2011. július 17., vasárnap

Hegyesszögek szögfüggvényei

Hasonló derékszögű háromszögeket fogunk most megvizsgálni.
Ez a két derékszögű háromszög hasonló, mert szögeik egyenlők (90°és alfa). Így oldalaik aránya állandó:
3/5 = 0,6
x/10 = 0,6

Ha ezt a háromszöget tovább nagyítanánk - nem csak kétszeresre, mint az ábrán, hanem háromszorosra, négyszeresre, vagy kicsinyítenénk felére, harmadára, stb. - ez az arány akkor sem változik, továbbra is 0,6 marad.

Az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,6.

Nagyításkor, kicsinyítéskor a szögek nem változnak, csak az oldalak hossza. Ezek a hosszúságok azonban ugyanannyiszorosra változnak, így arányuk állandó marad.

Ha azonban megváltoztatnánk az alfa szöget, egyből megváltozna a befogó és az átfogó aránya is.

Derékszögű háromszögben az alfa szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya csak az alfa szögtől függ, ezt az arányt nevezzük szinusz alfának. A fenti ábrán szinusz alfa = 0,6.

Mekkora ez az alfa szög? Táblázatból nézhetjük meg (vagy számológép segítségével), hogy alfa körülbelül 37°-os szög. (Ha szerkesztünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója 3 egység, átfogója 5 egység, s megmérjük az alfát, körülbelül 37°-ot olvashatunk le a szögmérőről.)

Már az ókori görög matematikusok foglakoztak ilyen problémákkal: táblázatba foglalták egy kör középponti szögeit és a hozzájuk tartozó húrok hosszát. Az első ilyen szinusztáblázatot Hipparkhosz készítette.

Derékszögű háromszögben az alfa hegyesszög szögfüggvényei:

szinusz alfa = szöggel szemközti befogó / átfogó
koszinusz alfa = szög melletti befogó / átfogó
tangens alfa = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó
kotangens alfa = szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó.

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése