Számok normálalakja

A nagy és kis számok rövid leírását segíti a számok normálalakja. Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényezőt úgy alakítjuk ki, hogy 1 és 10 közé essen, a második tényező pedig 10 megfelelő hatványa.

Itt a "megfelelő" azt jelenti, hogy amennyivel az első tényezőt vissza kell szorozni, hogy az eredeti számot visszaállítsuk.

Példák:
30000 = 3*10⁴
403 = 4,03*10²
5 = 5 (vagy 5*10⁰, bár egy és 10 közötti számokat nem nagyon írunk át)
0,006 = 6*10^-3
0,02 = 2*10^-2
A Föld tömege: 6000000000000000000000 t. Ez normálalakban: 6*10²¹t
A proton tömege: 0,00000000000000000000000167 gramm. Ez normálalakban: 1,67*10^-24 gramm.

Műveletek normálalakú számokkal

1.) Váltsuk át a Föld tömegét grammba!
1 t = 10⁶ g
6*10²¹*10⁶ = 6*10²⁷
Tehát a Föld tömege 6*10²⁷ gramm.

2.) Hány darab proton tömegével egyenlő a Föld tömege?
(6*10²⁷ g):(1,67*10^-24 g) =
(6:1,67)*(10²⁷:10^-24) =
3,59*10⁵¹
Tehát a Föld tömege megközelítőleg 3,59*10⁵¹ darab proton tömegével egyenlő.

3.) Végezzük el az alábbi műveletet:
2,5*10⁵*1,6*10^-3*5*10^-4 =
2,5*1,6*5*10⁵*10^-3*10^-4=
20*10^-2 =
2*10^-1 =
0,2.

Egy szorzásban a tényezők tetszőleges sorrendbe rendezhetők.
Összeadásban vissza kell írni a számokat helyi értékes alakba!
Példa:
4,08*10³ + 9,98*10^-1 =
4080 + 0,998 =
4080,998

Elképzelhető olyan összeadás, vagy kivonás, ahol a közös tényező kiemelése célszerű.
Példa:
5*10⁴ + 6*10⁵ - 7*10³ =
(5*10 + 6*10² - 7)*10³ =
(50 + 600 - 7)*10³ =
643*10³ =
6,43*10⁵

A Föld felszínének mintegy kétharmadát tenger borítja, ennek átlagos mélysége 3,8km. Becsüljük meg, hogy hány m³ életterük van a tengeri élőlényeknek! (A Föld sugara kb. 6370km.)

A feladat megoldásának lépései a következők lesznek:
1.) az adatokat méterbe váltjuk,
2.) kiszámoljuk a Föld felszínét,
3.) vesszük a Föld felszínének 2/3-át, ez lesz a tengerek felszíne,
4.) a tengerek felszínét szorozzuk az átlagos mélységgel, ez lesz a keresett térfogat.

1.) mélység = 3,8*10³ m
r = 6,37*10⁶ m

2.) A = 4*r²*3,14
A = 4*(6,37*10⁶)²*3,14
A = 4*6,37²*10¹²*3,14
A = 509,65*10¹²
A = 5,0965*10¹⁴

Tehát a Föld felszíne megközelítőleg 5,1*10¹⁴ m².

3.) Tengerek felszíne =
5,1*10¹⁴*2/3 =
3,4*10¹⁴

Tehát a Föld tengereinek felszíne megközelítőleg 3,4*10¹⁴ m².

4.) Tengerek térfogata =
3,4*10¹⁴*3,8*10³ =
12,92*10¹⁷ =
1,292*10¹⁸

Tehát a tengeri élőlényeknek megközelítőleg 1,3*10¹⁸ m³ víz áll a rendelkezésükre.

Százalékszámítás

Elnevezések:
alap (100%)
százalékláb
százalékérték

1.) Mennyi 2500kg 43%-a?
alap = 2500kg
százalékáb = 43%
százalékérték = ?

A századrészek jele a %. 43% = 43/100 rész.
1%-ot így 100-zal való osztással számítunk.
43% pedig az 1% 43-szorosa.

2500 kg 1 %-a = 2500kg:100= 25kg
2500 43%-a = 25kg*43 = 1075kg.

Ugyanezt másképp is kiszámolhatjuk:
43/100 = 0,43 és törtrészt szorzással számolunk.
2500kg*0,43 = 1075kg.

