Kamatos kamat

Az 1,5 millió forintos betétállomány 10 év alatt, 7%-os kamat esetén mekkora összegre növekszik?

Első év végére: 1500000*1,07 Ft
Második év végére: (1500000*1,07)*1,07 Ft
Harmadik év végére:((1500000*1,07)*1,07)*1,07 Ft

És így tovább.
Tízedik év végére: 1500000*1,07¹⁰ Ft.
Ez 2950727 Ft.

Hány százalékos az évi átlagos értékcsökkenése annak a gépnek, amit 6,2 millió forintért vásároltak, s 8 év múlva 3,1 millió forintért lehetett eladni?

6200000*x⁸ = 3100000 /:6200000
x⁸ = 0,5
x = nyolcadikgyök 0,5
x = 0,917
Csökkenés: 1 - 0,917 = 0,083

Tehát évente 8,3%-kal csökken az érték.

Hány év alatt duplázódik meg a 1,5 millió forintos betétállomány, ha évenkénti tőkésítéssel évi 6% kamatot ad a bank?

1500000*1,06^x = 3000000 / : 1500000
1,06^x = 2

Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát vesszük, s a bal oldalon alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:

lg 1,06^x = lg2
x*lg1,06 = lg2 /: lg1,06
x = lg2 : lg1,06
x = 11,896

Tehát a 12. év végére duplázódik meg a pénz.

Exponenciális egyenletek

Ha egy egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, azt exponenciális egyenletnek nevezzük. Az ilyen egyenletek megoldásakor - ha lehet -, akkor megpróbáljuk az egyenlet két oldalát azonos alapú hatványként felírni, s ezek egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége (mert az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű).

Példák:
2^x = 16
2^x = 2⁴
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
x = 4
--------
(1/5)^2x+3 = 125
(5^-1)^2x+3 = 5³
5^-2x-3 = 5³
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
-2x-3 = 3
-2x = 6
x = -3
--------
10^x = 0,0001
10^x = 10^-4
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért
x = -4
--------

(1/125)^3x+7 = ötödikgyök(25^4x+3)

Az ötödikgyököt átírjuk 1/5-dik kitevőre;
illetve alkalmazzuk a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot: kitevőket összeszorozzuk.

(5^-3)^3x+7 = ((5²)^4x+3)^1/5
5^-9x-21 =(5^8x+6)^1/5
5^-9x-21 = 5^(8x+6)/5
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
-9x - 21 = (8x + 6)/5
-45x - 105 = 8x + 6
-111 = 53x
-111/53 = x
--------

Egy másik módszer, hogy új ismeretlent vezetünk be, annak érdekében, hogy egyszerűbben kezelhessük az egyenletet.

Példa:
4*5^x+1 + 3*5^x - (1/10)*5^x+2 = 20,5

A hatványozás szabályait alkalmazzuk, s a kitevőkben lévő összeadásokat visszaírjuk azonos alapú hatványok szorzatára:

4*5*5^x + 3*5^x - (1/10)*5²*5^x = 20,5

y-nal jelölve 5^x-t:

20y + 3y - 2,5y = 20,5
20,5y = 20,5
y = 1

Visszahelyettesítve:
5^x = 1
5^x = 5⁰
x = 0
--------
Néha előfordulnak ilyenek is:

6^x = 11^x

Mindkét oldalt osztjuk 11^x-nel, s mivel azonos a kitevő, átírjuk tört hatványára a bal oldalt:

6^x/11^x = 1
(6/11)^x = 1

s egy számnak a nulladik hatványa lesz 1, így x = 0.

Statisztikai számítások

Egy dobókockával 20-szor dobtunk, s táblázatba foglaltuk, hogy melyik számot hányszor dobtuk:

szám: 1 2 3 4 5 6

darab: 3 4 3 5 2 3

A táblázat alapján a 20 adat növekvő sorrendben: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6. Az adathalmazt mintának is szoktuk nevezni.

Gyakoriságnak nevezzük egy adat előfordálasának számát. Például az 5-ös szám gyakorisága 2.

A fenti táblázatot gyakorisági táblázatnak nevezzük.

Átlag (számtani közép): az adatok összege osztva az adatok számával. Jelen példában: (3*1 + 4*2 + 3*3 + 5*4 + 2*5 + 3*6):20 = 3,4

Módusznak nevezzük a leggyakoribb adatot. Jelen esetben legtöbbször a 4-es fordul elő, így a módusz = 4. Ha lenne még egy adat, ami szintén ötször fordulna elő, akkor két módusza lenne az adathalmazunknak. Tehát móduszból lehet több is.

Mediánnak nevezzük a (növekvő vagy csökkenő) sorba rendezett adatok középső elemét. Ha 21-szer dobtunk volna, akkor a sorba rendezett adatok tizenegyedik eleme lenne a medián. Most páros darab adat van, ilyenkor a két középső adat átlagát nevezzük mediánnak. Így most a tizedik és a tizenegyedik adat átlagát kell kiszámolni: (3 + 4):2 = 3,5.

A minta terjedelmének nevezzük a legnagyobb és a legkisebb adat különbségét. Jelen esetben ez 6 -1 = 5.

Nagyobb mennyiségű adatnál fordul elő, hogy nem egyenként soroljuk fel azokat, hanem osztályokba soroljuk. Például két osztályba sorolva a fenti adatokat:

osztály: 1-3 4-6

kum.gy: 10 10

Ilyenkor az egy osztályba tartozó adatok számát kumulált gyakoriságnak nevezzük.

Osztályközépnek nevezzük az osztály alsó és felső határának átlagát. Az első osztály osztályközepe a 2; a második osztály osztályközepe az 5.

Így az osztályközepekkel számolva az adatok átlaga: (10*2 + 10*5):20 = 3,5. Tehát az osztályközepekkel számított átlag nem feltétlenül egyezik meg az adatok számtani közepével. Osztályközepek használatakor bizonyos részletek elvesznek.

Adatok ábrázolása: az adatok gyakoriságát ábrázoljuk általában oszlopdiagramon vagy kördiagramon:

Példa: Az egyik osztály matematika dolgozatainak átlagpontszáma 81, a másik osztályé 72 pont. Az első osztályba 24, a másodikba 30 diák jár. Mennyi a két osztály dolgozatainak átlagpontszáma?

A két osztályba együtt 54 fő jár, s ahhoz, hogy az átlagot ki tudjuk számolni, tudni kell a összes dolgozat pontszámainak összegét.
Ez az összeg: 81*24 + 72*30 = 4104.
Ezt osztjuk 54-gyel.
Így a két osztály átlaga: 76 pont.