Színes golyók

Egy dobozban van 70 golyónk; közülük 20 piros, 20 zöld, 20 sárga, és a maradék 10 közül néhány fekete, a többi fehér. Becsukott szemmel legalább hány darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen 10 azonos színű golyónk?

OKM_2

Dóra számítástechnika órán a szövegszerkesztés alapjait tanulja. A feladata az volt, hogy tervezze meg a ballagási meghívóját. A meghívó a következő szöveget tartalmazza:
"Ballagási meghívó
Sok szeretettel meghívlak június 15-én délután 3-kor tartandó ballagásomra: Dóra"

A meghívók nyomtatását végző nyomda csak a következő feltételeknek megfelelő szövegek nyomtatását vállalja:
A betű típusa:

• Times New Roman
• Ariel
• Calisto MT
• Lucida Sans

A betű színe: fekete, piros, arany, ezüst

A betűk változata: normál, félkövér, dőlt, aláhúzott.

Egyéb megjegyzés: A teljes szöveg azonos típusú, színű és változatú betűkből álljon!

A nyomda lehetőségeit figyelembe véve hány különböző lehetőség közül választhat Dóra a meghívó tervezésekor?

---------------

4-féle típusból választhat Dóra; ezeken belül 4-féle színből, s ezeken belül 4 féle változatból. Így 4*4*4 féle meghívót készíttethet. Röviden: 4³.

---------------

A feladat a kombinatórika témakörbe tartozik. Ezen belül gyakoriak még a "kézfogásos", "koccintásos", "hány egyenest határoznak meg" kérdések. Például:

5 ember találkozik, mindenki mindenkivel kezet fog. Összesen hány kézfogás történt? Vagy: egy 5 fős társaságban mindenki mindenkivel koccint. Összesen hány koccintást hallunk? Vagy: egy körvonal 5 pontja hány egyenest határoz meg?

Mindegyik kérdésre a válasz: 5*4/2 = 10.

Egy ember 4 másikkal fog kezet (vagy koccint), s ez így 5*4 lenne, de így minden kézfogás kétszer van megszámolva (oda-vissza), ezért osztani kell 2-vel.

Vagy a pontok esetében: egy pont 4 másikkal köthető össze, de az 5*4 szorzatban minden egyenes kétszer van megszámolva (oda-vissza), ezért osztani kell kettővel.

Másképp is kiszámolhatók:

Az első pont 4 másikkal köthető össze; a második pont 3-mal nincs még összekötve; a harmadik pont 2-vel köthető még össze; a negyedik pont még 1 ponttal köthető össze. Összesen: 4+3+2+1 = 10 egyenes.

Tízedikeseknek

Május végén országos kompetenciamérés lesz a tízedikeseknek, szövegértésből, matematikából. A következő bejegyzésekben az előző évek feladatsoraiból nézünk meg egy-egy feladatot. Javaslom, hogy a feladatokat először próbáljátok önállóan kiszámolni, majd utána nézzétek meg a megoldást.

Egy 36cm×54cm-es puzzle 120 darab közel azonos méretű kis építőelemből áll. Ugyanilyen méretű kis puzzledarabkákból hány darabra van szükség egy 45cm×63cm-es puzzle összeállításához. Satírozd be a helyes válasz betűjelét!
A 175
B 150
C 1011
D 82

--------
1. Először kiszámoljuk egy darabka területét.
2. Utána kiszámoljuk, hogy hány darab ilyen területű darabkából jön ki a második terület.
--------
1.
36cm×54cm = 1944cm²

1944cm²:120 = 16,2cm²

2.
45cm×63cm = 2835cm²

2835cm² : 16,2cm² = 175

Tehát 175 darab szükséges.

Másik megoldási lehetőség:

Ahányszor nagyobb a második terület, mint az első, annyiszor több darabkából rakható ki - egyenes arányosság.

(2835:1944)*120 = 175.

Hová tűnt 1 területegység?

Láncszemek

Öt láncdarab mindegyikén három láncszem van. Egyetlen láncot szeretnénk belőle készíteni úgy, hogy a lehető legkevesebb láncszemet nyissuk szét. Mennyi ez?

Halmazok számossága

Egy 25 fős osztályban mindenki tanul angolt vagy németet. Angolul 18-an, németül 17-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az alaphalmazban az osztály tanulói vannak, összesen 25-en. Az alaphalmaz számossága 25. Így jelöljük: |U| = 25.
Két tulajdonságot különböztetünk meg: angolul tanulók, németül tanulók. Bármely tanuló legalább az egyik halmaznak eleme.

Az angolul tanulók halmazának 18 eleme van, azaz számossága 18. Így jelöljük: |A|=18.
A németül tanulók halmazának 17 eleme van, azaz számossága 17. Így jelöljük: |B|=17.

Azok a tanulók, akik mindkét nyelvet tanulják a két halmaz metszetének elemei. A kérdés a metszet számossága. A 18+17 összegben kétszer szerepel a metszet elemszáma: aki mindkét nyelvet tanulja arra igaz az is, hogy angolt tanul, és az is, hogy németet.

Az osztálylétszámban viszont mindekinek egyszer kell szerepelnie. Hány tanulót számoltunk meg kétszer? 35 - 25 = 10. Tehát 10 tanuló tanulja mindkét nyelvet.

Egy osztály tanulóinak 2/3 része angolul tanul, 3/4 része pedig franciául. 10 tanuló mindkét nyelvet tanulja. Hányan járnak az osztályba, ha mindenki tanul legalább egy nyelvet?

Ismét a metszet elemei szerepelnek mindkét halmazban, az angolul tanulók halmazában is, és a franciául tanulók halmazában is.
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12.
Ahányad résszel több ez az összeg az 1 egésznél, az osztály annyiad része van a metszetben:
1 - 17/12 = 12/12 - 7/12 = 5/12.

Az osztály 5/12 része 10 fő.
Így az 1/12 rész 2 fő.
A 12/12 rész 24 fő.
Tehát az osztályban 24 diák tanul.

Egy 30 fős osztályban 20-an tanulnak angolul, nem tanulnak németet 17-en, és két olyan diák van, akik sem németül, sem angolul nem tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az, hogy "nem tanulnak németet" azt jelenti, hogy a németül tanulók halmazának komplementere 17 főt tartalmaz. Így a halmaz számossága 30 - 17 = 13 fő. Tehát 13 fő tanul németet.

Az idegen nyelvet tanulók száma: 30 - 2 = 28.
Akik mindkét nyelvet tanulják: (20 + 13) - 28 = 5.
Tehát mindkét nyelvet 5 diák tanulja.

Műveletek halmazokkal

Metszet

Két halmaz metszete halmaz. Azok az elemek tartoznak a metszetbe, melyek mindkét halmaznak elemei. Példa:

A={1; 2; 3}

B={a; b; c}

C={2; 3; b}


A és B metszete = üres halmaz

A és C metszete = {2; 3}

B és C metszete = {b}


Három halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak, melyek mindhárom halmaznak elemei. Az előbbi három halmaz metszete (közös része) az üres halmaz.


Unió

Két halmaz uniója halmaz. Azok az elemek tartoznak az unióba, melyek legalább az egyik halmaznak elemei. Például:


A és B uniója = {1; 2; 3; a; b; c}

A és C uniója = {1; 2; 3; b}

B és C uniója = {a, b; c; 2; 3}

A három halmaz uniója = {1; 2; 3; a; b, c}


Különbség

Két halmaz különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a különbségbe, melyek az első halmaznak elemei, de a másodiknak nem. Például:


A\B = {1; 2; 3}

A\C = {1}

B\C = {a; c}

C\A = {b}


Komplementer

Egy halmaz komplementere halmaz. Az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak egy A halmaz komplementerébe, melyek nem elemei az A halmaznak. Például:


Alaphalmaz = {pozitív, egyjegyű egészek} esetén az A halmaz komplementere =
{4; 5; 6; 7; 8; 9}


Szimmetrikus különbség

Két halmaz szimmetrikus különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a szimmetrikus különbségbe, amelyek a két halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. Például:


A és C szimmetrikus különbsége = {1; b}

B és C szimmetrikus különbsége = {a; c; 2; 3}