Ezt a módszert, tehát a százalékláb tizedestört alakjával való műveletvégzést, használjuk a leggyakrabban.

2.) Melyik mennyiség 43%-a a 2500kg?
alap = ?
százalékérték = 2500kg
százalékláb = 43%

Első megoldási mód: egyenes arányossággal számolunk:
43% ---> 2500kg
1% ---> 2500kg:43 = 58,14kg
100% ---> 5814kg.

Második mód:
Ha egy mennyiség törtrészét ismerjük, s ebből kell kiszámolni az egész mennyiséget, akkor azt röviden a törttel való osztásssal tehetjük meg:
2500kg : 0,43 = 5814kg.

3.) Hágy %-a 350kg a 2500kg-nak?
alap = 2500kg
százalékérték = 350kg
százalékláb = ?

Egyenes arányossággal számoljuk ki:
100% ---> 2500kg
1% ---> 25kg
x% ---> 350kg
---------------
x = 350:25 = 14
Tehát 14%-a.

Ahányszor belefér a 350kg-ba az 1%-nak megfelelő érték, annyi % lesz a 350kg:
350 : (2500:100) = százalékláb.
százalékérték : (alap : 100) = százalékláb.

4.) Két szám összege 2250. Az egyiknek a 12%-a egyenlő a másiknak a 18%-ával. Melyik ez a két szám?

Az egyik szám jele legyen x.
Ekkor a másik számot így kell kiszámolni: 2250 - x.
x - nek a 12%-át így számoljuk: x*0,12.
2250-x 18%-át így számoljuk ki: (2250-x)*0,18.

A feladat szerint ezek egyenlők:
x*0,12 = (2250-x)*0,18 / zárójelbontás
x*0,12 = 405 - x*0,18 / + x*0,18
x*0,3 = 405 / : 0,3
x = 1350

Tehát az egyik szám az 1350. A másik szám 2250-1350, azaz 900.

Ellenőrzés:
1350 12%-a = 1350*0,12 = 162.
900 18%-a = 900*0,18 = 162.

5.) 3 liter 80%-os oldathoz hány liter 50%-os oldatot kell öntenünk, hogy 55%-os töménységű oldatot kapjunk?

Ha egy oldal 80%-os az azt jelenti, hogy az egész oldat 80%-a az oldott anyag mennyisége. Így az első oldatban 3*0,8 liter az oldott anyag. (2,4 liter)

A második oldat mennyiségét jelöljük x-szel. x liter 50%-os oldatban x*0,5 liter az oldott anyag.

Az összeöntés után 3 + x liter lesz az oldat. Ennek 55%-a az oldott anyag: (3+x)*0,55 liter.

2,4 + x*0,5 = (3+x)*0,55 / zárójelbontás
2,4 + x*0,5 = 1,65 + x*0,55 / - 1,65
0,75 + x*0,5 = x*0,55 / - x*0,5
0,75 = 0,05*x / : 0,05
15 = x

Tehát 15 liter 50%-os oldat kell.

Ellenőrzés:
3 liter 80%-a = 2,4 liter
15 liter 50%-a = 7,5 liter
Oldott anyagok összege= 2,4 liter + 7,5 liter = 9,9 liter
18 liter 55%-a = 18*0,55 = 9,9 liter.

Abszolútértékes egyenletek

Gyakorlatiasan fogalmazva: egy szám abszolútértékének nevezzük a szám nullától való távolságát. A nulla és a pozitív számok abszolútértéke önmaga a szám, míg a negatív számok abszolútértéke a szám ellentettje.

Például:
|5| = 5
|0| = 0
|-4| = 4

Melyik szám abszolútértéke 12,8? Ezt a kérdést úgy is átfogalmazhatjuk, hogy melyik szám van a számegyenesen 12,8 egység távolságra a 0-tól?

Két ilyen szám van: 12,8 és -12,8.

Ugyanezt a kérdést így is fel lehet tenni: oldjuk meg a racionális számok halmazán az |x|=12,8 egyenletet!
|x| = 12,8
x₁ = 12,8
x₂ = -12,8

Mely valós számokra igaz, hogy |2x - 1| = 7?
Az abszoútértéken belüli kifejezés értéke vagy 7, vagy -7:
a) 2x - 1 = 7 / +1
2x = 8 / : 2
x₁ = 4

b) 2x - 1 = - 7 / + 1
2x = - 6 / : 2
x₂ = - 3

Ellenőrzés:
a) |2*4 - 1| = |8 - 1| = |7| = 7
b) |2*(-3) - 1| = |-6 - 1| = |-7| = 7.

Egyenlőtlenségek

Egyenlőtlenségeket is ugyanúgy mérlegelvvel oldunk meg, mint egyenleteket, csak van két művelet, amelyeknél megfordul a relációjel:

a) Szorzás negatív számmal
Például:
2 < 3
-2 > -3

b) Reciprok
Például:
2 < 3
1/2 > 1/3

Ha az egyenlőtlenség két oldala ellenkező előjelű, akkor reciprok képzésnél nem fordul meg a relációjel.
Példa:
-2 < 3
-1/2 < 1/3
Most nézünk néhány példát egyenlőtlenségek levezetésére: Mely racionális számokra teljesül:

3(2x + 2) - 7x < x + 5 /zárójelbontás
6x + 6 - 7x < x + 5 /összevonás
6 - x < x + 5 / -5
1 - x < x /+x
1 < 2x / :2
1/2 < x
Tehát az 1/2-nél nagyobb racionális számok az egyenlőtlenség igazsághalmazának elemei.
---------------------------------

Ha a turista naponta 20 km-rel többet haladna, mint valójában, akkor 8 nap alatt több mint 900 km-t jutna előre. De ha naponta 12 km-rel kevesebbet haladna naponta, akkor 10 nap alatt sem jutna előre 900 km-t. Hány km-t halad naponta?

Jelölés: x jelöli a naponta megtett utat (km)
Első mondat:
8(x + 20) > 900 / zárójelbontás
8x + 160 > 900 / - 160
8x > 740 / : 8
x > 92,5

Második mondat:
10(x - 12) < 900 / zárójelbontás
10x - 120 < 900 / + 120
10x < 1020
x < 102
 Tehát 92,5 km-nél többet és 102 km-nél kevesebbet halad naponta a turista.

-----------------------------------
Mely valós számokra igaz: (x - 2) / (x + 2) < 0

 I. Törtes egyenlőtlenségnél mindig ki kell szűrni az egyenlet alaphalmazából azokat a számokat, ahol a nevező 0 lenne (mert 0-val nem osztunk). Az x + 2 kifejezés akkor lenne 0, ha x = -2. Ezért az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az R\{-2} halmaz. (Ez a -2-től különböző valós számok halmaza.)

II. 0-nál akkor kisebb egy tört értéke, ha a számláló és a nevező ellenkező előjelű. Ezért két lehetőséget vizsgálunk meg:
a) számláló pozitív és a nevező negatív: x - 2 > 0 és x + 2 < 0 /számokat átrendezzük jobbra
x > 2 és x < -2
Ilyen szám nincs.

b) számláló negatív és a nevező pozitív: x - 2 < 0 és x + 2 > 0 /jobb oldalra rendezzük a számot
x < 2 és x > -2

Tehát az egyenlőtlenség megoldásai a -2-nél nagyobb és 2-nél kisebb valós számok.

Törtes és abszolútértékes egyenlőtlenségek megoldását találjátok ezen az oldalon:
http://www.ivonyildiko.hu/2012/02/egyenlotlensegek/

Kétismeretlenes egyenletrendszer

Egy láda a benne lévő géppel együtt 500 kg. 6 üres láda és 8 gép tömege 3800 kg. Hány kilogramm egy láda?

Két ismeretlenünk van: a láda tömege és a gép tömege.
Az első mondat, illetve egyenlet: láda + gép = 500

A második mondat, azaz egyenlet: 6láda + 8gép = 3800

Az első egyenlet alapján: láda = 500 - gép. A láda tömegének ezt az alakját behelyettesítjük a második egyenletbe:

6(500 - gép) + 8gép = 3800 / zárójelbontás
3000- 6gép + 8gép = 3800 / összevonás
3000 + 2gép = 3800 / - 3000
2 gép = 800 / :2
gép = 400

Egy gép tömege 400 kg.
Egy láda tömege 500kg - 400kg = 100 kg.
Tehát egy láda tömege 100 kg.

