy kell azt a feledatot megoldani? : "Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, a hatodik pedig 40?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. 5*q^3 = 40
      q^3 = 8
      harmadikgyököt vonunk
      q = 2

      Törlés
  17. Kedves Ildikó!
    Már kaprunk tőled segítséget, de most térgeometriában akadtunk el.
    5 cm élű kockánk van, melynek az alábbi adatait kellene kiszámolni:
    - HD és FG szöge és távolsága
    -HD és ABCD szöge
    -E és BCFG távolsága
    - F és ABCD távolsága
    - A és HDBF távolsága
    - F és ADHE távolsága

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Petra! A kocka csúcsainak betűzése: alaplap: A, B, C, D. Fedőlap: E, F, G, H, úgy, hogy A "fölött" van E; B "fölött" van F, C fölött van G, és D fölött van H.
      HD és FG szöge = 90° (HD és FG kitérő egyenesek, távolságuk HG)
      HD és ABCD szöge = 90° (HD él merőleges az alaplapra)
      E és BCFG távolsága = 5 cm
      F és ABCD távoldága = 5 cm
      A és HDBF távolsága Pitagorasz-tétellel (csúcs és átlósík távolsága = az alap négyzetlap átlójának fele)
      x^2 + x^2 = 5^2
      2·x^2 = 25
      x^2 = 12,5
      x = ·√12,5

      F és ADHE távolsága = 5 cm (csúcs és lap távolsága = FE él)

      Törlés
  18. Kedves Ildikó,ennek a feladatnak a megoldása érdekelne.Válaszát előre is köszönöm!
    Egy mértani sorozat harmadik eleme 6, a hetedik eleme 54. Határozza meg az elsı 10 elem
    összegét!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Márk!
      a3 = 6
      a7 = 54
      -----------
      6·q^4 = 54
      q^4 = 9
      |q| = √3
      q1 = √3
      q2 = -√3

      a1 = 6:q^2
      a1 = 2

      I.
      S10 = 2·(√3^10 - 1)/(√3 -1) ~ 663

      II.
      S10 = 2·((-√3)^10 - 1)/(-√3 - 1) ~ -177,29

      Törlés
    2. Nagyon szépen köszönöm,nekem is hasonló eredmény jött ki, csak zavart , hogy nem egész szám ezért bizonytalanodtam el.Viszont lenne még egy feladatom amivel elindulni se nagyon tudtam,örök hálám ha útmutatást ad nekem!:)
      Egy erdő faállománya 3500 m3. A mindenkori állomány évenként 3%-kal gyarapszik, és
      kétévenként a meglevı állomány 2%-át kivágják. Mennyi fa lesz az erdıben 20 év múlva?

      Törlés
    3. Szia Márk!
      Gyarapodás: 1,03^20
      Csökkenés: 0,98^10

      3500·1,03^20·0,98^10 ~ 5165 (m^3)

      Törlés
    4. Nagyon szépen köszönöm a segítséget!Életet mentett! :)

      Törlés
  19. Köszönöm szépen!!! Nagyon sokat segített ez az oldal :) !!!

    VálaszTörlés
  20. Válaszok
    1. Nem. A bejegyzés elején van példa q = 1/10 -re és q = - 3 .ra is.

      Törlés
  21. hali segítseg kellen
    ki találta fel a számtani sorozatokat ?

    VálaszTörlés
  22. Kedves Ildikó! Segítene a megoldásban? Egy mértani sorozat első tagja 3,n-edik tagja 729, első n tag összege 1092. Melyik ez a sorozat?
    Köszönöm! Edit

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Edit!
      an = a1*q^(n-1) képletbe helyettesítünk először:
      729 = 3*q^(n-1)
      243 = q^(n-1)
      mindkét oldalt szorozzuk q-val:
      243q = q^n

      Aztán az összegképletbe helyettesítünk:
      Sn = a1*((q^n - 1)/(q - 1)
      1092 = 3*(243q - 1)/(q - 1)
      364 = (243q - 1)/(q - 1)
      364(q - 1) = 243q - 1
      364q - 364 = 243q - 1
      121q = 363
      q = 3

      A sorozat:
      3; 9; 27; 81; 243; 729.

