Halmazok

A halmaz, elem, eleme fogalmak alapfogalmak, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal meghatározni őket. 'Halmaz' alatt összességet értsünk, az 'eleme' szó helyett használhatjuk a beletartozik, hozzátartozik szavakat.

Egy-egy konkrét halmazt viszont meg tudunk határozni. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, s így néhány példa halmazra:
A = {Budapest lakosai}
B = {Magyarország tavai}
C = {x² kisebb 5 egész megoldásai}
D = {3; 5; 7}
stb.

A lényeg, hogy úgy kell megadni, meghatározni egy halmazt, hogy bármiről eldönthető legyen, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem.


Például: Rogán Antal eleme az A halmaznak; az Aral nem eleme a B halmaznak; -1 eleme a C halmaznak; a 4 nem eleme a D halmaznak.


Még véletlenül sem próbáltam eldönteni, hogy -1 eleme-e az A halmaznak. Azért, mert a halmaz tulajdonságából látszik, hogy milyen alaphalmazból válogatjuk az elemeit. Például az A halmaz esetén Magyarország lakosai közül.


Azt mondjuk, hogy az A részhalmaza Magyarország lakosai halmazának. (Magyarország lakosainak halmaza pedig részhalmaza Európa lakosai halmazának).


B részhalmaza Eurázsia tavai halmazának.

C részhalmaza a racionális számok halmazának.

D részhalmaza a páratlan számok halmazának.


Azt a halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele az áthúzott nulla.

Megállapodás szerint az üres halmaz részhalmaza bármely halmaznak. Úgyanígy minden halmaz részhalmaza önmagának.


Példa:

Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!

1.) üres halmaz
2.) {a}
3.) {b}
4.) {c}
5.) {a, b}
6.) {a, c}
7.) {b, c}
8.) {a, b, c}


Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.

Jelölések:

(Folyt.köv. a halmazműveletekkel)