Sokkal egyszerűbb és áttekinthetőbb lesz a levezetés betűk használatával:
x := láda tömege
y := gép tömege

x + y = 500
6x + 8y = 3800

Ezt a kétismeretlenes egyenletrendszert behelyettesítéssel oldjuk meg. Az első egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent:

x + y = 500 / mindkét oldalból elveszünk y-t
x = 500 - y


Az x-nek ezt az alakját helyettesítjük a második egyenletbe:


6(500 - y) + 8y = 3800 / zárójelbontás
3000 - 6y + 8y = 3800 / összevonás
3000 + 2y = 3800 / - 3000
2y = 800 / :2
y = 400
x = 500 - 400 = 100


x-szel jelöltük a láda tömegét, tehát egy láda 100 kg.


Ellenőrzés:

6 láda tömege = 6*100 kg = 600 kg.
8 gép tömege = 8*400 kg = 3200 kg.
Tömegük együtt 3800 kg.

Helyi értékes szöveges

Egy újabb típus jön az elsőfokú egyismeretlenes egyenletekből: helyi értékes szöveges feladat.
Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 3:2. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti feléné 21-gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám?

Ismétlés:
Ha egy 5-öst az egyesek helyére írunk, az 5-öt ér.
Ha a tízesek helyére írjuk, akkor 50 a valódi értéke.
Ha a százasok helyére, akkor 500 a valódi értéke. És így tovább.

Ha y egy jegyet jelöl, s azt az egyes helyi értékre írjuk, az y-t ér.
Ha a tízes helyi értékre írjuk, akkor 10y a valódi értéke..
Ha a százas helyre írjuk, ott 100y a valódi értéke. É így tovább.

Most visszatérve a feladatra, x-szel jelölök egy arányos részt. Így az első jegy 3x alakú, a második 2x.

Tízes helyi értéken 3x a számjegyünk, így valódi értéke 30x.
Az egyes helyi értéken 2x a számjegy, így valódi értéke 2x.
Az eredeti számunk ezek összege: 32x.

Felcseréljük a számjegyeket: 2x kerül a tízes helyi értékre, így valódi értéke 20x.
3x van az egyes helyi értéken, valódi értéke 3x. A szám ezek összege: 23x.

Az eredeti szám (32x) fele = 16x. Ettől nagyobb 21-gyel az új szám: 16x + 21.

Az egyenlet: 16x + 21 = 23x / -16x
21 = 7x /:7
3 = x.

Egy arányos rész 3, így az eredeti szám első jegye 9. Második jegye 6. A keresett szám a 96.

Ellenőrzés: 96 fele 48. Ettő 21-gyel nagyobb a 69. S ez éppen az eredeti szám felcserélt jegyekkel.

A feladatot próbálgatással is megoldhattuk volna. Csak három olyan kétjegyű szám van, amelyben a jegyek aránya 3:2. Ezek: 32, 64, 96. Kis számolással ellenőrizhetjük, hogy csak az utóbbi felel meg a többi feltételnek.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek II.

Az előző bejegyzést folytatva a témában, most egy másik típusú szöveges feladatot oldunk meg:

Marci 14 km/h egyenletes sebességgel elindul egy kerékpártúrára. Nándor két óra múlva kismotorral utána indul, sebessége 21 km/h. Mennyi idő múlva éri utol Marcit?

A mozgási szöveges feladatoknál 3 mennyiséget, és kapcsolatukat, kell figyelembe venni: út, idő, sebesség. Ezt a 3 adatot jegyzeteljük ki a szövegből, mégpedig amit tudunk azt számmal, amit nem tudunk azt betűvel jelölve.

Marci:

út: s

idő: t

sebesség: 14 km/h

Nándor:

út: s

idő: t - 2

sebesség: 21 km/h

út = sebesség*idő; s ezt írjuk le mindkét fiú adataival.

Marci: s = 14*t

Nándor: s = 21*(t - 2)

A két egyenlet bal oldala ugyanaz (s), ezért a jobb oldalak is egyenlőek:

14*t = 21*(t - 2) /osztunk 7-tel (így kisebb számokkal kell majd dolgoznunk)

2*t = 3*(t - 2) /zárójelbontás

2*t = 3*t - 6 / mindkét oldalból elveszünk 3*t - t

- t = - 6 /mindkét oldalt szorozzuk -1-gyel

t = 6

Marci 6 órát kerékpározott, amikor Nándor utolérte.

Nándor pedig 4 óra motorozás után érte utol Marcit.

Ellenőrzés:

Marci 6 óra alatt 14 km/h sebességgel 6*14 = 84 km-t tett meg.

Nándor 4 óra alatt 21 km/h sebességgel 4*21 = 84 km-t.