      Törlés
  23. Kedves Ildikó! A köv.feladatnál elakadtunk. Egy mértani sorozat második tagja 3 , hatodik tagja 12. Mennyi az első tíz tagjának összege? Addig eljutottunk, hogy 4 egyenlő q a negyedikennel. De innen hogyan kell a q-t kiszámolni?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Negyedik gyököt kell vonni 4-ből.
      q-ra két megoldás lesz:
      q1 = negyedik gyök 4
      q2 = - negyedik gyök 4
      Úgy hogy S10 számításánál a nevezőben figyelni kell az előjelre.

      Törlés
  24. Kedves Ildikó! Köszönöm a gyors választ, de lenne egy kérésem. Levezetné nekem innen, hogyan kell az a1-et, és utána az S10-et kiszámolni? Az autista fiamnak próbálnám elmagyarázni, mert utána, ha begyakorolja az ilyen típusú feladatokat, akkor menni fog neki.én egy anyuka vagyok, csak a nagyfiam volt ide bejelentkezve, ezért az ő neve alatt kérdeztem .

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Ezt a megjegyzést eltávolította a szerző.

      Törlés
    2. Üdvözlöm!
      a1 = a2/q
      negyedik gyök 4 = második gyök 2 = √2
      I. esetben
      a1 = 3/√2
      S10 = a1(q^10 - 1)/(q - 1)
      S10 = 3/√2•((√2)^10 - 1)/(√2 - 1))
      Számológéppel kiszámolva:
      S10 ~ 158,757

      II. eset
      a1 = - 3/√2
      S10 = -3/√2•((-√2)^10 - 1)/(-√2 - 1))
      S10 ~ 27,24

      Törlés
  25. Nagyon köszönöm, ez nekem-nekünk nagy segítség!

    VálaszTörlés
  26. Egy kis segítségre lenne nekem is szükségem.
    Számtani, mértani sorozat vegyes feladat.
    3 tagú számtani sorozat elemeinek összege S=84
    3 tagú mértani sorozat tagjainak összege S=91
    a(sz)= számtani sorozat tagjai
    a(m)= mértani sorozat tagjai
    a1(sz)=a1(m)
    a2(sz)+1=a2(m)
    a2(sz)+6=a3(m)
    Kérdések: q; d és a tagok.
    Előre is köszönöm.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia András! A számtani sorozatban:
      a1 + a2 + a3 = 84
      a1 + a1+d + a1 + 2d = 84
      3a1 + 3d = 84
      a1 + d = 29
      d = 28 - a1

      A mértani sorozatban:
      b1 + b2 + b3 = 91
      a1 + a2 + 1 + a2 + 6 = 91
      a1 + a1+d+1 + a1+d+6 = 91
      3a1 + 2d + 7 = 91
      3a1 + 2d = 84

      Ebbe behelyettesítjük d-re kapott kifejezést:
      3a1 +2(28-a1) = 84
      3a1 + 56 - 2a1 = 84
      a1 + 56 = 84
      a1 = 28
      Így d=0
      A számtani sorozat: 28, 28, 28

      A mértani:
      28, 29, 34. Ez viszont nem mértani sorozat, így nincs megoldása a feladatnak.

      Törlés
    2. Kedves Ildikó!
      Nagyon köszönöm a gyors választ.
      Elnézést, de most vettem észre, hogy rosszul írtam. Helyesen a3(sz)+6=a3(m), azaz a3+6=b3. És itt elakadok, mert a számtaninál és a mértaninál is ezt kapom: a1+d=28.

      Törlés
    3. Szia! A mértani sorozat szomszédos elemeinek a hányadosa állandó:
      b3 / b2 = b2 / b1
      (a3 + 6) / (a2 + 1) = (a2 + 1) / a1
      - szorzás a nevezőkkel
      - a1 = 28 - d behelyettesítése
      - összevonások
      - 0-ra redukálás után kapjuk a következő egyenletet:

      d² + 6d - 111 = 0

      (A gyök alatt nem lesz négyzetszám)
      d' ~ 7,955 -------> a1' ~ 20,045
      d" ~ - 13,955 -----> a1" ~ 41,955
      S ezekkel szépen ki is jön a két mértani sorozat is.

      Törlés
    4. Kedves Ildikó!
      Köszönöm a segítséget!
      András

      Törlés
  27. Sziasztok,tudna nekem valaki segíteni ebben: Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. A sorozat első n tagjának összege
    440. Adja meg n értékét?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia! Az adatokat helyettesítsd be az
      Sn = [2a1 + (n-1)d]*n/2 képletbe.
      Így egy egyenletet kapsz s le tudod vezetni n-re.

      Törlés
  28. Helló:) ellenörzőre a tanárunk megadta a következő feladatot: Határozd meg a számtani sorozat első elemét, ha a hetedik tag -2, a kilencedik tag pedig 2.
    Nem értem, 2 dolgot adott meg és hogy számoljam ki?
    üdv Adrienn

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. a7 = -2
      a9 = 2
      Látszik, hogy a differencia 2.
      a1 = a7 - 6d = -2 - 12 = -14.
      Tehát ez a számtani sorozat a következő:
      -14, -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2.

      Törlés
  29. Szia Ildikó! A következő mértani sorozat számításában kérném a segítségedet: Egy mértani sorozat negyedik tagja 5, tizennegyedik tagja pedig 5120. Határozza meg a sorozat 6. tagját. Köszönöm a segítségedet!
    üdv Zoli

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Zoli!
      q^10 = 5120/5 = 1024
      q^2 = 4
      a6 = a4*q^2 = 5*4 = 20

      Törlés
  30. Hogyan kell meg oldani a mértani sorozatok témából a következő feladatot?
    a3 36-tal nagyobb az a2-nél
    a3Xa2=-243
    Mennyi az a1 és a q?

    1 és 16 közé iktasson hét számot úgy, hogy a megadottakkal együtt egy mértani sorozat szomszédos elemei legyenek

    a1+a2+a3=57
    a1-a3=15
    q1=2/3 q2=-7/8
    Mennyi az a1?

    1 és 16 közé iktasson hét számot úgy, hogy a megadottakkal együtt egy mértani sorozat szomszédos elemei legyenek

    egy mértani sorozat ötödik eleme 10. Mennyi az első kilenc tag szorzata?

    Előre is köszönöm szépen :)

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Az első kérdésed egy sima kétismeretlenes egyenletrendszer. Az első behelyettesíted a másodikba:
      a3 - 36 = a2
      a3 × a2 = - 243
      --------------------
      a3(a3 - 36) = - 243
      Beszorzás után kapsz egy másodfokú egyenletet, megoldóképlettel megoldod.

      a1 = 1
      a9 = 16 = a1×q^8
      Nyolcadik gyököt vonsz, q = ±√2.

      Harmadik kérdésed: 10^9.

      Törlés
  31. Szia Ildikó! Szeretnék Tőled egy kis segítséget kérni az alábbi feladat megoldásához.
    Egy mértani sorozat második tagja 12. Ha a sorozat első tagjához 4-et, a másodikhoz 3-at, a harmadikhoz pedig 1-et adunk, egy számtani sorozat egymást követő elemeit kapjuk. Mennyi a mértani sorozat hányadosa?
    Köszönöm: Mónika

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Mónika!
      Mértani sorozat: 12/q; 12; 12q
      Számtani sorozat elemei: 12/q + 4; 15; 12q + 1
      Számtani sorozat szomszédos elemeinek különbsége állandó:

      (12q + 1) - 15 = 15 - (12/q + 4)
      12q - 14 = 11 - 12/q
      12q² - 14q = 11q - 12
      12q² - 25q + 12 = 0
      A másodfokú egyenlet gyökei a mértani sorozat hányadosa(i).

      Törlés
    2. Szia Ildikó! Köszönöm szépen az előző gyors választ. Most ismét egy házi feladat megoldásában kérném a segítségedet. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának összege 126, szorzatuk 13824. Határozzuk meg a sorozat hányadosát. Köszönöm szépen, üdv.: Mónika

      Törlés
    3. Szia Mónika!
      a1 + a1×q + a1×q² = 126
      a1×a1×q×a1×q² = 13824
      -----------------------------
      a1(1 + q + q²) = 126
      a1³×q³ = 13824
      ---------------------------
      A második egyenletből köbgyököt vonunk:
      a1×q = 24
      Az első egyenletet elosztjuk a másodikkal:
      (1 + q + q²)/q = 5,25
      Szorzunk q-val, majd 0-ra redukáljuk az egyenletet:
      q² - 4,25q + 1 = 0
      Megoldóképlettel:
      q1 = 4
      q2 = 1/4

      Törlés
    4. Köszönöm szépen, további szép estét kívánok! :-)

      Törlés
  32. Üdv!
    Nem tudom hogyan számoljam ki ezt:
    Egy mértani sorozatban az első és a harmadik tag összege 34, a második és negyedik tag összege 136. Határozza meg a sirozat első öt tagját

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. a1 + a3 = 34
      a2 + a4 = 136
      ----------------
      a1 + a1×q² = 34
      a1×q + a1×q³ = 136
      -------------------
      a1(1 + q²) = 34
      a1(q + q³) = 136
      -----------------
      A két egyenletet elosztjuk és a számlálóban kiemelünk q-t:
      q(1 + q²)/(1 + q²) = 136/34
      Egyszerűsítés után:
      q = 4
      Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe:
      a1(1 + 4²) = 34
      a1 = 2
      A sorozat:
      2; 8; 32; 128; 512

      Törlés
  33. Szia Ildikó! Ismét segítséget szeretnék kérni Tőled.
    1. feladat
    Egy mértani sorozat 3 egymást követő tagjához rendre 1-et, 14-et és 2-t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Adjuk meg a mértani sorozat 3 egymást követő tagját és a számtani sorozat különbségét!
    2. feladat
    Egy számtani sorozat 3 egymást követő tagjához rendre 6-ot, 7-et és 12-t adva egy olyan mértani sorozat 3 egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata 13824. Határozzuk meg e sorozat hányadosát.
    Nagyon szépen köszönöm előre is, ha el tudnád küldeni. Szia, szép estét!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A számtani sorozat középső tagja 50. (150/3)
      Így a mértani sorozat középső tagja 36 (50 - 14).
      A mértani sorozat első tagja 36/q, harmadik tagja 36q.
      Ezekkel felírva a számtani sorozat összegét:
      36/q + 1 + 50 + 36q + 2 = 150.
      Ez egy másodfokú egyenlet, megoldóképlettel megoldva:
      q1 = 2,25
      q2 = 4/9
      S ebből már ki tudod számolni a két sorozat elemeit mindkét esetben.
      A második kérdésed már biztosan megy önállóan is.

      Törlés
    2. Nagyon szépen köszönöm, szép estét kívánok. :-)

      Törlés
  34. Egy mértani sorozat első tagja -3, az ötödik tag-48. Adjuk meg a sorozat hányadosát, számítsuk ki a nyolcadik elemét, és az első nyolc tag összegét.

    VálaszTörlés
  35. Kedves Ildikó!
    Szeretném segítségét kérni ebben a feladatban.
    Egy mértani sorozat első tagja 60, hányadosa 1,1.
    Az első tagtól kezdve legalább hány egymást követő tagot kell összeadnunk ebben a sorozatban ahhoz, hogy az összege elérje a 6786-ot?
    Előre is köszönöm

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A mértani sorozat összegképletébe be kell helyettesíteni az adatokat és levezetni n-re az egyenletet:
      60(1,1^n - 1)/(1,1 - 1) = 6786
      60(1,1^n - 1)/0,1 = 6786
      600(1,1^n - 1) = 6786
      1,1^n - 1 = 11,31
      1,1^n = 12,31
      n = lg12,31/lg1,1 ~ 26,339
      Legalább 27 tagot kell összeadni.

