2013. december 25., szerda

Algebrai törtek

Algebrai törteknek nevezzük az olyan kifejezéseket, amelyekben változó van a nevezőben. Például 1/a; vagy (x^2 - 1)/(x - 1); stb.
Ugyanolyan műveleteket végezhetünk algebrai törtekkel, mint törtszámokkal. Előbb azonban ki kell kötni, hogy milyen szám nem lehet a nevezőben lévő változó, hiszen nullával nem osztunk. Például az 1/a esetén az a kikötés, hogy a ≠ 0. A második példa esetén a nevező akkor lenne nulla, ha x = 1, ezért itt azt kell kikötni, hogy x ≠ 1.

Algebrai törtek egyszerűsítését (is) ugyanúgy végezzük el, mint törtszámok esetén: a számláló és a nevező közös osztóját (vagy osztóit) kell megtalálni, s ezzel a közös osztóval lehet egyszerűsíteni. Ehhez előbb szorzattá alakítjuk mindkettőt.
Például az (x^2 - 1)/(x - 1) esetén

  • a számláló szorzatalakja: (x +1)(x -1); 
  • a nevező szorzatalakja: 1*(x - 1).

Így az (x - 1) tényezővel lehet egyszerűsíteni:
(x^2 - 1)/(x - 1) = x + 1 (x≠1)

9 megjegyzés:

  1. Mi az a trükk, amikor felcserélem az algebrai tört nevezőjének sorrendjét? Pl. valami/3-x helyett valami/x-3 lesz. Köszönöm a segítséget!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Például ha közös nevezőre kell hozni két algebrai törtet, és az egyik nevezője 3-x, a másik nevezője x-3.
      Az első törtet bővíted (-1)-gyel (számlálót is, nevezőt is szorzod -1-gyel). Ekkor a nevezőben:
      (3-x)*(-1) = x-3
      S így már közös nevezőn is vannak a törtek.

      Törlés
  2. Sziasztok!

    Régi sárga feladatgyűjteményből van néhány egyenlet. Egészrészes és másodfokúak. Ki tud benne segíteni?
    Előre is köszönöm szépen!

    Üdv:
    Robi

    VálaszTörlés
  3. Jó napot kívánok!

    Nem értek egy feladatsort...Tudna nekem segíteni?

    (1/a+1/b+x/ab)*(1/a+1/b-x/ab)(a+b-x) /1/a2+1/b2+2/ab-x2/a2b2

    Válaszát előre is köszönöm!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. A nevezőben az első három tag egy nevezetes azonosság:
      1/a^2 + 1/b^2 + 2/(ab) = (1/a + 1/b)^2

      Így a nevezőben egy újabb nevezetes azonosság alakult ki: két négyzet különbsége:

      (1/a + 1/b)^2 - (x/ab)^2 = (1/a + 1/b + x/ab)(1/a + 1/b - x/ab)

      S ezzel a két tényezővel pont lehet egyszerűsíteni a számlálót. Így egyszerűsítés után a tört egyenlő: a + b - x

      Törlés
  4. Kedves Ildikó!

    Remélem, tud segíteni a következő példában, nagyon elakadtam...

    (6x^2-4x / 24+6x^2) * ( x+4 / 9x^2-12x+4) Előre is nagyon köszönöm! Üdv, Ildi

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Szia Ildi! Amit lehet szorzattá kell alakítani, és egyszerűsíteni.
      6x^2 - 4x = 2x(3x - 2)
      9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2
      Itt lehet egyszerűsíteni a (3x - 2) tényezővel.

      24 + 6x^2 = 6(4 + x^2)
      De a második tört számlálójában az x nincs a négyzeten, így itt nem lehet egyszerűsíteni.
      A számlálóban van egy 2-es tényező, a nevezőben egy 6-os tényező, még ezeket lehet egyszerűsíteni:
      x(x + 4) / (x^2 +4)(3x - 2).

      Törlés
    2. Köszönöm szépen a gyors választ! Igen, itt akadtam el én is, akkor ez a feladat hibás lehet a Sokszínű matematika könyvben....
      Nagyon sok segítséget kapunk az oldal tanulmányozásával, ezúton is köszönjük szépen! Élvezetes így a matek!

      Törlés
  5. Valaki segítene ebben? Algebrai törtek összevonása : a / 4a a másodikon -9 + a / 4a a másodikon - 12a + 9 =
    Fontos lenne!!

    VálaszTörlés