Matek otthon

Szinusztétel

2012-02-01T04:09:00.000+01:00

Egy feladaton keresztül ismerkedünk meg a szinusztétellel. Egy háromszög egyik oldala 12cm, másik 9cm hosszú; valamint a 12cm-es oldallal szemközt 68°-os szög van. Számítsuk ki a 9cm-es oldallal szemközti szöget!

Ahhoz, hogy szögfüggvényt tudjunk alkalmazni a szögszámításhoz, szükség van derékszögű háromszögre. Ezért meghúzzuk a harmadik oldalhoz tartozó magasságot.

Így
sin68° = m/9
amiből
m = 9sin68°

A másik derékszögű háromszögben:
sinß = m/12
amiből
m = 12sinß

Ezért
12sinß = 9sin68°
sinß =9sin68°/12
sinß ~ 0,6954

Egy háromszög szögei nagyobbak 0°-nál és kisebbek 180°-nál. Ebben a tartományban egy hegyesszögnek is, és egy tompaszögnek is ennyi a szinusza: 44,06°-nak és 135,94°-nak. Eszünkbe jut azonban, hogy egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög.
Mivel 9cm < 12cm, így most csak a 44,06° lehet ß.

Általánosan is:

A háromszög két oldalának aránya (hányadosa) egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával (hányadosával).
Egy háromszögben az oldalak aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával.

Szögek ívmértéke

2011-08-09T04:23:00.000+02:00

Nem csak fokban adhatjuk meg a szögek nagyságát. A szöghöz, mint középponti szöghöz tartozó ív hosszával is jellemezhetjük a szögeket és összehasonlíthatjuk egymással őket.

Nézzük meg, hogy az 1 egység sugarú kör 1 egység hosszú ívéhez hány fokos középponti szög tartozik!

A teljes kör középponti szöge 360°. Az ehhez tartozó ívhossz a kör kerülete:

360° --> 2*1*3,14
360° --> 6,28

Az a kérdés, hogy hány fokhoz tartozik 1?

ß --> 1
--------------
ß = 360/6,28
ß = 57,3°

1 radiánnak nevezzük annak a középponti szögnek az ívmértékét, amelyhez az 1 sugarú körben 1 hosszú ív tartozik.

Az előző példa alapján 1 radián körülbelül 57,3°.

Számold ki, hogy a 3 egység sugarú körben a 3 egység hosszú ívhez hány fokos középponti szög tartozik!

Majd utána nézd meg a következő animációt, ahol egy 6 egység sugarú kör különböző ívhosszait láthatod - attól függően, hogy mekkora középponti szöget állítasz be. A pirossal jelölt D pontot megfoghatod az egérrel, s mozgathatod a köríven:

http://www.squarecirclez.com/blog/radians-an-introduction/4661

Szögek kiszámítása

2011-08-01T15:28:00.000+02:00

A távolságok kiszámítása mellett a szögek meghatározása a szögfüggvények másik alkalmazási területe. Például: határozzuk meg a 3; 4, 5 egység oldalú derékszögű háromszög hegyesszögeit!

A 3 egység hosszú oldallal szemközti szöget jelöljük x-szel. Ekkor

sinx = 3/5
sinx = 0,6

A számológéptől most a szinusz fordított műveletét kell megkérdezni: melyik az a hegyesszög, amelynek a szinusza 0,6. Ennek a műveletnek a neve arkuszszinusz (arcsin0,6), de nem így jelölik a számológépeken. Hanem sin^-1 - nel.

x ~ 36,87°

Számolhattuk volna tangenssel is ezt a szöget:

tgx = 3/4
tgx = 0,75

Megnézzük melyik hegyesszög tangense 0,75, azaz arctg0,75 értékét (számológépen tg^-10,75).

x ~ 36,87°

A másik hegyesszög kiszámítására már több lehetőség is van, például 90°-ból kivonjuk az ismert hegyesszöget:
90°-36,87°= 53,13°.

Távolságok kiszámítása

2011-07-24T02:50:00.001+02:00

Az előző bejegyzésben tárgyalt szögfüggvények egyik alkalmazásáról lesz most szó: szakaszok hosszának kiszámítása.

Példa: egy derékszögű háromszög átfogója 8cm, egyik hegyesszöge 23°. Mekkorák a befogók?

Derékszögű háromszögben oldalak és szögek közötti összefüggéseket a szögfüggvények írnak le. 'a'-val jelölöm a 23°-os szöggel szemközti befogót:

sin23°= a/8

Számológéppel megnézzük sin23° értékét:

0,3907 = a/8

Szorzunk a nevezővel:

3,126 = a.

A másik befogót, a 23° melletti befogót, innentől már többféleképpen is kiszámíthatjuk: koszinusszal, kotangenssel, Pitagorász-tétellel:

cos23°= b/10
ctg23°= b/3,126
8² = 3,126² + b²

Vannak olyan számológépek, amelyeken nincs ctg billentyű. Ha valaki mindenáron kotangenssel akar számolni, akkor egy összefüggést kell előbb észrevennie a tg és a ctg között. Ha visszapörgettek az előző bejegyzéshez, akkor észrevehető, hogy a tgalfa és ctgalfa egymás reciprokai (a/b illetve b/a).
Ezért ctg23°-ot úgy tudjuk meghatározni, hogy előbb megnézzük tg23° értékét (számológépen tan23), majd ennek vesszük a reciprokát. A reciprok kiszámításához használjátok az 1/x billentyűt!

Még egy dolog, amire figyelni kell a számológépeken: a 'MODE' beállítása. Amikor a szögek mértékegysége fok, akkor 'DEG' legyen a beállítás. Van lehetőség arra, hogy a szögeket radiánban adjuk meg, s így számoljunk a szögfüggvényeikkel. Ilyenkor 'RAD' legyen a beállítás.

Visszatérve a példához:
cos23°= b/8
0,9205 = b/8
7,364 = b.

Tehát a derékszögű háromszög befogói 3,125cm és 7,364cm.

Hegyesszögek szögfüggvényei

2011-07-17T04:18:00.000+02:00

Hasonló derékszögű háromszögeket fogunk most megvizsgálni.

Ez a két derékszögű háromszög hasonló, mert szögeik egyenlők (90°és alfa). Így oldalaik aránya állandó:
3/5 = 0,6
x/10 = 0,6

Ha ezt a háromszöget tovább nagyítanánk - nem csak kétszeresre, mint az ábrán, hanem háromszorosra, négyszeresre, vagy kicsinyítenénk felére, harmadára, stb. - ez az arány akkor sem változik, továbbra is 0,6 marad.

Az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,6.

Nagyításkor, kicsinyítéskor a szögek nem változnak, csak az oldalak hossza. Ezek a hosszúságok azonban ugyanannyiszorosra változnak, így arányuk állandó marad.

Ha azonban megváltoztatnánk az alfa szöget, egyből megváltozna a befogó és az átfogó aránya is.

Derékszögű háromszögben az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya csak az alfa szögtől függ, ezt az arányt nevezzük szinusz alfának. A fenti ábrán szinusz alfa = 0,6.

Mekkora ez az alfa szög? Táblázatból nézhetjük meg (vagy számológép segítségével), hogy alfa körülbelül 37°-os szög. (Ha szerkesztünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója 3 egység, átfogója 5 egység, s megmérjük az alfát, körülbelül 37°-ot olvashatunk le a szögmérőről.)

Már az ókori görög matematikusok foglakoztak ilyen problémákkal: táblázatba foglalták egy kör középponti szögeit és a hozzájuk tartozó húrok hosszát. Az első ilyen szinusztáblázatot Hipparkhosz készítette.

Derékszögű háromszögben az alfa hegyesszög szögfüggvényei:

szinusz alfa = szöggel szemközti befogó / átfogó
koszinusz alfa = szög melletti befogó / átfogó
tangens alfa = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó
kotangens alfa = szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó.

Koordináta geometria bevezető

2011-04-22T12:00:00.004+02:00

Készítettem egy videót a koordináta geometria bevezető anyagairól: merőleges vektorok, felezőpont, súlypont. Ezt most a Matek Otthon új Facebook oldalára töltöttel fel, ide kattintva érheted el.

Úgy gondolom, hogy a Facebookon egyszerűbbé válik a "beszélgetés" egymással.

Lájkolj! Szólj hozzá! Kérdezz! Válaszolj a többiek kérdésére!

Már feltöltöttem a YouTube-ra is:

Százalékszámítás, törtszámok

2010-11-10T03:42:00.004+01:00

A százalékszámításról és a törtszámokkal végzett műveletekről készítettem egy nagyon részletes, aprólékos magyarázatokat, és rengeteg példamegoldást tartalmazó e-könyvet.

Sok-sok kérdést kaptam mind a százalékszámítás, mind a törtes műveletek, a törtész és egészrész kiszámításával kapcsolatban. Remélem segítek ezzel a könyvvel.

Az alábbi linkről tudjátok letölteni a Százalékszámítás, törtszámok című anyagot:

http://www.scribd.com/full/41786263?access_key=key-2bls0wbscegj7t1ne6em

Hasonlóság

2010-08-21T10:56:00.004+02:00

A geometriai műveletek közül a hasonlóságra készítettem ezt a kis videót: a párhuzamos szelők tételéről és a hasonló háromszögek tulajdonságairól.

Nézzétek még meg a témakörhöz ezt az oldalt: Párhuzamos szelők

Pitagorasz-tétel

2010-08-03T13:43:00.004+02:00

Pitagorasz időszámításunk előtt a VI. században élt, matematikus, filozófus volt. Róla nevezték el a következő összefüggést, bár nem ő fedezte fel. Már korábban is ismerték Babilonban, Egyiptomban és Kínában is.

A Pitagorasz-tételt egy kis videón mutatom be:

A bizonyításához pedig ezt a remek videót találtam:

Valószínűségszámítási feladatok

2010-07-30T07:00:00.019+02:00

A valószínűségszámítás izgalmas, viszonylag modernebb ága a matematikának.
Az alapfogalmakról, összefüggésekről készítettem egy e-füzetet, mintapéldákkal.
Iratkozz fel és e-mailben küldöm a valószínűségszámítási feladatokat.

Szórás

2010-07-15T17:24:00.005+02:00

Adatsorok jellemzéséhez a középértékeken (átlag, medián, módusz) kívül azt is fontos ismerni, hogy ezekhez viszonyítva hogyan helyezkednek el az adatok; azaz a szóródásukat.

Ezek a szóródási mutatók:

1. Terjedelem (legnagyobb és legkisebb adat különbsége).

2. Középeltérés (a mediántól való eltérések abszolútértékének átlaga).

3. Átlagos abszolúteltérés (a számtani középtől való eltérések abszolútértékének átlaga).

4. Szórás

A szórás kiszámításának lépései:

1. Kiszámítjuk az adatok számtani közepét.

2. Kiszámítjuk az adatok eltérését a számtani középtől (adat - számtani közép)

3. Vesszük ezeknek az eltéréseknek a négyzetét.

4. Kiszámítjuk ezeknek az "eltérés négyzeteknek" a számtani közepét.

5. Végül ebből négyzetgyököt vonunk.

Példa
Az 5; 6; 10 adatsor szóródási mutatói

1.) Terjedelem = 10 - 5 = 5.

2.) Középeltérés:
medián = 6
mediántól való eltérések abszolútértéke: 1; 0; 4
ezek átlaga = 1, 66.

3.) Átlagos abszolúteltérés
átlag = 7
átlagtól való eltérések abszolútértéke: 2; 1; 3
ezek átlaga = 2.

4.) Szórás
adatok eltérése a számtani középtől: -2; -1; 3
ezek négyzete: 4; 1; 9
ezek számtani közepe: 4,67
ennek négyzetgyöke: 2,16.

Törtes egyenletek

2010-06-14T18:35:00.001+02:00

Vektorok

2010-05-22T07:27:00.001+02:00

Az eltolásról, vektorok összeadásáról, kivonásáról készítettem egy kis videót.

Színes golyók

2010-05-19T17:56:00.005+02:00

Egy dobozban van 70 golyónk; közülük 20 piros, 20 zöld, 20 sárga, és a maradék 10 közül néhány fekete, a többi fehér. Becsukott szemmel legalább hány darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen 10 azonos színű golyónk?

OKM_2

2010-05-04T02:34:00.002+02:00

Dóra számítástechnika órán a szövegszerkesztés alapjait tanulja. A feladata az volt, hogy tervezze meg a ballagási meghívóját. A meghívó a következő szöveget tartalmazza:
"Ballagási meghívó
Sok szeretettel meghívlak június 15-én délután 3-kor tartandó ballagásomra: Dóra"

A meghívók nyomtatását végző nyomda csak a következő feltételeknek megfelelő szövegek nyomtatását vállalja:
A betű típusa:

Times New Roman
Ariel
Calisto MT
Lucida Sans

A betű színe: fekete, piros, arany, ezüst

A betűk változata: normál, félkövér, dőlt, aláhúzott.

Egyéb megjegyzés: A teljes szöveg azonos típusú, színű és változatú betűkből álljon!

A nyomda lehetőségeit figyelembe véve hány különböző lehetőség közül választhat Dóra a meghívó tervezésekor?

---------------

4-féle típusból választhat Dóra; ezeken belül 4-féle színből, s ezeken belül 4 féle változatból. Így 4*4*4 féle meghívót készíttethet. Röviden: 4³.

---------------

A feladat a kombinatórika témakörbe tartozik. Ezen belül gyakoriak még a "kézfogásos", "koccintásos", "hány egyenest határoznak meg" kérdések. Például:

5 ember találkozik, mindenki mindenkivel kezet fog. Összesen hány kézfogás történt? Vagy: egy 5 fős társaságban mindenki mindenkivel koccint. Összesen hány koccintást hallunk? Vagy: egy körvonal 5 pontja hány egyenest határoz meg?

Mindegyik kérdésre a válasz: 5*4/2 = 10.

Egy ember 4 másikkal fog kezet (vagy koccint), s ez így 5*4 lenne, de így minden kézfogás kétszer van megszámolva (oda-vissza), ezért osztani kell 2-vel.

Vagy a pontok esetében: egy pont 4 másikkal köthető össze, de az 5*4 szorzatban minden egyenes kétszer van megszámolva (oda-vissza), ezért osztani kell kettővel.

Másképp is kiszámolhatók:

Az első pont 4 másikkal köthető össze; a második pont 3-mal nincs még összekötve; a harmadik pont 2-vel köthető még össze; a negyedik pont még 1 ponttal köthető össze. Összesen: 4+3+2+1 = 10 egyenes.

Tízedikeseknek

2010-05-02T06:34:00.007+02:00

Május végén országos kompetenciamérés lesz a tízedikeseknek, szövegértésből, matematikából. A következő bejegyzésekben az előző évek feladatsoraiból nézünk meg egy-egy feladatot. Javaslom, hogy a feladatokat először próbáljátok önállóan kiszámolni, majd utána nézzétek meg a megoldást.

Egy 36cm×54cm-es puzzle 120 darab közel azonos méretű kis építőelemből áll. Ugyanilyen méretű kis puzzledarabkákból hány darabra van szükség egy 45cm×63cm-es puzzle összeállításához. Satírozd be a helyes válasz betűjelét!
A 175
B 150
C 1011
D 82

--------
1. Először kiszámoljuk egy darabka területét.
2. Utána kiszámoljuk, hogy hány darab ilyen területű darabkából jön ki a második terület.
--------
1.
36cm×54cm = 1944cm²

1944cm²:120 = 16,2cm²

2.
45cm×63cm = 2835cm²

2835cm² : 16,2cm² = 175

Tehát 175 darab szükséges.

Másik megoldási lehetőség:

Ahányszor nagyobb a második terület, mint az első, annyiszor több darabkából rakható ki - egyenes arányosság.

(2835:1944)*120 = 175.

Hová tűnt 1 területegység?

2010-04-06T16:22:00.001+02:00

Láncszemek

2010-04-03T14:26:00.002+02:00

Öt láncdarab mindegyikén három láncszem van. Egyetlen láncot szeretnénk belőle készíteni úgy, hogy a lehető legkevesebb láncszemet nyissuk szét. Mennyi ez?

Halmazok számossága

2010-03-21T04:14:00.005+01:00

Egy 25 fős osztályban mindenki tanul angolt vagy németet. Angolul 18-an, németül 17-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az alaphalmazban az osztály tanulói vannak, összesen 25-en. Az alaphalmaz számossága 25. Így jelöljük: |U| = 25.
Két tulajdonságot különböztetünk meg: angolul tanulók, németül tanulók. Bármely tanuló legalább az egyik halmaznak eleme.

Az angolul tanulók halmazának 18 eleme van, azaz számossága 18. Így jelöljük: |A|=18.
A németül tanulók halmazának 17 eleme van, azaz számossága 17. Így jelöljük: |B|=17.

Azok a tanulók, akik mindkét nyelvet tanulják a két halmaz metszetének elemei. A kérdés a metszet számossága. A 18+17 összegben kétszer szerepel a metszet elemszáma: aki mindkét nyelvet tanulja arra igaz az is, hogy angolt tanul, és az is, hogy németet.

Az osztálylétszámban viszont mindekinek egyszer kell szerepelnie. Hány tanulót számoltunk meg kétszer? 35 - 25 = 10. Tehát 10 tanuló tanulja mindkét nyelvet.

Egy osztály tanulóinak 2/3 része angolul tanul, 3/4 része pedig franciául. 10 tanuló mindkét nyelvet tanulja. Hányan járnak az osztályba, ha mindenki tanul legalább egy nyelvet?

Ismét a metszet elemei szerepelnek mindkét halmazban, az angolul tanulók halmazában is, és a franciául tanulók halmazában is.
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12.
Ahányad résszel több ez az összeg az 1 egésznél, az osztály annyiad része van a metszetben:
1 - 17/12 = 12/12 - 7/12 = 5/12.

Az osztály 5/12 része 10 fő.
Így az 1/12 rész 2 fő.
A 12/12 rész 24 fő.
Tehát az osztályban 24 diák tanul.

Egy 30 fős osztályban 20-an tanulnak angolul, nem tanulnak németet 17-en, és két olyan diák van, akik sem németül, sem angolul nem tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

Az, hogy "nem tanulnak németet" azt jelenti, hogy a németül tanulók halmazának komplementere 17 főt tartalmaz. Így a halmaz számossága 30 - 17 = 13 fő. Tehát 13 fő tanul németet.

Az idegen nyelvet tanulók száma: 30 - 2 = 28.
Akik mindkét nyelvet tanulják: (20 + 13) - 28 = 5.
Tehát mindkét nyelvet 5 diák tanulja.

Műveletek halmazokkal

2010-02-14T05:32:00.007+01:00

Metszet

Két halmaz metszete halmaz. Azok az elemek tartoznak a metszetbe, melyek mindkét halmaznak elemei. Példa:

A={1; 2; 3}

B={a; b; c}

C={2; 3; b}

A és B metszete = üres halmaz

A és C metszete = {2; 3}

B és C metszete = {b}

Három halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak, melyek mindhárom halmaznak elemei. Az előbbi három halmaz metszete (közös része) az üres halmaz.

Unió

Két halmaz uniója halmaz. Azok az elemek tartoznak az unióba, melyek legalább az egyik halmaznak elemei. Például:

A és B uniója = {1; 2; 3; a; b; c}

A és C uniója = {1; 2; 3; b}

B és C uniója = {a, b; c; 2; 3}

A három halmaz uniója = {1; 2; 3; a; b, c}

Különbség

Két halmaz különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a különbségbe, melyek az első halmaznak elemei, de a másodiknak nem. Például:

A\B = {1; 2; 3}

A\C = {1}

B\C = {a; c}

C\A = {b}

Komplementer

Egy halmaz komplementere halmaz. Az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak egy A halmaz komplementerébe, melyek nem elemei az A halmaznak. Például:

Alaphalmaz = {pozitív, egyjegyű egészek} esetén az A halmaz komplementere =
{4; 5; 6; 7; 8; 9}

Szimmetrikus különbség

Két halmaz szimmetrikus különbsége halmaz. Azok az elemek tartoznak a szimmetrikus különbségbe, amelyek a két halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. Például:

A és C szimmetrikus különbsége = {1; b}

B és C szimmetrikus különbsége = {a; c; 2; 3}

Halmazok

2010-01-17T14:43:00.008+01:00

A halmaz, elem, eleme fogalmak alapfogalmak, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal meghatározni őket. 'Halmaz' alatt összességet értsünk, az 'eleme' szó helyett használhatjuk a beletartozik, hozzátartozik szavakat.

Egy-egy konkrét halmazt viszont meg tudunk határozni. A halmazokat nagybetűkkel jelöljük, s így néhány példa halmazra:
A = {Budapest lakosai}
B = {Magyarország tavai}
C = {x² kisebb 5 egész megoldásai}
D = {3; 5; 7}
stb.

A lényeg, hogy úgy kell megadni, meghatározni egy halmazt, hogy bármiről eldönthető legyen, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem.

Például: Rogán Antal eleme az A halmaznak; az Aral nem eleme a B halmaznak; -1 eleme a C halmaznak; a 4 nem eleme a D halmaznak.

Még véletlenül sem próbáltam eldönteni, hogy -1 eleme-e az A halmaznak. Azért, mert a halmaz tulajdonságából látszik, hogy milyen alaphalmazból válogatjuk az elemeit. Például az A halmaz esetén Magyarország lakosai közül.

Azt mondjuk, hogy az A részhalmaza Magyarország lakosai halmazának. (Magyarország lakosainak halmaza pedig részhalmaza Európa lakosai halmazának).

B részhalmaza Eurázsia tavai halmazának.

C részhalmaza a racionális számok halmazának.

D részhalmaza a páratlan számok halmazának.

Azt a halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele az áthúzott nulla.

Megállapodás szerint az üres halmaz részhalmaza bármely halmaznak. Úgyanígy minden halmaz részhalmaza önmagának.

Példa:

Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!

1.) üres halmaz
2.) {a}
3.) {b}
4.) {c}
5.) {a, b}
6.) {a, c}
7.) {b, c}
8.) {a, b, c}

Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.

Jelölések:

(Folyt.köv. a halmazműveletekkel)

Mértani sorozat

2010-01-02T05:05:00.005+01:00

Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például:

2; 4; 8; 16; 32; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2.

1; 1/10; 1/100; 1/1000; ... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10.

1; -3; 9; -27; 81; -243, ... Itt a hányados -3.

A hányados neve kvóciens, jele q.

Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat.
Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a₁-gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei:

a₂ = a₁*q
a₃ = a₁*q²
a₄ = a₁*q³
...
a_n = a₁*q^n-1

Mértani sorozat első n elemének összege:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n
Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val.
q*S_n = a₂ + a₃ + ... + a_n+1
A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt.
q*S_n - S_n = a_n+1 - a₁
Behelyettesítjük a_n+1 = a₁*qⁿ -t.

q*S_n - S_n = a₁*qⁿ - a₁
S_n*(q - 1) = a₁*(qⁿ - 1)

S_n = a₁*(qⁿ - 1)/(q - 1)

Példa:
A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Hány szem búzát kellene fizetnie az uralkodónak?

A következő összeget keressük:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2⁶³

Ez egy mértani sorozat első 64 elemének az összege:
a1 = 1
q = 2
S₆₄ = ?
------
a₆₄ = a₁*q^64-1
a₆₄ = 1*2^64-1
a₆₄ = 2⁶³

S₆₄ = 1*(2⁶⁴ - 1)/(2 - 1)
S₆₄ = 2⁶⁴ - 1

Ez körülbelül 1,84*10¹⁹ darab búzaszem.
Ez egy 20-jegyű szám. Ha 16 szem búza tömegét 1 grammnak vesszük, akkor ennyi búza tömege:
1,153*10¹⁸ gramm = 1,153*10¹² tonna

Számtani sorozat

2009-12-29T07:58:00.003+01:00

0; 2; 4; 6; 8; 10; ..., a páros természetes számok sorozata. Számsorozatban mindig szabály szerint követik egymást az elemek. Ennek a sorozatnak az a szabálya, hogy az aktuális elemhez 2-t adva kapjuk a következő elemét a sorozatnak.

(Más szabályokkal is képezhetünk sorozatokat - például szorzással -, ezekről majd később.)

Az olyan sorozatokat, amelyben a szomszédos elemek különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. Ezt a különbséget differenciának nevezzü, s d-vel jelöljük.

A példa sorozatban d=2. Vannak még más jelölések is: az első elem jele: a₁; a második elem jele a₂; s így tovább; akárhanyadik (n-edik) elem jele a_n.

A példában a₁ = 0; a₂ = 2; a₃ = 4; a₄ = 6; s így tovább.

Az n-edik elem kiszámolására pedig képletet kell találni. Az 1. elemből úgy kapjuk a 2. elemet, hogy hozzáadunk 2-t. Az 1. elemből úgy kapjuk a 3. elemet, hogy hozzáadunk 2*2-t. Az 1. elemből úgy kajuk a 4. elemet, hogy hozzáadunk 3*2-t. És így tovább: az 1. elemből úgy kapjuk az akárhanyadikat, hogy hozzáadunk eggyel kevesebb differenciát:

a_n = 0 + (n-1)*2
Rendezés után:
a_n = 2n - 2

Ennek a képletnek a segítségével, például, az 500. elem kiszámítása:
a₅₀₀ = 2*500 - 2 = 998.

Általánosítva: számtani sorozat n-edik elemét igy számíthatjuk:
a_n = a₁ + (n-1)*d

Mennyi az előbbi példában az első 500 elem összege?
A sorozat elejét és végét szemügyre véve a következőt látjuk:
a₁ + a₅₀₀ = 998
a₂ + a₄₉₉ = 998
a₃ + a₄₉₈ = 998
S így tovább, olyan párokba rendezhetők a sorozat elemei, melyek összege mindig az első és az utolsó elem összegével egyenlő.

S hány ilyen párunk van? 500/2 darab. Így az első 500 elem összege: 998*250.

Általánosítva: számtani sorozat első n darab elemének összegét (melyet S_n-nel jelölünk) így számíthatjuk:
S_n = (a₁ + a_n)*n/2

Példa
Egy ovális alakú teniszcsarnokban a lelátón 17 sorban ülnek a nézők. A legfelső sorban 300 ülőhely van, és minden további sorban 13 hellyel kevesebb van, mint a felette lévőben. Teltház esetén hány szurkoló van a nézőtéren?

a₁ = 300
d = -13
n = 17
S_n = ?
--------
A összeg kiszámításához szükségünk van a 17. elemre:
a₁₇ = 300 + 16*(-13)
a₁₇ = 92

S₁₇ = (300 + 92)*17/2
S₁₇ = 3332
Tehát összesen 3332 néző fér el a stadionban.

Négy kettes

2009-12-12T06:48:00.004+01:00

Egy olvasói kérdésben merült fel, hogy melyik a négy darab kettes jeggyel felírható legnagyobb szám. Összeszedtem a lehetőségeket, s növekvő sorrendjük:

Nézzük részletesen:

222² = 49284

2^{2^2²} = 2^2⁴ = 2¹⁶ = 65536

22^2² = 22⁴ = 234256

22²² körülbelül 3,4*10²⁹

2²²² körülbelül 6,7*10⁶⁶

2^22² = 2⁴⁸⁴, a kitevő nagyobb, mint az előbb, így a hatványérték is.

2^2²² = 2^4194304, megint nagyobb a kitevő.

Kamatos kamat

2009-11-28T02:40:00.008+01:00

Az 1,5 millió forintos betétállomány 10 év alatt, 7%-os kamat esetén mekkora összegre növekszik?

Első év végére: 1500000*1,07 Ft
Második év végére: (1500000*1,07)*1,07 Ft
Harmadik év végére:((1500000*1,07)*1,07)*1,07 Ft

És így tovább.
Tízedik év végére: 1500000*1,07¹⁰ Ft.
Ez 2950727 Ft.

Hány százalékos az évi átlagos értékcsökkenése annak a gépnek, amit 6,2 millió forintért vásároltak, s 8 év múlva 3,1 millió forintért lehetett eladni?

6200000*x⁸ = 3100000 /:6200000
x⁸ = 0,5
x = nyolcadikgyök 0,5
x = 0,917
Csökkenés: 1 - 0,917 = 0,083

Tehát évente 8,3%-kal csökken az érték.

Hány év alatt duplázódik meg a 1,5 millió forintos betétállomány, ha évenkénti tőkésítéssel évi 6% kamatot ad a bank?

1500000*1,06^x = 3000000 / : 1500000
1,06^x = 2

Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát vesszük, s a bal oldalon alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:

lg 1,06^x = lg2
x*lg1,06 = lg2 /: lg1,06
x = lg2 : lg1,06
x = 11,896

Tehát a 12. év végére duplázódik meg a pénz.

Exponenciális egyenletek

2009-11-17T16:27:00.004+01:00

Ha egy egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, azt exponenciális egyenletnek nevezzük. Az ilyen egyenletek megoldásakor - ha lehet -, akkor megpróbáljuk az egyenlet két oldalát azonos alapú hatványként felírni, s ezek egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége (mert az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű).

Példák:
2^x = 16
2^x = 2⁴
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
x = 4
--------
(1/5)^2x+3 = 125
(5^-1)^2x+3 = 5³
5^-2x-3 = 5³
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
-2x-3 = 3
-2x = 6
x = -3
--------
10^x = 0,0001
10^x = 10^-4
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért
x = -4
--------

(1/125)^3x+7 = ötödikgyök(25^4x+3)

Az ötödikgyököt átírjuk 1/5-dik kitevőre;
illetve alkalmazzuk a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot: kitevőket összeszorozzuk.

(5^-3)^3x+7 = ((5²)^4x+3)^1/5
5^-9x-21 =(5^8x+6)^1/5
5^-9x-21 = 5^(8x+6)/5
Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így
-9x - 21 = (8x + 6)/5
-45x - 105 = 8x + 6
-111 = 53x
-111/53 = x
--------

Egy másik módszer, hogy új ismeretlent vezetünk be, annak érdekében, hogy egyszerűbben kezelhessük az egyenletet.

Példa:
4*5^x+1 + 3*5^x - (1/10)*5^x+2 = 20,5

A hatványozás szabályait alkalmazzuk, s a kitevőkben lévő összeadásokat visszaírjuk azonos alapú hatványok szorzatára:

4*5*5^x + 3*5^x - (1/10)*5²*5^x = 20,5

y-nal jelölve 5^x-t:

20y + 3y - 2,5y = 20,5
20,5y = 20,5
y = 1

Visszahelyettesítve:
5^x = 1
5^x = 5⁰
x = 0
--------
Néha előfordulnak ilyenek is:

6^x = 11^x

Mindkét oldalt osztjuk 11^x-nel, s mivel azonos a kitevő, átírjuk tört hatványára a bal oldalt:

6^x/11^x = 1
(6/11)^x = 1

s egy számnak a nulladik hatványa lesz 1, így x = 0.

Statisztikai számítások

2009-11-13T16:07:00.008+01:00

Egy dobókockával 20-szor dobtunk, s táblázatba foglaltuk, hogy melyik számot hányszor dobtuk:

szám: 1 2 3 4 5 6

darab: 3 4 3 5 2 3

A táblázat alapján a 20 adat növekvő sorrendben: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6. Az adathalmazt mintának is szoktuk nevezni.

Gyakoriságnak nevezzük egy adat előfordálasának számát. Például az 5-ös szám gyakorisága 2.

A fenti táblázatot gyakorisági táblázatnak nevezzük.

Átlag (számtani közép): az adatok összege osztva az adatok számával. Jelen példában: (3*1 + 4*2 + 3*3 + 5*4 + 2*5 + 3*6):20 = 3,4

Módusznak nevezzük a leggyakoribb adatot. Jelen esetben legtöbbször a 4-es fordul elő, így a módusz = 4. Ha lenne még egy adat, ami szintén ötször fordulna elő, akkor két módusza lenne az adathalmazunknak. Tehát móduszból lehet több is.

Mediánnak nevezzük a (növekvő vagy csökkenő) sorba rendezett adatok középső elemét. Ha 21-szer dobtunk volna, akkor a sorba rendezett adatok tizenegyedik eleme lenne a medián. Most páros darab adat van, ilyenkor a két középső adat átlagát nevezzük mediánnak. Így most a tizedik és a tizenegyedik adat átlagát kell kiszámolni: (3 + 4):2 = 3,5.

A minta terjedelmének nevezzük a legnagyobb és a legkisebb adat különbségét. Jelen esetben ez 6 -1 = 5.

Nagyobb mennyiségű adatnál fordul elő, hogy nem egyenként soroljuk fel azokat, hanem osztályokba soroljuk. Például két osztályba sorolva a fenti adatokat:

osztály: 1-3 4-6

kum.gy: 10 10

Ilyenkor az egy osztályba tartozó adatok számát kumulált gyakoriságnak nevezzük.

Osztályközépnek nevezzük az osztály alsó és felső határának átlagát. Az első osztály osztályközepe a 2; a második osztály osztályközepe az 5.

Így az osztályközepekkel számolva az adatok átlaga: (10*2 + 10*5):20 = 3,5. Tehát az osztályközepekkel számított átlag nem feltétlenül egyezik meg az adatok számtani közepével. Osztályközepek használatakor bizonyos részletek elvesznek.

Adatok ábrázolása: az adatok gyakoriságát ábrázoljuk általában oszlopdiagramon vagy kördiagramon:

Példa: Az egyik osztály matematika dolgozatainak átlagpontszáma 81, a másik osztályé 72 pont. Az első osztályba 24, a másodikba 30 diák jár. Mennyi a két osztály dolgozatainak átlagpontszáma?

A két osztályba együtt 54 fő jár, s ahhoz, hogy az átlagot ki tudjuk számolni, tudni kell a összes dolgozat pontszámainak összegét.
Ez az összeg: 81*24 + 72*30 = 4104.
Ezt osztjuk 54-gyel.
Így a két osztály átlaga: 76 pont.

Számok normálalakja

2009-10-03T15:48:00.005+02:00

A nagy és kis számok rövid leírását segíti a számok normálalakja. Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényezőt úgy alakítjuk ki, hogy 1 és 10 közé essen, a második tényező pedig 10 megfelelő hatványa.

Itt a "megfelelő" azt jelenti, hogy amennyivel az első tényezőt vissza kell szorozni, hogy az eredeti számot visszaállítsuk.

Példák:
30000 = 3*10⁴
403 = 4,03*10²
5 = 5 (vagy 5*10⁰, bár egy és 10 közötti számokat nem nagyon írunk át)
0,006 = 6*10^-3
0,02 = 2*10^-2
A Föld tömege: 6000000000000000000000 t. Ez normálalakban: 6*10²¹t
A proton tömege: 0,00000000000000000000000167 gramm. Ez normálalakban: 1,67*10^-24 gramm.

Műveletek normálalakú számokkal

1.) Váltsuk át a Föld tömegét grammba!
1 t = 10⁶ g
6*10²¹*10⁶ = 6*10²⁷
Tehát a Föld tömege 6*10²⁷ gramm.

2.) Hány darab proton tömegével egyenlő a Föld tömege?
(6*10²⁷ g):(1,67*10^-24 g) =
(6:1,67)*(10²⁷:10^-24) =
3,59*10⁵¹
Tehát a Föld tömege megközelítőleg 3,59*10⁵¹ darab proton tömegével egyenlő.

3.) Végezzük el az alábbi műveletet:
2,5*10⁵*1,6*10^-3*5*10^-4 =
2,5*1,6*5*10⁵*10^-3*10^-4=
20*10^-2 =
2*10^-1 =
0,2.

Egy szorzásban a tényezők tetszőleges sorrendbe rendezhetők.
Összeadásban vissza kell írni a számokat helyi értékes alakba!
Példa:
4,08*10³ + 9,98*10^-1 =
4080 + 0,998 =
4080,998

Elképzelhető olyan összeadás, vagy kivonás, ahol a közös tényező kiemelése célszerű.
Példa:
5*10⁴ + 6*10⁵ - 7*10³ =
(5*10 + 6*10² - 7)*10³ =
(50 + 600 - 7)*10³ =
643*10³ =
6,43*10⁵

A Föld felszínének mintegy kétharmadát tenger borítja, ennek átlagos mélysége 3,8km. Becsüljük meg, hogy hány m³ életterük van a tengeri élőlényeknek! (A Föld sugara kb. 6370km.)

A feladat megoldásának lépései a következők lesznek:
1.) az adatokat méterbe váltjuk,
2.) kiszámoljuk a Föld felszínét,
3.) vesszük a Föld felszínének 2/3-át, ez lesz a tengerek felszíne,
4.) a tengerek felszínét szorozzuk az átlagos mélységgel, ez lesz a keresett térfogat.

1.) mélység = 3,8*10³ m
r = 6,37*10⁶ m

2.) A = 4*r²*3,14
A = 4*(6,37*10⁶)²*3,14
A = 4*6,37²*10¹²*3,14
A = 509,65*10¹²
A = 5,0965*10¹⁴

Tehát a Föld felszíne megközelítőleg 5,1*10¹⁴ m².

3.) Tengerek felszíne =
5,1*10¹⁴*2/3 =
3,4*10¹⁴

Tehát a Föld tengereinek felszíne megközelítőleg 3,4*10¹⁴ m².

4.) Tengerek térfogata =
3,4*10¹⁴*3,8*10³ =
12,92*10¹⁷ =
1,292*10¹⁸

Tehát a tengeri élőlényeknek megközelítőleg 1,3*10¹⁸ m³ víz áll a rendelkezésükre.

Százalékszámítás

2009-09-23T02:47:00.004+02:00

Az egyenletek, szöveges egyenletek témakört nem folytathatom tovább, mert a blog szövegszerkesztője már nem alkalmas rá. Például nem lehet törtes kifejezéseket, n-edik gyökös, stb kifejezéseket szerkeszteni vele. Egy másodfokú egyenlet megoldóképletét sem lehet jól és érthetően leírni. Gondolkodom, mi lehetne a megoldás.

Ezért nincs még geometria példa sem a blogon, mert nem lehet árbát szerkeszteni, adatokat ráírni. Maradnak azok a témakörök, amelyek egy egyszerű szövegszerkesztővel is jól leírhatók. Ma a százalékszámításra nézünk meg néhány feladatot.

Elnevezések:
alap (100%)
százalékláb
százalékérték

1.) Mennyi 2500kg 43%-a?
alap = 2500kg
százalékáb = 43%
százalékérték = ?

A századrészek jele a %. 43% = 43/100 rész.
1%-ot így 100-zal való osztással számítunk.
43% pedig az 1% 43-szorosa.

2500 kg 1 %-a = 2500kg:100= 25kg
2500 43%-a = 25kg*43 = 1075kg.

Ugyanezt másképp is kiszámolhatjuk:
43/100 = 0,43 és törtrészt szorzással számolunk.
2500kg*0,43 = 1075kg.

Ezt a módszert, tehát a százalékláb tizedestört alakjával való műveletvégzést, használjuk a leggyakrabban.

2.) Melyik mennyiség 43%-a a 2500kg?
alap = ?
százalékérték = 2500kg
százalékláb = 43%

Első megoldási mód: egyenes arányossággal számolunk:
43% ---> 2500kg
1% ---> 2500kg:43 = 58,14kg
100% ---> 5814kg.

Második mód:
Ha egy mennyiség törtrészét ismerjük, s ebből kell kiszámolni az egész mennyiséget, akkor azt röviden a törttel való osztásssal tehetjük meg:
2500kg : 0,43 = 5814kg.

3.) Hágy %-a 350kg a 2500kg-nak?
alap = 2500kg
százalékérték = 350kg
százalékláb = ?

Egyenes arányossággal számoljuk ki:
100% ---> 2500kg
1% ---> 25kg
x% ---> 350kg
---------------
x = 350:25 = 14
Tehát 14%-a.

Ahányszor belefér a 350kg-ba az 1%-nak megfelelő érték, annyi % lesz a 350kg:
350 : (2500:100) = százalékláb.
százalékérték : (alap : 100) = százalékláb.

4.) Két szám összege 2250. Az egyiknek a 12%-a egyenlő a másiknak a 18%-ával. Melyik ez a két szám?

Az egyik szám jele legyen x.
Ekkor a másik számot így kell kiszámolni: 2250 - x.
x - nek a 12%-át így számoljuk: x*0,12.
2250-x 18%-át így számoljuk ki: (2250-x)*0,18.

A feladat szerint ezek egyenlők:
x*0,12 = (2250-x)*0,18 / zárójelbontás
x*0,12 = 405 - x*0,18 / + x*0,18
x*0,3 = 405 / : 0,3
x = 1350

Tehát az egyik szám az 1350. A másik szám 2250-1350, azaz 900.

Ellenőrzés:
1350 12%-a = 1350*0,12 = 162.
900 18%-a = 900*0,18 = 162.

5.) 3 liter 80%-os oldathoz hány liter 50%-os oldatot kell öntenünk, hogy 55%-os töménységű oldatot kapjunk?

Ha egy oldal 80%-os az azt jelenti, hogy az egész oldat 80%-a az oldott anyag mennyisége. Így az első oldatban 3*0,8 liter az oldott anyag. (2,4 liter)

A második oldat mennyiségét jelöljük x-szel. x liter 50%-os oldatban x*0,5 liter az oldott anyag.

Az összeöntés után 3 + x liter lesz az oldat. Ennek 55%-a az oldott anyag: (3+x)*0,55 liter.

2,4 + x*0,5 = (3+x)*0,55 / zárójelbontás
2,4 + x*0,5 = 1,65 + x*0,55 / - 1,65
0,75 + x*0,5 = x*0,55 / - x*0,5
0,75 = 0,05*x / : 0,05
15 = x

Tehát 15 liter 50%-os oldat kell.

Ellenőrzés:
3 liter 80%-a = 2,4 liter
15 liter 50%-a = 7,5 liter
Oldott anyagok összege= 2,4 liter + 7,5 liter = 9,9 liter
18 liter 55%-a = 18*0,55 = 9,9 liter.

További példák, magyarázatok százalékszámításhoz Arányosság című e-könyvemben.

Abszolútértékes egyenletek

2009-09-13T17:39:00.010+02:00

Gyakorlatiasan fogalmazva: egy szám abszolútértékének nevezzük a szám nullától való távolságát. A nulla és a pozitív számok abszolútértéke önmaga a szám, míg a negatív számok abszolútértéke a szám ellentettje.

Például:
|5| = 5
|0| = 0
|-4| = 4

Melyik szám abszolútértéke 12,8? Ezt a kérdést úgy is átfogalmazhatjuk, hogy melyik szám van a számegyenesen 12,8 egység távolságra a 0-tól?

Két ilyen szám van: 12,8 és -12,8.

Ugyanezt a kérdést így is fel lehet tenni: oldjuk meg a racionális számok halmazán az |x|=12,8 egyenletet!
|x| = 12,8
x₁ = 12,8
x₂ = -12,8

Mely valós számokra igaz, hogy |2x - 1| = 7?
Az abszoútértéken belüli kifejezés értéke vagy 7, vagy -7:
a) 2x - 1 = 7 / +1
2x = 8 / : 2
x₁ = 4

b) 2x - 1 = - 7 / + 1
2x = - 6 / : 2
x₂ = - 3

Ellenőrzés:
a) |2*4 - 1| = |8 - 1| = |7| = 7
b) |2*(-3) - 1| = |-6 - 1| = |-7| = 7.

Egyenlőtlenségek

2009-09-08T16:57:00.002+02:00

Egyenlőtlenségeket is ugyanúgy mérlegelvvel oldunk meg, mint egyenleteket, csak van két művelet, amelyeknél megfordul a relációjel:

a) Szorzás negatív számmal
Például:
2 < 3
-2 > -3

b) Reciprok
Például:
2 < 3
1/2 > 1/3

Ha az egyenlőtlenség két oldala ellenkező előjelű, akkor reciprok képzésnél nem fordul meg a relációjel.
Példa:
-2 < 3
-1/2 < 1/3

Most nézünk néhány példát egyenlőtlenségek levezetésére:

Mely racionális számokra teljesül:
3(2x + 2) - 7x > x + 5 /zárójelbontás
6x + 6 - 7x > x + 5 /összevonás
6 - x > x + 5 / -5
1 - x > x /+x
1 > 2x / :2
1/2 > x
Tehát az 1/2-nél kisebb racionális számok az egyenlőtlenség igazsághalmazának elemei.
---------------------------------

Ha a turista naponta 20 km-rel többet haladna, mint valójában, akkor 8 nap alatt több mint 900 km-t jutna előre. De ha naponta 12 km-rel kevesebbet haladna naponta, akkor 10 nap alatt sem jutna előre 900 km-t. Hány km-t halad naponta?

Jelölés: x jelöli a naponta megtett utat (km)
Első mondat:
8(x + 20) > 900 / zárójelbontás
8x + 160 > 900 / - 160
8x > 740 / : 8
x > 92,5

Második mondat:
10(x - 12) < 900 / zárójelbontás
10x - 120 < 900 / + 120
10x < 1020
x < 102

Tehát 92,5 km-nél többet és 102 km-nél kevesebbet halad naponta a turista.
-----------------------------------

Mely valós számokra igaz:
(x - 2) / (x + 2) < 0

I.
Törtes egyenlőtlenségnél mindig ki kell szűrni az egyenlet alaphalmazából azokat a számokat, ahol a nevező 0 lenne (mert 0-val nem osztunk).
Az x + 2 kifejezés akkor lenne 0, ha x = -2. Ezért az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az R\{-2} halmaz. (Ez a -2-től különböző valós számok halmaza.)

II.
0-nál akkor kisebb egy tört értéke, ha a számláló és a nevező ellenkező előjelű. Ezért két lehetőséget vizsgálunk meg:

a) számláló pozitív és a nevező negatív:
x - 2 > 0 és x + 2 < 0 /számokat átrendezzük jobbra
x > 2 és x < -2
Ilyen szám nincs.

b) számláló negatív és a nevező pozitív:
x - 2 < 0 és x + 2 > 0 /jobb oldalra rendezzük a számot
x < 2 és x > -2

Tehát az egyenlőtlenség megoldásai a -2-nél nagyobb és 2-nél kisebb valós számok.

Kétismeretlenes egyenletrendszer

2009-09-03T20:31:00.004+02:00

Egy láda a benne lévő géppel együtt 500 kg. 6 üres láda és 8 gép tömege 3800 kg. Hány kilogramm egy láda?

Két ismeretlenünk van: a láda tömege és a gép tömege.
Az első mondat, illetve egyenlet: láda + gép = 500

A második mondat, azaz egyenlet: 6láda + 8gép = 3800

Az első egyenlet alapján: láda = 500 - gép. A láda tömegének ezt az alakját behelyettesítjük a második egyenletbe:

6(500 - gép) + 8gép = 3800 / zárójelbontás
3000- 6gép + 8gép = 3800 / összevonás
3000 + 2gép = 3800 / - 3000
2 gép = 800 / :2
gép = 400

Egy gép tömege 400 kg.
Egy láda tömege 500kg - 400kg = 100 kg.
Tehát egy láda tömege 100 kg.

Sokkal egyszerűbb és áttekinthetőbb lesz a levezetés betűk használatával:
x := láda tömege
y := gép tömege

x + y = 500
6x + 8y = 3800

Ezt a kétismeretlenes egyenletrendszert behelyettesítéssel oldjuk meg. Az első egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent:

x + y = 500 / mindkét oldalból elveszünk y-t
x = 500 - y

Az x-nek ezt az alakját helyettesítjük a második egyenletbe:

6(500 - y) + 8y = 3800 / zárójelbontás
3000 - 6y + 8y = 3800 / összevonás
3000 + 2y = 3800 / - 3000
2y = 800 / :2
y = 400
x = 500 - 400 = 100

x-szel jelöltük a láda tömegét, tehát egy láda 100 kg.

Ellenőrzés:

6 láda tömege = 6*100 kg = 600 kg.
8 gép tömege = 8*400 kg = 3200 kg.
Tömegük együtt 3800 kg.

Helyi értékes szöveges

2009-09-01T19:59:00.003+02:00

Egy újabb típus jön az elsőfokú egyismeretlenes egyenletekből: helyi értékes szöveges feladat.
Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 3:2. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti feléné 21-gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám?

Ismétlés:
Ha egy 5-öst az egyesek helyére írunk, az 5-öt ér.
Ha a tízesek helyére írjuk, akkor 50 a valódi értéke.
Ha a százasok helyére, akkor 500 a valódi értéke. És így tovább.

Ha y egy jegyet jelöl, s azt az egyes helyi értékre írjuk, az y-t ér.
Ha a tízes helyi értékre írjuk, akkor 10y a valódi értéke..
Ha a százas helyre írjuk, ott 100y a valódi értéke. É így tovább.

Most visszatérve a feladatra, x-szel jelölök egy arányos részt. Így az első jegy 3x alakú, a második 2x.

Tízes helyi értéken 3x a számjegyünk, így valódi értéke 30x.
Az egyes helyi értéken 2x a számjegy, így valódi értéke 2x.
Az eredeti számunk ezek összege: 32x.

Felcseréljük a számjegyeket: 2x kerül a tízes helyi értékre, így valódi értéke 20x.
3x van az egyes helyi értéken, valódi értéke 3x. A szám ezek összege: 23x.

Az eredeti szám (32x) fele = 16x. Ettől nagyobb 21-gyel az új szám: 16x + 21.

Az egyenlet: 16x + 21 = 23x / -16x
21 = 7x /:7
3 = x.

Egy arányos rész 3, így az eredeti szám első jegye 9. Második jegye 6. A keresett szám a 96.

Ellenőrzés: 96 fele 48. Ettő 21-gyel nagyobb a 69. S ez éppen az eredeti szám felcserélt jegyekkel.

A feladatot próbálgatással is megoldhattuk volna. Csak három olyan kétjegyű szám van, amelyben a jegyek aránya 3:2. Ezek: 32, 64, 96. Kis számolással ellenőrizhetjük, hogy csak az utóbbi felel meg a többi feltételnek.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek II.

2009-08-29T11:59:00.007+02:00

Az előző bejegyzést folytatva a témában, most egy másik típusú szöveges feladatot oldunk meg:

Marci 14 km/h egyenletes sebességgel elindul egy kerékpártúrára. Nándor két óra múlva kismotorral utána indul, sebessége 21 km/h. Mennyi idő múlva éri utol Marcit?

A mozgási szöveges feladatoknál 3 mennyiséget, és kapcsolatukat, kell figyelembe venni: út, idő, sebesség. Ezt a 3 adatot jegyzeteljük ki a szövegből, mégpedig amit tudunk azt számmal, amit nem tudunk azt betűvel jelölve.

Marci:

út: s

idő: t

sebesség: 14 km/h

Nándor:

út: s

idő: t - 2

sebesség: 21 km/h

út = sebesség*idő; s ezt írjuk le mindkét fiú adataival.

Marci: s = 14*t

Nándor: s = 21*(t - 2)

A két egyenlet bal oldala ugyanaz (s), ezért a jobb oldalak is egyenlőek:

14*t = 21*(t - 2) /osztunk 7-tel (így kisebb számokkal kell majd dolgoznunk)

2*t = 3*(t - 2) /zárójelbontás

2*t = 3*t - 6 / mindkét oldalból elveszünk 3*t - t

- t = - 6 /mindkét oldalt szorozzuk -1-gyel

t = 6

Marci 6 órát kerékpározott, amikor Nándor utolérte.

Nándor pedig 4 óra motorozás után érte utol Marcit.

Ellenőrzés:

Marci 6 óra alatt 14 km/h sebességgel 6*14 = 84 km-t tett meg.

Nándor 4 óra alatt 21 km/h sebességgel 4*21 = 84 km-t.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek

2009-08-24T18:04:00.008+02:00

Szöveges feladatokon nézzük meg a mérlegelv alkalmazását az egyenletmegoldásban.
1. Egy kád az egyik csapból 20 perc alatt, a másikról 15 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 16 perc alatt ürül ki a kád. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindkét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad?

Először kiszámoljuk, hogy 1 perc alatt a kád hányad része telik meg vízzel:

- az első csap 20 perc alatt töltené meg, így 1 perc alatt a kád 1/20 része telik meg vízzel az első csapon;

- a második csap 15 perc alatt töltené fel a kádat, így 1 perc alatt a kád 1/15 részét tölti meg;

- a lefolyón 1 perc alatt a kád tartalmának 1/16 része folyik le.

Így 1 perc alatt a kád 1/20 + 1/15 - 1/16 részében lesz víz.
1/20 + 1/15 - 1/16 =
(12 + 16 - 15)/240 =
13/240.

1 perc --> 13/240 rész
x perc --> 1 egész rész
------------------------
x*13/240 = 1 /mindkét oldalt osztjuk 13/240-del

1:(13/240) = 1*240/13 ~ 18,46

x ~ 18,46

Ennyi perc alatt telik meg a kád.

2. Mennyi vizet kell elpárologtatni 10 liter 40%-os sóoldatból. hogy 60%-os sóoldatot kapjunk?

Ami nem változik a párolgás során, az a só mennyisége. Ezért a sótartalomra írhatunk fel egyenletet.
Az első oldatban 10 liter 40%-a = 4 liter só van.

A 10 literből elpárolog valamennyi víz, jelöljük x-szel. Így a második oldat (10-x) liter.
Ennek 60%-a só: (10-x)*0,6

4 = (10-x)*0,6 /zárójelbontás
4 = 6 - x*0,6 /mindkét oldalhoz x*0,6-et adunk
4 + x*0,6 = 6 /mindkét oldaból elveszünk 4-et
x*0,6 = 2 /mindkét oldalt osztjuk 0,6-del
x = 3,333...
x = 3 egész 1/3

Tehát 3 egész 1/3 liter vizet kell elpárologtatni.

Ellenőrzés:
Ha elpárolog 3 egész 1/3 liter a 10-ből, akkor a második oldat 6 egész 2/3 liter.
Ennek a 60%-át kiszámoljuk:
3 egész 2/3 = 20/3
20/3*(6/10) = 120/30 = 4.

Ami éppen az első sóoldat sótartalma.

U.i.: A százalékszámításról még nem volt szó. Röviden: mennyiségek századrészét nevezzük százaléknak.
60% --> 60/100 rész
Valaminek a 60%-át úgyszámoljuk ki, hogy szorozzuk 60-nal, osztjuk 100-zal (vagy osztjuk100-zal, szorozzuk 60-nal).
Ezt a két műveletet eggyel is felírhatjuk: szorzunk 0,6-del. Ezt használtam fel a 2. példában.

Kérdezzetek itt a blogon, ha bővebben olvasnátok a százalékszámításról!

Egyenletek, mérlegelv

2009-08-21T09:11:00.007+02:00

A műveletek témakört befejeztük, ha majd szükséges lesz, akkor a műveleti tulajdonságokra még visszatérünk. Most az egyenletek, mérlegelv fejezetbe kezdünk.

"Melyik az természetes szám, amelyiknek a fele 5-tel több a 13-nál?"

Ez egy egyszerű kérdés, de a lényeget jól mutatja: adott tulajdonságú számot keresünk. Ezt a keresett számot ismeretlennek nevezzük, s betűvel jelöljük, hogy segítségével, a műveleti jelekkel és a szövegben megadott számokkal le tudjuk írni a tulajdonságát:
x:2 = 13 + 5

Még egy tulajdonság szerepel a szövegben: természetes szám az ismeretlen. Alaphalmaznak nevezzük azt a számhalmazt, amelyben az ismeretlen értékét keressük.

A jobb oldalon egy számfeladat van, kiszámoljuk:

x:2 = 18

Az x felét ismerjük, ezért 2-vel való szorzással tudjuk meg x értékét. Ha egyenlő mennyiségeket ugyanazzal szorozunk, akkor az eredmények is egyenlők lesznek:

x = 36.

Megoldottuk az egyenletet, s a 36 természetes szám. Még az ellenőrzés van hátra: a 36 fele 18, ami tényleg 5-tel több a 13-nál.

Ebben a példában használtuk a mérlegelvet: ugyanazt a műveletet végeztük az egyenlet mindkét oldalával. Ezt úgy képzeld el, mint egy egyensúlyban lévő karos mérleg két serpenyőjét. Ha ugyannyit teszel a két oldalra, vagy ugyanannyit veszel el a két oldalról, vagy ugyanazzal a számmal szorzod, osztod a két serpenyőben lévő mennyiséget, akkor nem billen ki a mérleg, az egyensúly (=az egyenlet) megmarad.

Sok fajtája van az egyenleteknek:
- egy ismeretlen van benne,
- több ismeretlen van benne,
- az ismeretlen az első hatványon van,
- második hatványa szerepel az ismeretlennek, stb.
- négyzetgyökjel alatt van,
- abszolútértékes az egyenlet,
- stb.

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletekkel folytatom majd, de aki máris kíváncsi a megoldásukra, nézze meg a videót:

Törtkitevő, logaritmus

2009-08-18T11:11:00.005+02:00

A műveletekről szóló bejegyzéssorozatomból még hiányzik a törtkitevő és a logaritmus értelmezése. Ezeket nézzük most meg konkrét példákon.

Törtkitevő
Példa:
7^2/3 alatt azt a számot értjük, amelynek a harmadik hatványa 7².

Ehhez hasonló meghatározással a harmadikgyöknél találkoztunk. S azt a számot, amelynek a harmadik hatvány 7² így írtuk: harmadikgyök 7².

(7^2/3)³ = 7²
(harmadikgyök 7²)³ = 7²

Így 7^2/3 = harmadikgyök 7².

Példa:

27^-4/3 = harmadikgyök(27^-4) = harmadikgyök(1/27⁴) = harmadikgyök(1/(3³)⁴) = harmadikgyök(1/3¹²) = 1/3⁴ = 1/81.

4^3/2 = négyzetgyök(4³) = (négyzetgyök 4)³ = 2³ = 8.

Törtkitevőt csak pozitív alapra értelmezünk (negatív azért nem lehet az alap, mert páros gyököt nem tudunk belőle vonni a valós számok halmazában; nulla azért nem lehet az alap, mert ha a kitevő negatív előjelű, akkor reciprokot kellene venni - nullának pedig nincs reciproka).

Logaritmus

A gyökvonás műveletéhez úgy jutottunk el, hogy egy hatványból az alapot fejeztük ki: 2³=8 - ból 2=harmadikgyök 8.

Ha a kitevőt akarjuk kifejezni, akkor azt logaritmussal tehetjük meg: 3=log₂8. (kettes alapú logaritmus 8)

Azaz a logaritmus a kitevőt megadó művelet. A logaritmus alapja egyben a hatványalap, s azt a kitevőt keressük, amire ezt az alapot felemelve a megadott számot kapjuk.

Példa:
Mennyi log₃81? Azt a kitevőt keressük, amire a 3-at felemelve 81-et kapunk értékül. Ez a 4.
log₃81 = 4

A leggyakrabban használt logaritmusalap a 10, ezért egy egyszerűbb jelölést vezettek be a tízes alapú logaritmusra: lg.

Példák:
lg10 = 1
lg10000 = 4
lg1 = 0
lg 0,001 = -3
lg(négyzetgyök 1000) = 3/2
lg(négyzetgyök 0,001) = -3/2

Logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, úgy ahogy előbb a törtkitevőnél megbeszéltük. Nincs értelem az 1 alapú logaritmusnak.

Valamint csak pozitív szám lehet az a szám is, aminek a logaritmusát keressük.

(Eredményül, a kitevőre persze "bármilyen" számot kaphatunk, ahogy az előbbi példákban is: pozitívat, negatívat, nullát, egészet, törtet.)

Négyzetgyökvonás

2009-08-15T01:33:00.005+02:00

Feladatokban leggyakrabban a másodikgyök (négyzetgyök) művelete fordul elő. Most a négyzetgyökvonás műveleti tulajdonságait nézzük meg.

Amikor négyzetgyökvonás eredményét keressük, akkor egy olyan szám a kérdés, aminek a második hatványa a gyökjel alá írt szám.
Mennyi négyzetgyök121?
11, mert 11² = 121.
Tehát ellenőrizzük négyzetre emeléssel az eredményt. Mivel önmagával kell szorozni, így biztosan nem lesz a második hatvány negatív. Ezért eleve nem is kérdezhetünk olyat, hogy mennyi egy negatív szám négyzetgyöke, mert ellenőrzéskor hibát kapunk.

Ezért egy kicsit most pontosítjuk a négyzetgyökvonás meghatározását: Egy x nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelynek a négyzete x. Azaz sem a négyzetgyökjel alatti szám, sem a négyzetgyökvonás eredménye nem lehet negatív.

Egy-egy példán nézzük meg a négyzetgyökvonás tulajdonságait:

a) négyzetgyök(16*9) = négyzetgyök16*négyzetgyök9
Szorzatból lehet tényezőnként négyzetgyököt vonni.

b)négyzetgyök(16/9) = négyzetgyök16/négyzetgyök9
Hányados négyzetgyökét úgy is kiszámolhatjuk, hogy külön a számlálóból, külön a nevezőből vonunk négyzetgyököt.

c) (négyzetgyök4)³ = négyzetgyök(4³)
A négyzetgyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető.

Amit nagyon nem szabad, és nagyon nem lehet, és mégis sokan bepróbálkoznak vele, az összegből való négyzetgyokvonás tagonként:
négyzetgyök(25 + 16) nagyon nem egyenlő négyzetgyök25 + négyzetgyök16 - tal!!!

Ugyanígy kivonás esetében is:
négyzetgyök (25 - 16) nem egyenlő négyzetgyök25 - négyzetgyök16 -tal!!!

Számoljatok utána!

Gyökvonás

2009-08-12T17:39:00.003+02:00

A hatványozásban eljutottunk a negatív kitevős hatványokig; s most meg is állunk egy kicsit, később térünk rá a törtkitevős hatványokra.

A hatványozás egyik fordított műveletéről, a gyökvonásról lesz ma szó. Amikor a hatványalapra kérdezünk rá: "Melyik az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8?", akkor erre a kérdésre gyökvonás művelettel válaszolunk: "harmadikgyök 8 az a szám, amelyiknek a harmadik hatványa 8".

Ennek értékét most fejben is tudjuk, hogy 2. De sok olyan feladat, kérdés van, ahol csak a gyökös alak segítségével tudjuk megadni a pontos eredményt (számológéppel vagy gyöktáblázat segítségével pedig a közelítő eredményt).

Néhány példa:
5² = 25 ----> négyzetgyök 25 = 5
3⁴ = 81 ----> negyedikgyök 81 = 3
10⁵ = 100000 ----> ötödikgyök 100000 = 10

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 1024 m²?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 1024. Ez a szám a négyzetgyök 1024. Számológéppel megnézzük az értékét: 32. Tehát a négyzet oldala 32m.

Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe 5m²?

Keressük azt a számot, amelynek a második hatványa 5. Ez a szám a négyzetgyök 5. Számológéppel: 2,236... Ez már csak közekítő érték, tehát a négyzet oldala közelítőleg 2,236m.

Milyen tizedestört ez? Egy korábbi bejegyzésben már volt szó a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ez vajon melyik fajta?

Azt is láttuk, hogy a véges és a végtelen szakaszos tizedestörtek hogyan írhatók át törtalakra. Akkor próbáljuk felírni törtalakban a négyzetgyök 5-öt is!

Tegyük fel hogy négyzetgyök 5 = a/b és ez a tört már a legegyszerűbb alakú legyen.

Négyzetgyök 5 az a szám, amelyiknek a négyzete 5, tehát az előbbi egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve:

5 = a²/b² /szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a nevezővel

5*b² = a²

Az a² valaminek az 5-szöröse, tehát osztható 5-tel. Ez csak úgy lehet, hogy maga az a szám is osztható 5-tel.

Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a négyzete osztható 25-tel. Tehát a² osztható 25-tel, így a vele egyenlő 5*b² is osztható 25-tel.

Ehhez az szükséges, hogy b² osztható legyen 5-tel. Ha b² osztható 5-tel, akkor b is oszható 5-tel.

Az eredeti feltevésekből az következik, hogy a is és b is osztható 5-tel. Akkor az a/b tört egyszerűsíthető 5-tel. Ezzel ellentmondásba keveredtünk azzal az eredeti feltevéssel, hogy az a/b legyen a legegyszerűbb alakja négyzetgyök 5-nek.

Ez azt jelenti, hogy nem tudtuk felírni törtalakba a négyzetgyök 5-öt, tehát az ő tizedestöt alakja se nem véges, se nem szakaszos tizedestört.

Az ilyen számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. A tizedestört alakjuk végtelen, nem szakaszos.

Negatív kitevő

2009-08-11T00:16:00.004+02:00

Lépünk egyet tovább a hatványozás témakörben, s nézzük mi a helyzet, ha a kitevő negatív egész szám.

Két összefüggésre lesz szükségünk az értelmezéshez, gyorsan ismételjük át őket:

a nulla kivételévek bármely szám nulladik hatványa 1;
azonos alapú hatványok osztásakor a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét.

Sőt! Erre a második összefüggésre "visszafelé" lesz majd szükségünk: ha egy kitevőben kivonás van, akkor az azonos alapú hatványok osztásának eredménye.

Akkor fogjuk meg először 4^-1-t! (Négy a mínusz elsőn.)

A -1 sokféle kivonás eredménye lehet: 0-1; 1-2; 6-7; stb. Használjuk a legegyszerűbbet!

4^-1 = 4^0-1 = 4⁰/4¹ = 1/4. (A harmadik lépésben használtuk fel, hogy bármely szám nulladik hatvány 1.)

Másik példa: 4^-3 = 4^0-3 = 4⁰/4³ = 1/4³ (= 1/64)

Nézzünk egy törtes példát is:

(5/3)^-2 = (5/3)^0-2 = (5/3)⁰/(5/3)² = 1/(5/3)² = 1/(25/9) = 9/25 = (3/5)²

Összesítve: egy nem nulla szám negatív kitevős hatványa a szám reciprokának pozitív kitevős hatványával egyenlő.

Példák:

7^-3 = (1/7)³

(3/4)^-1 = 4/3

(1,8)^-2 = (1/1,8)² = (5/9)²

10^-4 = 0,0001

Műveletek hatványokkal 2.

2009-08-09T07:47:00.004+02:00

A hatványokkal végzett műveletek közül hátra van még a szorzat hatványozása, a hányados (tört) hatványozása, és hatvány hatványozása.

Példa:
Egy négyzet oldala 3*a hosszúságegység. Adjuk meg a négyzet területét!

T = (3*a)² = 3*a*3*a = 3*3*a*a = 3²*a² (9a²) területegység.

Ebből a megfigyelendő: (3*a)² = 3²*a²
Tehát szorzatot lehet tényezőnként hatványozni.

Példa:
Egy kocka élei 10/3 méter hosszúak. Mennyi a kocka térfogata?

V = (10/3)³ = (10/3)*(10/3)*(10/3) = 10*10*10/(3*3*3) = 10³/3³ m³

Ebből a megfigyelendő: (10/3)³ = 10³/3³.
Tehát törtet úgy hatványozunk, hogy hatványozzuk külön a számláló és külön a nevezőt.

Példa:
Bontsuk fel a zárójelet: (5⁴)³

(5⁴)³ = 5⁴*5⁴*5⁴ = 5^4*3 = 5¹²

Tehát hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk.

S végezetül egy rejtvény, a megoldásokat a hozzászólásokban írjátok meg:

Műveletek hatványokkal

2009-08-07T04:40:00.004+02:00

Az előző bejegyzésben megnéztük, hogy mit értünk a hatványozás művelete alatt, ha a kitevő természetes szám. Most műveleteket végzünk ezekkel a hatványokkal.

Példa:
A legenda szerint a sakk feltalálója a következő jutalmat kérte az uralkodótól játékáért: a tábla első mezőjéért 1 búzaszemet kért. A második mezőért 2 búzaszemet, a harmadik mezőért 4 búzaszemet, a negyedikért 8 búzaszemet, és így tovább. Minden mezőért kétszer annyi búzaszemet kért, mint amennyi a megelőző mezőn volt. Hány búzaszemet kért a 64. mezőért?

1. mező = 1 /szorozva 2-vel
2. mező = 2 /szorozva 2-vel
3. mező = 2*2 = 2² /szorozva 2-vel
4. mező = 2²*2 = 2*2*2 = 2³ = 2²⁺¹ /szorozva 2-vel
5. mező = 2³*2 =2*2*2*2 = 2⁴ = 2³⁺¹ /szorozva 2-vel
6. mező = 2⁴*2 = 2*2*2*2*2 = 2⁵ = 2⁴⁺¹

és így tovább. Akárhanyadik mezőt is számoljuk ki, a 2 kitevője eggyel kisebb a mező számánál. Így az utolsó mezőért 2⁶³ darab búzaszemet kellene adnia az uralkodónak.

Ebben a feladatban azt is megtanultuk, hogy azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevők összeadódnak.
Még egy példa:

3⁴*3⁵ = 3*3*3*3*3*3*3*3*3 = 3⁹ = 3⁴⁺⁵

Azonos alapú hatványok osztásához törtek egyszerűsítésére lesz szükségünk. Ismétlés: törtet egyszerűsíthetünk a számláló és a nevező közös osztóival. (Ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót is és a nevezőt is.)

3⁷/3⁴ =
3*3*3*3*3*3*3 / (3*3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3*3 / (3*3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3*3 / (3*3) = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3*3 / 3 = (egyszerűsítünk 3-mal)
3*3*3 =
3³.

Négyszer tudtunk a hatványalappal egyszerűsíteni, mert 4 darab hármas szorzótényezőnk volt a nevezőben. A fenti sorozat egyszerűbben:

3⁷/3⁴ = 3^7-4 = 3³

Tehát: azonos alapú hatványok osztásakor úgy adhatjuk meg egyszerűen a hatványértéket, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét. (Pillanatnyilag ott tartunk, hogy a számláló kitevője nagyobb a nevező kitevőjénél.)

Hatvány hatványozásáról a következő bejegyzésben lesz szó.

Hatványozás

2009-08-05T08:10:00.003+02:00

A racionális számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása (osztó nem lehet 0) után megismerkedünk a hatványozás művelettel.

Példa:
Egy 10cm élű fakockát feketére festettünk, majd az oldallapokkal párhuzamos vágásokkal 1cm élű kockákra daraboltuk. Hány olyan kis kockát kaptunk, melynek legalább az egyik lapja fekete?

A nagy kockát 10*10*10 = 1000 kis kockára daraboltuk. A "belső", nem színezett kis kockák száma: 8*8*8 = 512 darab. Így legalább egy oldallapja fekete 1000-512 darabnak, azaz 488-nak.

Amikor önmagával szorzunk egy számot, azaz egy szorzásban a tényezők azonosak, akkor a hatványjelölés segítségével röviden is leírhatjuk a műveletet:

10*10*10 rövid jelöléssel 10³. (tíz a harmadikon)
8*8*8 hatvány jelöléssel 8³.

Elnevezések: 10 - alap; 3 - kitevő; 1000 - hatványérték.

Példák:
(-5)² = 25
(-3/2)³ = -27/8
0,5⁴ = 0,0625

Megállapodás:
- bármely szám első hatványa maga a szám (34¹ = 34)
- a nulla kivételével bármely szám nulladik hatványa 1 (7,2⁰ = 1)

A következő bejegyzésben a hatványokkal végzett műveleteket ismerjük meg.

Racionális számok

2009-08-03T08:00:00.003+02:00

Sokféle számot, és a velük végezhető műveleteket megismertünk már. Ezeket a számokat racionális számoknak nevezzük. Kicsit pontosabban a meghatározásuk:

Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosakét, racionális számoknak nevezzük (az osztó nem nulla).

A két egész szám hányadosa pedig a törtalakot jelenti. Példák:

Egész számok: 5 = 10/2 (a 10 és a 2 egész számok hányadosa)
-3 = -9/3 (a -9 és a 3 egész számok hányadosa).

Véges tizedestörtek: 6,097 = 6097/1000

Tiszta szakaszos tizedestörtek: 0,11111..... = 1/9

Vegyes szakaszos tizedestörtek: 0,166666... = 1/6

Az ilyen számok az elemei a racionális számok halmazának. Ennek a halmaznak van egy betűjele: Q.

Tizedestörtek

2009-08-01T16:12:00.004+02:00

A tizedestörteket is átírhatjuk törtalakba. Persze fordítva is, a törteket tizedestört alakba.

a) Törtet úgy írunk át tizedestört alara, hogy az osztást elvégezzük. Például:

12/5 = 12:5 = 2,4; véges tizedestört.

4/3 = 4:3 = 1,3333...; végtelen szakaszos tizedestört.

5/6 = 5:6 = 0,83333....; vegyes szakaszos tizedestört.

b) Nézzük, hogy a háromféle tizedestörtet, hogyan lehet visszaírni törtalakra.

3/10 = 0,3
5,28 = 528/100 (5 egész = 500 század, meg 28 század)
........................................................................

3,7777.... = x /10-zel szorozzuk mindkét oldalt
37,777.... = 10x /az alsó egyenletből kivonjuk a felsőt
_________
34 = 9x /osztunk 9-cel

34/9 = x

Tehát, ha beütöd a számológépedbe, hogy 34:9, akkor azt írja ki, hogy 3,777...(az utolsó jegyet valószínűleg kerekíteni fogja a gép).
..........................................................................

Vegyes szakaszos tizedestört átírása:

3, 6755555..... = x

Először 100-zal, majd 1000-rel szororzzuk ezt az egyenlőséget:

367,55555... = 100x
3675,5555... = 1000x
________________

Kivonjuk az alsó egyenletből a felsőt:

3308 = 900x /osztunk 900-zal

3308/900 = x

Tehát, ha beütöd a számológépbe, hogy 3308:900, akkor kiírja az eredeti tizedestörtet: 3,67555...
...........................................................

Összegezve: a módszer lényege, hogy a végtelen szakaszos tizedestörtet 10-zel, vagy 100-zal, vagy 1000-rel, stb. szorozzuk; úgy megválasztva ezt a szorzót, hogy a kivonáskor az azonos tizedesjegyek egymás alá kerüljenek. Így a különbség 0 lesz minden tizedes helyiértéken.

Még egy példa:

Osztás törttel

2009-07-29T16:24:00.003+02:00

Most erősen szükségünk lesz a reciprok fogalmára, úgy hogy ismételjük át: egymás reciprokának nevezünk két számot, ha szorzatuk 1.
a*b =1 esetén 'a' reciproka 'b' és fordítva.
1/a = b
1/b = a
('a' nem 0, 'b' nem 0.)

Megint egy konrét példán ismerjük meg az osztást:

5:(2/3) = ?
Egy nagyon picit átírjuk ezt az osztást:
5 = 5*1

(5*1):(2/3) = ?

Egy szorzást úgy osztunk egy számmal, hogy az egyik tényezőjét osztjuk a számmal:

5*(1:(2/3)) = ?

Itt pedig felismerjük a zárójelben a reciprok képzést: 1:(2/3) éppen a 2/3 peciprokával egyenlő, azaz 3/2-del.
Ellenőrzés: 2/3*(3/2) = 6/6 = 1

Folytatva az eredeti kérdést, itt tartunk:

= 5*(3/2).

Elejét és a végét összehozva:

5:(2/3) = 5*(3/2).

Úgy osztunk törttel, hogy az osztó reciprokával szorzunk.

Példa:

4,28:(4/9) = 4,28*(9/4) = 4,28*9/4 = 9,63.

Számok reciproka

2009-07-28T14:30:00.003+02:00

A törttel való osztás előtt megtanuljuk, hogy mit nevezünk egy szám reciprokának: azt a számot, amivel összeszorozva 1-et kapunk eredményül.

Mennyi a 2 reciproka? Helyettesítsünk be az előbbi meghatározásba! Keressük azt az x számot, amelyre:

2*x = 1

x = 1/2

Hasonlóan: 3 reciproka 1/3; -5 reciproka -1/5; stb.

Mennyi a 3/8 reciproka?

x*3/8 = 1 /*8

x*3 = 8 /:3

x = 8/3

Ellenőrzés:

8/3*(3/8) = 24/24 = 1.

Tehát törteknél nagyon egyszerűen, a számláló és a nevező felcserélésével, megkaphatjuk a reciprokot.

Van egy szám, amelyiknek nincs reciproka.

Melyik ez a szám?

Tört szorzása törttel

2009-07-27T06:39:00.005+02:00

Kétféleképpen is megnézzük hogyan kell törtet törttel szorozni. Először egy ábra segítségével:

Az egységnégyzet egyik oldalát 3 egyenlő részre, másik oldalát 4 egyenlő részre osztottuk.

A négyzet egyik oldalán 2/3-ot, másik oldalán 3/4-et jelöltünk, s a beszínezett téglalap területét kell kiszámolni.

Az eredeti négyzet 12 részre van osztva (1:12), s ezekból 6 darabot színeztünk be (6/12).

Másrészt téglalap területét szorzással számoljuk: (2/3)*(3/4). Tehát ezek egyenlők:

(2/3)*(3/4) = 6/12. (2*3 a számláló, 3*4 a nevező)

Másodszorra nézzünk egy sorozatot, s a szabály további alkalmazásával is eljuthatunk törtek szorzásához:

(2/3)*8 = 16/3

(2/3)*4 = 8/3

(2/3)*2 = 4/3

(2/3)*1 = 2/3

Az egyik tényező mindig a felére változott, így a szorzat is az előző fele lett. Folytassuk!

(2/3)*(1/2) = 2/6

(2/3)*(1/4) = 2/12

Most a második tényezőt a háromszorosára változtatjuk, így a szorzat is a háromszorosa lesz az előzőnek:

(2/3)*(3/4) = 6/12.

A műveleti tulajdonságok alkalmazásával is arra jutottunk, hogy törtet törttel úgy szorzunk, hogy számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk.

A törtes műveletek végén az eredményt egyszerűsítjük, ha lehetséges: 6/12 = 1/2.

Tört osztása egész számmal

2009-07-24T10:59:00.006+02:00

Először az osztás egyik lehetséges esetét nézzük meg:

12/7 : 4 = 3/7, mert ellenőrizve: 4*3/7 = 12/7

100/42 : 25 = 4/42. Ellenőrzés: 25*4/42 = 100/42.

Tehát a számlálót osztjuk.

Mi a helyzet, ha nem osztható a számláló?

2/9 : 5 = ?

Bővítsük a törtet olyan alakúra, hogy alkalmazható legyen az előbbi szabály, azaz osztható legyen a számláló!

2/9 = 10/45

10/45 : 5 = 2/45.

Tehát: 2/9 : 5 = 2/45.

Még egy példa a szabály megfogalmazása előtt:

4/3 : 10 = 40/30 : 10 = 4/30.

Tehát: ha a számláló nem osztható az egésszel, akkor a nevezőt szorozzuk az egész számmal.

További magyarázatok, példák törtek osztásához Arányosság című e-könyvemben.

Törtszám és egész szám szorzata

2009-07-23T06:48:00.002+02:00

A szorzás tényezői felcserélhetők: 6*8 = 8*6. Ez -természetesen - bármely szorzás esetében így van, tehát a törtes szorzásoknál is.

3/5*4 = 4*3/5 = 3/5 + 3/5 + 3/5 + 3/5 = 12/5.

Tehát az egész számmal megszorozzuk a tört számlálóját.

Előjeles számok esetén ugyanazokat az előjelszabályokat alkalmazzuk, mint amelyeket egy előző bejegyzésben megtanultunk:
(-6)*2/9 = - 12/9
6*(-3/5) = - 18/5
(-2/3)*(-10) = 20/3.

Törtek összeadása, kivonása

2009-07-22T03:10:00.003+02:00

Ott tartunk, hogy a törtszámokat osztások eredményeként értelmeztük. Továbbra sem osztunk 0-val, de bármely más egész számokkal végzett osztás eredményét megadhatjuk törtszámmal. Például 12:7 osztás eredménye 12/7. S a múltkor azt is megbeszéltük, hogyan kell a 12/7 számot megkeresni a számegyenesen.

Lépjünk tovább a törtekkel végzett műveletekre. Most lesz erősen szükség az osztás tulajdonságaira - úgyhogy ha szükségesnek érzed, akkor előbb tekerj vissza ahhoz a bejegyzéshez!

a) 2/3 + 5/3 = 2:3 + 5:3 = (2+5):3 = 7:3 = 7/3
Ha ugyanaz az osztó - azaz nevező - a két törtben, akkor az osztandókkal - azaz a számlálókkal - elvégezzük az összeadást, s ezt az összeget osztjuk a közös nevezővel. Még egy példa:
4/7 - 9/7 = (4 - 9)/7 = -5/7.

b) 2/3 + 1/4
= 2:3 + 1:4 =
= 8:12 + 3:12 =
= (8 + 3):12 =
= 11:12 =
= 11/12.

Ha nem azonos a két nevező, akkor bővíteni kell az osztást, azaz bővíteni kell a törteket, hogy azonos legyen a két nevező. Itt használjuk fel az osztásnak azt a tulajdonságát, hogy a hányados nem változik, ha az osztandó is és az osztó is ugyannyaszorosára változik.
Ha közös nevezőre (közös osztóra) bővítettük a törteket, akkor onnantól életbe lépnek az a) pontban megbeszéltek.

Példa:
4/5 - 7/15 =
12/15 - 7/15=
(12-7)/15=
5/15= 1/3.

Ebben a példában 5 és 15 volt a két nevező, s kihasználtuk, hogy 5 osztója a 15-nek, s ezért csak a 4/5-öt kellett bővíteni. A végén pedig a legegyszerűbb alakban adjuk meg az eredményt, tehát egyszerűsítjük az 5/15-öt.

(Emlékeztető: a hányados értéke nem változik, ha ugyanazzal a számmal osztjuk az osztandót és az osztót is. Ugyanez átfogalmazva:
A tört értéke nem változik, ha ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót és a nevezőt is.)

Törtszámok

2009-07-21T06:24:00.006+02:00

A törtszámok osztást jelentenek. A számláló az osztandó, a törtvonal az osztás jele, a nevező az osztó:
1/2 = 1:2.

Fordítva: az osztások eredményét megadhatjuk törtszámmal:
1:2 = 1/2

Ennek az osztás műveletnek a segítségével határozzuk meg a helyüket a számegyenesen. Az 1/2 helye: az egységnyi szakasz két egyenlő részre osztásakor kapjuk.

A 3/2 helyét kétféleképpen határozhatjuk meg:

a) 3 egység hosszú szakaszt kétfelé osztunk és az a 3/2 helye;

b) 1 egység hosszú szakaszt kétfelé osztunk és 3-szor felmérjük ezt a 0-tól.

Nézzünk még egy példát törtszám helyének meghatározására: 4/5

a) a négy egység hosszú szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk, s az első osztás lesz a 4/5;

b) az egy egység hosszú szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk, s az egyenlő részekből 4 darabot felmérünk egymás után a 0-tól.

Osztás tulajdonságai

2009-07-19T06:25:00.000+02:00

Mielőtt a törtszámokra rátérnénk, az osztás két nagyon fontos tulajdonságát megbeszéljük. Ezekre lesz szükség a törtszámokkal végzett műveleteknél.

A hányados nem változik, ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik.
Példák:
12:4 = 24:8 = 6:2
5:2 = 10:4
30:8 = 60:16 = 15:4
9:6 = 45:30 = 3:2
stb.

Megjegyzem: az osztásnak ezt a tulajdonságát nevezzük majd bővítésnek, illetve egyszerűsítésnek.

A másik szükséges tulajdonságban már az osztást összehozzuk az összeadással, kivonással.
Példák:
10:2 + 8:2 = (10+8):2
15:3 - 21:3 = (15-21):3
(28 + 21):7 = 28:7 + 21:7
(100-65):5 = 100:5 - 65:5

(12+9):8 = 12:8 + 9:8
6:5 + 2:5 = (6+2):5
stb.

Tehát: összeget úgy is oszthatunk egy számmal, hogy minden tagot külön elosztjuk a számmal, majd a hányadosokat összegezzük. És fordítva is: ha egy összeadás minden tagja egy osztás és az osztó azonos, akkor először az osztandókat összegezhetjük, majd a végén számoljuk ki az osztást.

Megjegyzés: ez nem lesz más, mint azonos nevezőjű törtek összeadása, kivonása.

Persze nem csak kéttagú összegről lehet szó:
Példák:
4:10 + 5:10 + 6:10 + 7:10 = (4+5+6+7):10
(13+8-4+9-11):8 = 13:8 + 8:8 - 4:8 + 9:8 - 11:8
stb.

Beküldendő feladat:
Egyetlen kérdést hagy adjak fel, itt a hozzászólásokban válaszolj rá:

144:x = 136:17
Mennyi az x?

Egész számok osztása

2009-07-18T15:47:00.000+02:00

Az osztás előjel-szabályainak megismeréséhez felhasználjuk a szorzásról tanultakat: az osztást szorzással ellenőrizük.
a) Két pozitív szám osztása rendben van: 5:1=5; pozitív lesz a hányados.

b) Pozitív szám osztása negatív számmal:
5:(-1) = ?
Ellenőrzése: ?*(-1) = 5
A szorzásról tanulta alapján: a két tényező azonos előjelű, hiszen a szorzat pozitív lett. Ezért a ? negatív előjelű. Miután az előjelet eldöntöttük, már csak a "csupasz" számot kell megállapítanunk, így: ?*1=5. ?=5.
Összerakva az eddig megállapítottakat: ?=-5

c) Negatív szám osztása pozitív számmal:
(-5):1=?
Ellenőrzése: ?*1 = (-5)
A szorzásnál tanultak alapján: a két tényező különböző előjelű lesz, hiszen a szorzat negatív lett. Ezért a ? negatív előjelű. Az előjel megállapítása után a "csupasz" számot állapítjuk meg: ez 5 lesz.
Összerakva a két megállapítást: ?=(-5)

d) Negatív szám osztása negatív számmal:
(-5):(-1) = ?
Ellenőrzése: ?*(-1) = (-5)
A szorzásnál tanultak alapján a ? pozitív előjelű (mert két különböző előjelű szám szorzata lesz negatív).
Az előjel nélküli csupasz szám pedig: 5.
Összesítve: ?=5

Tehát hasonló szabályokat kaptunk, mint a szorzásnál:
Azonos előjelű számok hányadosa pozitív; különböző előjelű számok hányadosa negatív lesz.
5:1 = 5
(-5):(-1) = 5
5:(-1)= -5
(-5):1 = -5

Egész számok szorzása

2009-07-17T16:41:00.002+02:00

Két azonos előjelű szám szorzata pozitív; valamint két különböző előjelű szám szorzata negatív.

Egész számok összeadása, kivonása

2009-07-17T10:02:00.002+02:00

Onnan indítjuk ezt a blogot, hogy a pozitív egész számokkal minden rendben van. Tehát a négy alapművelettel, a természetes számok tulajdonságaival nincs gond.

A negatív számokat azért találták ki, hogy megoldható legyen például a 6-7 kivonás is. Kisebb számból nagyobbat nem tudunk elvenni a természetes számok halmazában, ezért kibővítjük ezt a számhalmazt a negatív egész számokkal.

Ennek a bővebb számhalmaznak a neve: egész számok.

Hogyan kell a műveleteket elvégezni az egész számokkal?

Összeadás

(-1) + 1 = 0 Ha egy nem nulla szám előtt nincs előjel, az pozitív számot jelent. Itt például az 1 az (+1)-et jelent.

A negatív számokat úgy is elképzelhetjük, mint adósság. Az előbbi összeadást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 1Ft vagyon meg 1Ft adósság együtt 0Ft.

5 + (-4) + (-7) = -6

5Ft vagyon meg 4Ft adósság meg 7Ft adósság együtt 6Ft adósság.

Kivonás

A kivonás megtanulásához először minden számot (+1)-ek és (-1)-ek segítségével írunk fel:

5 = 1+1+1+1+1
-3 = (-1) + (-1) + (-1)
0 = 1+1+(-1)+(-1)
stb.

Az első két szám összege: 5 + (-3) = 2.
Vegyünk el ebből a 2-ből (-3)-at!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-3) = 1+1+1+1+1 = 5

Tehát: 2 - (-3) = 5.

Most vegyünk el a 2-ből (-2)-t!

1+1+1+1+1+(-1)+(-1)+(-1) - (-2) = 1+1+1+1+1+(-1) = 4

Tehát: 2 - (-2) = 4.

Hogyan lehetne 2-ből (-4)-et elvenni?

A 2-t nem csak abban az alakban adhatjuk meg, hogy 5 + (-3); hanem például úgy is, hogy 6+(-4).
6 +(-4) - (-4) = 6.
Tehát 2-(-4) = 6.

Itt azt használtuk fel, hogy 0-át adhatunk bármihez, az érték nem változik:
1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1.

5 + (-3) + 1 + (-1) még mindig 2-vel egyenlő.

Összességében: negatív szám kivonása azonos pozitív szám hozzáadásával.
2 - (-3) = 2 + 3
2 - (-2) = 2 + 2
2 - (-4) = 2 + 4
stb.
Ha a témához van még kérdésed, nyugodtan tedd fel itt a blogon!

Név:		*
Email:		*