      Törlés
    2. Köszönöm a megoldását.

      Törlés
  36. Kedves Ildikó!

    Szeretném segítségét kérni. Egy mértani sorozat első tagja -3, az ötödik tag-48. Adjuk meg a sorozat hányadosát, számítsuk ki a nyolcadik elemét, és az első nyolc tag összegét.

    Köszönöm.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Kérdező! Be kell helyettesíteni a mértani sorozat n-edik tagjának képletébe!
      -3·q^4 = -48
      q^4 = 16
      q1 = 2
      q2 = -2

      I. sorozat
      a8 = -3·2^7 = -384
      S8 = -3·(2^8 - 1)/(2 - 1) = -771

      II. sorozat
      a8 = -3·(-2)^7 = 384
      S8 = -3·((-2)^8 - 1)/(-2-1) = 257

      Törlés
  37. Kedves Ildikó!

    Segítségét kérném a következő feladatban:
    Egy mértani sorozat második tagja -7, a hányadosa 3. Adjuk meg a sorozat következő tagját: a5.
    Köszönöm.

    VálaszTörlés
  38. Üdv Ildikó!

    A következő sorozatok közül ki kell választani, hogy melyik számtani és mértani!
    an=4-17*n/9
    bn=5*2^n-1
    cn=12*n-30
    dn=n^2-25/n+5

    Köszönöm a megoldását!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Üdv!
      Azt tanácsolom, hogy mindegyiknek számold ki az első 4-5 elemét és nézd meg, hogy összeadással vagy szorzással megy-e a szabály.

      Törlés
  39. Kedves Ildikó. a segítséged szeretném kérni egy feladathoz. egy mértani sorozat első három tagjának összeges 105. az első és második tag különbsége 15. melyik ez a sorozat ?

    előre is nagyon köszönöm

    VálaszTörlés
  40. a1 + a1∙q + a1∙q² = 105
    a1 - a1·q = 15
    Kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani.
    a1(1 + q + q²) = 105
    a1(1 - q) = 15
    ---------------------
    a1 = 15 / (1 - q)
    Ezt kell behelyettesíteni az első egyenletbe.
    Szorzunk a nevezővel, osztunk 15-tel:
    1 + q + q² = 7(1 - q)
    Másodfokú egyenlet megoldása.
    Két megoldást kapsz q-ra (~0,69 és ~ -8,69)
    Ennek megfelelően két ilyen sorozat van.

    VálaszTörlés
  41. nagyon szépen köszönöm. még lenne egy ami szintén megfogott. egy mértani sorozat első három tagjának összege 49. a negyedik,ötödik, hatodik tag összege 392. határozd meg a mértani sorozat hányadosát, első tagját és az első öt tag összegét. nagyon köszönjük, már vért izzadunk vele

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. a1 + a1·q + a1·q² = 49
      a1·q³ + a1·q⁴ + a1·q⁵ = 392
      -------------------------
      Szorzattá alakítás:
      a1(1 + q + q²) = 49
      a1·q³(1 + q + q²) = 392
      ----------------------
      Második egyenletet elosztjuk az első egyenlettel. Lehet egyszerűsíteni a1-gyel és a zárójeles tényezővel.

      q³ = 8
      q = 2
      Visszahelyettesítéssel a1 = 7.

      Törlés
  42. Feladat! Határozzuk meg x-et , ha 5az x-ediken +2 , 5 az X-1 ediken , 3x5 az X- ediken +4 mértani haladványban vannak

    VálaszTörlés
  43. Kedves Ildikó. a segítséged szeretném kérni egy feladathoz. egy mértani sorozat első és negyedik elemének szorzata 48, második és harmadik elemének összege 16. add meg a sorozatot és az első 10 tag összegét!egyszerűen sehogy sem értem a feladatot :( a segítséget előre is megköszönném

    VálaszTörlés